直线与直线、直线与平面平行

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

8.5.1-8.5.2直线与直线、直线与平面平行

【考点梳理】

考点一基本事实4

文字语言平行于同一条直线的两条直线平行

---------------a

图形语言---------------b

---------------C

符号语言直线a,b,c,allb、b//c=^a//c

作用证明两条直线平行

说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性

考点二空间等角定理

1.定理

文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

OA//O'A1,OB//O'B'O'B'或NAOB+

符号语言

NA'O'B'=180°

/4

-------A，B'

图形语言

一/

O^--------A0乙----------A

作用判断或证明两个角相等或互补

2.推广

如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

考点三直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行,那

文字语言

么该直线与此平面平行

应a,

符号语言bUa,

a//b.

--a

图形语言口

考点四直线与平面平行的性质定理

文字语言一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此

平面相交，那么该直线与交线平行

符号语言a//a,aUfj,aCB=b=a〃b

甲a\

图形语言

【题型归纳】

题型一：等角定理

1.若乙4OB=NA。用，且OA〃O0,。4与OAi方向相同，则下列结论正确的有（）

A.。8〃。内且方向相同B.0B〃。圈,方向可能不同

C.。8与不平行D.08与不一定平行

2.在正方体ABCD-48cA中，E,F,G分别为棱CC_BB、,0A的中点，试证明：NBGC=NFRE.

3.如图，三棱柱ABC-ABC中，M,N,p分别为AA-BBt,CG的中点.求证：NMC、N=NAPB.

题型二：直线与平面平行的判定定理的应用

4.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面ABC。是菱形，N,M,Q分别为尸8,PD,PC的中点.

Dc

(1)求证：QV//平面P"＞；

(2)记平面CMV与底面ABC©的交线为/,试判断直线/与平面PM的位置关系，并证明.

5.如图，P为平行四边形A3CD所在平面外一点，M,N分别是A8,PC的中点，平面以。0平面PBC于直线/.

(1)判断MN与平面的位置关系，并证明你的结论;

(2)判断8c与/的位置关系，并证明你的结论.

6.如图，在四棱锥尸—A8C£＞中，ABHDC,CD=2AB,E为棱尸。的中点.

（1）求证：AE〃平面PBC；

（2）试判断尸8与平面AEC是否平行？并说明理由.

题型三：直线与平面平行的性质判断线段比例或点所在位置

7.如图，已知四棱锥P-A3S的底面是菱形，AC交BD于点O,E为AO的中点，尸在R4上，AP=AAF,PC//

平面班广，则；I的值为（）

A.1B.-C.3D.2

2

8.如图，在三棱锥P—ABC中，点。，E分别为棱PB,8C的中点.若点尸在线段AC上，且满足A。//平面PEF,

A.1B.2C.：D.-

23

9.如图，已知四棱维P-A3CZ）的底面是平行四边形，AC交8D于点。，E为AO中点，F在R4上，AP=AAF,

PC〃平面BEF,则4的值为（)

p

题型四：直线与平面平行的性质定理的应用

10.如图，三棱锥A-38被一平面所截，截面为平行四边形EFG”，求证：8〃平面EFGH.

11.如图所示，已知P是。ABC。所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点，平面附DC平面P8C=/.

(2)MN〃平面PAD.

12.如图所示，在四棱锥P-A8CD中，8c〃平面PAD,BC=^AD,E是PO的中点.

p

B上

(1)求证：BC//AD；

(2)求证：C£〃平面弘8；

(3)若股是线段CE上一动点，则线段上是否存在点N,使MN〃平面期8?说明理由.

【双基达标】

一、单选题

13.对于直线加，〃和平面a,下列命题中正确的是()

A.如果mua,nBa,tn,拉是异面直线，那么〃〃a

B.如果mua,mf〃是异面直线，那么〃与。相交

C.如果机ua,nilm,〃共面，那么机〃〃

D.如果加〃a,nila,m,〃共面，那么加〃"

14.已知直线和平面。，下列说法正确的是()

A.如果。/",那么〃平行于经过匕的任意一个平面.

B.如果a//a,那么。平行于平面以内的任意一条直线.

C.若al/a,b/la,则allb.

D.若4<za,bua且a//b,则a//a.

