专题01勾股定理重难点复习（原卷版）

专题01勾股定理重难点复习思维导图核心考点聚焦1.勾股树(数)问题2.勾股定理与面积问题3.勾股定理与网格问题4.勾股定理与折叠问题5.勾股定理的证明方法6.利用勾股定理逆定理说明三角形是直角三角形7.用勾股定理构造图形解决问题8.用勾股定理求最短路径问题一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必是直角三角形．四、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.1.勾股定理的证明：理解勾股定理的证明方法，能够利用等积法证明勾股定理.2.勾股定理中与面积、折叠等相关的问题是难点问题，需要进行总结和练习.3.勾股定理的逆定理的作用是判断某一个三角形是否是直角三角形.如何判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