15.已知加，〃为两条不同的直线，。，/为两个不同的平面，则下列结论中正确的是()

A.若tnlla,mlIn,则nila

B.若mHa,〃//a,则相〃几

C.若mHa,〃?u/3,«Q=”，则租//”

D.若mHa,〃ua,则1rdM

16.如图，在四面体ABC。中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为（）

A.ACLBDB.AC=BDC.AC〃截面PQMND.异面直线PM与8。所成的角为45。

17.如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形，ZR4T>=60'，。为AO的中点，点M在线段PC上，PM=tMC,

18.如图所示,P为矩形ABC。所在平面外一点，矩形对角线交点为0,M为PB的中点，给出五个结论:①OM〃P。；

②0M//平面PCD；③。/〃平面PA4；④0M//平面P84；⑤0M//平面PBC.其中正确结论的个数为（）

P

19.下列结论中正确的是（）

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行

直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a,b,c,d,如果a//b,d/d,且。〃d,那么

bile.

A.①②③B.②④C.③④D.②③

20.下列命题的符号语言中，不是公理的是（)

A.aLa,b工a=a〃b

B.Pea,且Pe/=>£口夕=/,且Pe/

C.Ael,Bwl,且Aecr,Bca=lua

D.a//b,a//c=>b//c

21.如图所示，在空间四边形ABC。中，E,尸分别为边A3,A。上的点，且4E：仍=力尸："）=1：4,又H,G

分别为BC,CD的中点，则（）

A.8。〃平面EFG”，且四边形EFG”是矩形

B.EF〃平面BCD,且四边形EFG”是梯形

C.HG〃平面ABD,且四边形EFG”是菱形

D.EH〃平面AOC,且四边形EFG"是平行四边形

【高分突破】

一：单选题

22.如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是（）

A.AC与是两条相交直线

B.44"平面8BQ

C.B,C//BD,

D.A,C,B、,已四点共面

r）EDF

23.在空间四边形ABCD中，E,F分别在AD,CD上,且满足上竺=上三，则直线EF与平面ABC的位置关系是（）

EAFC

A.EF||平面43cB.EFu平面ABC

C.E尸与平面ABC相交D.以上都有可能

24.如图所示，P为矩形A8C。所在平面外一点，矩形对角线交点为。，M为PB的中点，下列结论正确的个数为

()

①OM〃平面P8C②OM//平面PC。③OM〃平面PD4④OM〃平面P8A

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题

25.（多选题）下列命题中，错误的结论有（）

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等

C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

26.如图，在四面体ABCD中，截面尸QWN是正方形，则（）

A.AC±BDB.AC//平面尸QMN

C.AC=BDD.M,N分别是线段。C,AL＞的中点

27.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-ABC"中，E,F,G分别为所在棱的中点，尸为正方形BCG4

内（包括边界）一动点，且〃平面EFG,则（）

A.BD//EGB.BD"/平面EFG

C.三棱锥R-EFG的体积为1D.P只能在线段BC上

28.在正方体ABCQ-ABGP中，£、F、G分别为BC,CC,,8片的中点则（）

A.直线2。与直线A尸垂直

B.直线4。与平面AE尸平行

C.平面用'截正方体所得的截而是等腰梯形

D.点C和点G到平面AEF的距离相等

29.已知图1中的正三棱柱ABC-AB/G的底面边长为2,体积为20，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中

心所在的直线。。2,逆时针旋转180。后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）

A.48?〃平面A8C

B.44=孚

C.四边形A%与为正方形

D.正三棱柱A8C-A4G，与几何体48cA282c2的外接球体积相同

三、填空题

30.已知/,相，”是互不相同的直线，a,P，y是三个不同的平面，给出下列命题：

①若/与根为异面直线，lua,mu0,则a//尸；

②若a//夕,lea,ma/i,则///，"；

③若a（V=l,pC\y=m,yC\a=n,Illy,则〃?//〃.

其中所有真命题的序号为.

31.如图所示，直线a〃平面a,点4任平面a,并且直线“和点4位于平面a两侧，点B,C,Dea,AB,AC,

AD分别交平面a于点E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=.

32.下列三个说法：

①若直线a在平面a外，则a//a；

②若直线a〃。，直线atZa,6ua,则a//a；

③若a“b,bua,则。与a内任意直线平行.

其中正确的有.

33.以下命题中为真命题的是（填序号）

①若直线/平行于平面a内的无数条直线，则直线/〃。；

②若直线。在平面a外，则。〃a；

③若直线a〃江bua,则“〃a；

④若直线a〃6bua,则。平行于平面a内的无数条直线.

34.如图所示，在空间四边形ABCD中，E,尸分别为边A3,AL＞上的点，且AS:£B=A尸：ED=1:5,又“，G

分别为BC,8的中点，则下列结论正确的是（请填写正确命题的序号）

①比）〃平面EFGH；②EFH平面BCD；

③HG//平面ABD；④£77〃平面40C.

四、解答题

35.如图，正方形ABC。与正方形A8EF所在平面相交于4B,在对角线4E,BO上各有一点P,Q,且4P=OQ.求

证：尸。〃平面BCE.（用两种方法证明）

36.如图，四棱锥A-OBCE中，0为底面平行四边形。8CE对角线的交点，F为4E的中点.求证：M〃平面OCE

37.如图，在三棱柱ABC—48Q中，点E,F分别是棱CG,88/上的点，点M是线段4c上的动点，EC=2FB

=2,若MB〃平面AEF,试判断点M在何位置.

38.如图，在直三棱柱A8C-44G中，点。为A/的中点，ZABC=90°,AB=BC^2,心=26.

(1)证明：8c〃平面AOG.

(2)求三棱锥O-ABC的体积.

39.如图1,已知矩形A8C3中，AB=3,BC=6,E为CO上一点且C£=2Z)E.现将AAT>E沿着AE折起，使点。

到达点尸的位置，且PE1.BE,得到的图形如图2.

(1)证明Z^BPA为直角三角形；

(2)设动点M在线段”上，判断直线EM与平面PCB的位置关系，并说明理由.

CD，

pc，

【答案详解】

1.D

【解析】

【分析】

画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论.

【详解】

OB与04/是不一定平行.

故选：D.

2.证明见解析

【解析】

【分析】

证明D.F//GB,D.E//GC,由/BGC与NFQE的对应边平行且方向相同即可证出.

【详解】

因为尸为的中点，所以=因为G为。。的中点，

所以RG=；DR.

又BB#DD\,BB]=DR,

所以B尸〃D。，BF=QG.所以四边形RGBF为平行四边形.

所以RF〃GB,同理RE〃GC.

所以NBGC与NFRE的对应边平行且方向相同，所以NBGC=ZFD、E.

3.证明见解析

【解析】

【分析】

通过平行以及长度关系证明GN//BP,QM//AP,然后根据等角定理证明N/GN=NAPB.

【详解】

证明：因为N,P分别是84，cq的中点，所以BN"GP,BN=GP,

所以四边形BPGN为平行四边形，所以C0//BP.

同理可证GM//AP,

又NMGN与“归方向相同，所以NMCN=NAPB.

4.(1)证明见解析；(2)直线〃/面P8D,证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)证明QN〃8C〃AO,利用线面平行的判定定理即可求证；

(2)由三角形中位线性质可得：MN//BD,可证明MN〃面488,由线面平行的性质定理可得3。〃/,由线面平行

的判定定理即可证明直线III面PBD.

【详解】

(1)因为MQ分别为依，PC的中点，所以QN//BC,

因为底面488是菱形，所以3C〃AZ),所以QW/AO,

因为QN<Z平面ADu平面H4。，

所以QN〃平面皿>,

(2)直线/与平面尸切平行，证明如下：

因为MM分别为PB,PO的中点，

所以MN//BD,

因为MNz面ABC。，Qu面ABC。，所以MN"面ABCD,

因为平面CMN与底面ABC£>的交线为/,MNu面CMN,

由线面平行的性质定理可得〃/,

因为MNMBD,所以BD〃l,

因为5£>u面PBD,/(Z面PB£),

所以直线/〃面尸8"

5.(1)MN//平面R4。，证明见解析；(2)BC//1,证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)取PO中点E,连接AE,NE,可得NE//DC,且NE=[oC,又M为AB中点，可得AM//NE,且AM=NE,

2

所以四边形4MNE为平行四边形，可得AE//MN,根据线面平行的判定定理，可证MN//平面皿>.

(2)根据线面平行的判定定理，可证8c〃平面PAD,又3Cu平面PBC,结合题意，根据线面平行的性质定理,

可证8C///.

【详解】

(1)MN“平面PAD,证明如下：

取PO中点E,连接AE,NE,

因为ME分别为PC,PC中点，

所以NE//DC,且NE=2Z)C,

2

又M为AB中点，ABI/DC,AB=DC,

所以AM//NE,且川Vf=NE,

所以四边形AMNE为平行四边形，

所以AE//MN,

又AEu平面PA。，平面PAD,

所以MN//平面PAD

(2)BC//1,证明如下：

因为AD//8C,A£>u平面3C<Z平面抬

所以BC//平面PAD,

又BCu平面PBC,且平面PAOf]平面尸8C=/,

根据线面平行的性质定理可得BC//1.

6.(1)见解析；(2)不平行，证明见解析

【解析】

【分析】

(1)可结合中位线定理证明，取PC的中点F,连接EF,BF,先证明四边形£7诩为平行四边形，可得AE//BF,

即可得证；

(2)可采用反证法，假设尸B与平面AEC平行，先证。为8。中点，再通过相似三角形可得若=；,即证出矛盾,

故不成立

【详解】

证明：(1)取PC的中点F,连接EF,BF,

则EF//OC,且EF=gf>C,

又因为A6//DC,CD=2AB,

P斤以EF//AB,且=

所以四边形瓦N4为平行四边形，

则AEHBF,

又因为平面PBC,BFu平面PBC,

所以AE〃平面PBC.

(2)P8与平面AEC不平行.

假设尸8//面AEC,

设3£>cAC=O,连结0E,

则平面E4CC平面PDB=OE,

又PBu平面PDB,所以

CRpp

所以，在APD8中有黑=狭，

ODED

由E为尸£>的中点可得空=转=1,即08=8.

ODED

因为A8〃£)C,所以空=空=:，这与08=00矛盾，

CDOD2

所以假设错误，PB与平面AEC不平行.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，反证法在线面平行中的应用，属于中档题

7.C

【解析】

【分析】

A(Z1ApAC

根据AAEG〜ACBG,得到要=彳，利用PC//平面8历，得到GF〃尸C,结合比例式的性质，得至“=丁=三,

AC3AFAG

即可求解.

【详解】

解：设AO与BE交于点G,连接FG,如图所示，因为E为AO的中点，则AE=［AZ)=2BC,

22

由四边形ABC。是菱形，可得AD//8C,则AA£G〜ACBG,

匕匚］AGAE1彳匚［、］AG1

所以坛=正=5'所以前二针

又因为PC//平面8EF,PCu平面PAC,平面BEFI平面R4C=GF,

ApAC

所以GF//PC,^WA=-=-=3.

故选：C.

【解析】

【分析】

连接C£>,交PE于G,连接FG,由A£>//平面PE/，得到AQ//FG,由点。，E分别为棱P8,8C的中点，得到

G是AP8C的重心，由此能求出结果.

【详解】

解：连接CD,交PE于G,连接FG,如图，

•.,">//平面尸砂，平面AOCCI平面尸EF=FG,

.-.AD//FG,

；点D,E分别为棱PB,BC的中点.

.•.G是APBC的重心，

.AFDG\

一~FC~~GC~2

故选：C.

9.D

【解析】

【分析】

4c1APAC

根据AAEG9G,得到法=葭利用PC”平面曲，得到—结合比例式的性质，得到缶犷前

即可求解.

【详解】

设A。与8E交于点G,连接尸G,如图所示,

因为E为A。的中点，则45=彳4£)=彳8。,

22

由四边形ABC。是平行四边形，可得4D//BC,则AAEG〜ACBG,

AGAE1.AG1

所rriq以云=拓=5'所rri以.益=葭

又因为PC〃平面3EF,PCu平面PAC,平面平面E4C=GF,

4PAC

所以3//PC,所以公寿:前=3.

10.证明见解析

【解析】

【分析】

根据线面平行的判定定理、性质定理即可得证

【详解】

因为四边形EFGH为平行四边形，

所以EF//GH,

因为G，u平面BCD,防二平面BCQ,

所以所//平面BCD,

又因为EFu平面4CZ),且平面ACAD平面BCZ)=C£),

所以EF//CD,

又因为CD(Z平面EFGH,EFu平面EFGH,

所以CO〃平面EFG”

11.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)先由BC〃A。证明BC〃平面必。，再结合平面PBCCI平面B4£>=/,由线面平行推出线线平行，即得证；

(2)取PD的中点E,连接AE,NE,可证明四边形AMNE是平行四边形，即MN//AE,由线线平行推线面平行,

即得证

【详解】

(1)；uABC£>

：.BC//AD,

又BCV平面PAD,AOu平面PAD

〃平面PAD.

又・平面PBCD平面PAD=l,

3Cu平面PBC

(2)如图，取尸。的中点E,连接AE,NE,

则NE〃C£>,且NE=^C£>,

又AM“3,且AM=；C£>,

.".NE//AM,且NE=4M.

•:四边形AMNE是平行四边形..：MN〃AE

又：ZEu平面PAD,MNO平面PAD,

.：MN〃平面PAD.

12.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在；理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据线面平行性质定理即可证明；

(2)取R4的中点F,连接EE,BF,利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证

明；

(3)取AD中点N,连接CN,EN,根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明.

【详解】

证明：(1)在四棱锥尸一A3CD中，8c〃平面PA。，8Cu平面48C3,

平面ABC。n平面曰£>=">,

BC//AD：

(2)取以的中点尸，连接EF,BF,

是PD的中点，

EFHAD,EF=-AD,

2

又由(1)可得BC〃AD,BC=-AD,

2

：.BC//EF,BC=EF,

四边形BCEF是平行四边形，

CE//BF,

平面平面R45,

CE■〃平面%

(3)取AD中点N,连接CN,EN,

；E,N分别为尸。，AD的中点，

EN//PA,

「硒0平面PAu平面

EN〃平面PAB,

又由（2）可得CE〃平面网，CEREN=E,

：.平面CEN〃平面上4B,

•.•例是虑上的动点，ANu平面CEN,

MN〃平面PAB,

；•线段AO上存在点N,使MN〃平面

【点睛】

本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是

中档题.

13.C

【解析】

【分析】

利用线面平行的判定定理和性质定理，结合空间图形构造反例，依次判断即可

【详解】

对于A,如图①，此时〃与a相交，故选项A不正确；

对于B,如图②，此时相，〃是异面直线，而〃与a平行，故选项B不正确；

对于C,如果nila,则，"〃"或者/n,”异面，又”共面，那么/“〃”，故选项C正确

对于D,如图③，，〃与〃相交，故选项D不正确.

故选：C

图①图②图③

14.D

【解析】

【分析】

A,D选项考查线面平行的判断，A选项缺少条件，D选项正确；B选项是线面平行推线线平行，需要借助另外一个

面；C选项中，平行于同一个面的两条线没有特定的位置关系

【详解】

选项A中，由a〃匕推出“平行于经过6的任意一个平面，需要增加一个条件，即。不在b所在的面内，A选项没有

这一限制条件，所以A错误

选项B中，alia,au0,a[}/3=b,则。//d所以不是平行于面内所有的线，只能平行于面面的交线，所以B

错误

选项C中，两条直线分别平行于面，这两条直线的位置关系是任意的，不能推出平行，所以C错误

选项D为证明线面平行的判定定理，条件充分，正确

故选：D

15.C

【解析】

【分析】

对选项A,B,D,借助长方体即可判断A,B,D错误，对选项C,利用线面平行的性质即可判断C正确.

【详解】

对选项A,如图所示：

在长方体中，满足m//c,mJIn,此时"ua,故A错误.

对选项B,如图所示：

在长方体中，满足m//a,nila,此时〃，?"相交，故B错误.

对选项C,根据线面平行的性质即可得到C正确.

对选项D,如图所示:

在长方体中，满足m〃a,"ua,此时〃相交，故D错误.

故选：C

16.B

【解析】

根据PQMN是正方形，利用线面平行的判定定理、性质定理，即可判断A、C,。的正误，利用三角形相似及题干

条件，即可判断B的正误，即可得答案.

【详解】

因为截面PQMN是正方形，

所以PQ〃MN,QM//PN,

则PQ〃平面ACD,QW〃平面BDA,

所以PQ〃AC,QM//BD,

由尸QLQM,可得AC_L8£>,故A正确；

由PQ〃AC,可得AC〃截面PQMN,故C正确；

由BD//PN,所以NMPM或其补角）是异面直线PM与BD所成的角，

又PQMN是正方形,ZMPN=45°,故。正确；

由上面可知，BD//PN,MN//AC.

,PNANMNDN

所以茄=记商=布’

而AN手DN,PN=MN,

所以BDMC,故B错误.

故选：B.

17.A

【解析】

连接AC交80于0,连接M。，根据线面平行的性质得24//MO,即可得到空=粤=!，即可求解.

COMC2

【详解】

连接AC交8。于。，连接如图：

J/

底面ABC。为菱形，。为A。的中点，所以AAQO与相似，

AOAQ

~CO~'BC~2"

因为平面MQ8,PAu平面P4C,平面PAC与平面MQ8交线为,

根据线面平行的性质可知：PAI/MO,

-ciAOPM1

在"AC中，方=荻=展

PM=-MC,

2

即旧.

故选：A

【点睛】

此题考查根据线面平行的性质得线线平行，根据平行关系求解线段的比例关系.

18.C

【解析】

根据三角形的中位线证得OMUPD,由此证得//平面PCD,OM〃平面PZM.根据QM与平面9、平面PBC

有公共点，判断④⑤错误.

【详解】

矩形ABC。的对角线AC与交于点。，所以。为BO的中点，在△P3D中，M是总的中点，所以QM是中位线,

故QW//PD.又QWz平面PC。，OWN平面尸D4,

所以〃平面PCQ,且。0//平面/YM.

因为点M在网上，所以。历与平面P明、平面PBC相交，所以④⑤错误.

故正确的结论为①②③，共有3个.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查线线平行、线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

19.B

【解析】

【分析】

根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.

【详解】

①错误，两条直线可以异面；

②正确，平行的传递性；

③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；

④正确，平行的传递性.

故选：B.

20.A

【解析】

利用平面的公理直接判断求解.

【详解】

A不是公理，

在8中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B是公

理.

在C中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C是公理；

在。中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故。是公理；

故选：A.

【点睛】

本题考查平面的公理的判断，考查平面的基本性质及其推论等基础知识，是基础题.

21.B

【解析】

【分析】

先判断四边形EFGH的形状，再去判断线面是否平行即可解决.

【详解】

△ABQ中，AE：EB^AF：FD=\：4,则S.EF=-BD

△BCQ中，BH=CH,DG=CG,则”G〃BO,且=

2

则EF//HG,HG>EF,则四边形EFGH是梯形.故选B.

下面看四个平行的判断是否正确.

BD//EF,EF\平面EFGH,3。•平面EFGH,则BDU平面EFGH.判断正确；

BD//EF,BDI平面BCD,EF平面BCD,则EFH平面BCD判断正确；

HG//EF,EFI平面平面则4G〃平面ABZ).判断正确；

梯形EFG/7中，EF//HG,HG>EF,"E与GF的延长线会交于一点，则直线E”与平面AOC的位置关系为相交.

故选：B

22.B

【解析】

【分析】

根据异面直线的判定定理，直线与平面平行的判定定理，四点共面的判定，结合四棱柱的性质逐一判定即可.

【详解】

BD’u面ABQ,ACc面AiBDt,所以AC与8。是异面直线，A错;

因为A4//B与，440面8片。，BB^u面BBR,所以面58口，B正确；

BRu面BB、D,,BCD面88a=4，B3B。、,所以与BR是异面直线，C错；

如图所示，A,C,。三点在面4CR上，8Q与面ACQ相交，所以A,C,用，R四点不共面，D错.

故选：B.

23.A

【解析】

【分析】

由芸=W，可推出EF〃AC,再根据线面平行的判定可得出答案.

EAFC

【详解】

..DEDF

,~EA~~FC

：.EF〃AC

又：ACu平面ABC,EF<Z平面ABC.

EF〃平面ABC.

故选：A

24.B

【解析】

【分析】

证明OM//PD,即可证明②③正确；Me平面PBC,故①错误，Me平面PAB,故④错误.

【详解】

对于①，Me平面P8C,故①错误；

对于②，由于。为30的中点，M为尸8的中点，贝IJQW//P。，平面PC£>,平面PCE>,则OM//平

面PCD,故②正确；

对于③，由于QM//PD,OMN平面PDu平面PAD,则0M//平面PAO,故③正确；

对于④，由于Me平面2钻，故④错误.

故选：B

25.AC

【解析】

【分析】

由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.

【详解】

对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；

对于选项B：由等角定理可知B正确；

对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也

可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，4RG与48G满足AQJAB,CQJ.GB,但是幺。6=］，

7T

二者不相等也不互补.故选项C错误；

对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.

故选：AC.

26.AB

【解析】

【分析】

根据图形及题目中的条件进行判断即可.

【详解】

由题意知：PQ//AC,QM//BD,PQ1QM,所以ACLB。，故A正确；

由PQ〃4C,/｝。＜=平面尸。"7,AC(z平面PQMN,故AC〃平面PQMN.

故选：AB.

27.BD

【解析】

【分析】

取的中点连接GM,BD,可得BD//GM,由GM与EG相交判定A错误；连接AC,由面面平行的判定

及性质判断B；利用等体积法求体积判断C；求出P点的轨迹判断D.

【详解】

对于A,取Bq的中点连接GM,BD,由正方体的性质可知，BD//GM

而GM与EG相交，故3D与EG不平行，故A错误；

对于B,连接AC,因为fG〃BC,平面ABC,3Cu平面RBC

所以尸G//平面RBC,同理尸E〃平面ABC,因为FGIFE=F

所以平面FGE〃平面RBC,因为BRu平面R8C

所以BDJ/平面EFG,故B正确；

对于C,由等体积法可得：匕3./=匕-g*=；5力0限AE

=1x(ix2xl)xl=1,故C错误；

对于D,由前面可得平面/GE//平面A8C,即点尸的轨迹为线段BC,故D正确.

故选：BD

28.BC

【解析】

【分析】

根据正方体的性质一一判断即可；

【详解】

解：在正方体ABCO-ABCQI中DQ〃GC,则AF与GC不垂直，从而直线与直线AF不垂直，故A错误；

取BB、的中点M,连接\M、GM,则A.M//AE,GM//EF,易证平面\GMII平面AEF,从而直线\G与平面AEF

平行，故B正确；

连接AR,D.F,BG，因为BC"EF,BCJiAD、,所以AR//EF,故四边形4RFE为平面AE尸截正方体的截面，

显然四边形ARFE为等腰梯形，故C正确；

假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF平分CG,则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点0,

易知。不是CG的中点，故假设不成立，故D错误；

故选：BC

Di

29.ACD

【解析】

【分析】

由旋转前后底面平行，几何体高不变，底面边长不变，外接球不变依次判断即可.

【详解】

由&BJ/AB,可得A/J/平面ABC,所以A正确.；

作平面A8C,垂足为“，连结AH、S,则AH=乎，B?H=当

所以AA,=^AH2+B2H2=2,所以B错；

由A、B选项的上述判断过程可知四边形AB&Ba为菱形,

又儿生，平面B2AH,所以A2B21AB2,

故四边形AB&B2为正方形，C正确；

因为旋转前与旋转后几何体的外接球不变，故D正确.

故选:ACD.

30.③

【解析】

【分析】

①利用平面的位置关系判断；②利用直线与直线的位置关系判断；③利用线面平行的性质定理判断.

【详解】

①若/与机为异面直线，lua,mu0,则。//4或a与4相交；

②若。//在，lua,muf),则///加或直线/与m异面；

③因为pr\y=m,IIIy,所以机///,同理可证〃/〃，所以〃?//〃.

故答案为：③

…20…2

31.—##2—

99

【解析】

【分析】

利用线面平行的性质可得BD//EG,然后利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解

【详解】

因为直线a〃平面口,点8,C,Dea,平面舫力c平面a=EG,

所以80〃EG,

所以生="=”

BDACAF+FC'

故答案为：y

32.②

【解析】

【分析】

由线面的位置关系可判断①，利用线面平行的判定定理可判断②，再利用线线的位置关系判断③.

【详解】

直线”在平面a外，包含直线。与a相交、直线”与a平行两种情况，①不正确；

由直线与平面平行的判定定理知②正确；

③中。与a内的直线可能平行，相交、异面，③不正确.

故答案为：②

33.④

【解析】

【分析】

利用线面平行的判定定理及性质分析判断即可

【详解】

对于①，当直线/平行于平面a内的无数条直线时，/〃。或/在平面a内，所以①错误,

对于②，直线a在平面a外，则。〃a或a与平面a相交，所以②错误，

对于③，若直线a〃6,bua,则“〃a或。在平面a内，所以③错误，

对于④，若直线。〃从bua,则由线面平行的性质可得。平行于平面a内的无数条直线，所以④正确，

故答案为：④

34.①②③

【解析】

【分析】

根据题意，EF//BD//HG,EF=yBD,HG=^-BD,进而根据线面平行的判定定理即可得答案.

【详解】

解：在△A8D中，AE:EB=AF:FD=\:5,

：.EF//BD,EF，BD,

6

又：EFu平面EFG”，平面EFG”，BDu平面8C。，平面BCD

BD〃平面EFGH；所〃平面BCD；

"：H,G分别为8C,CO的中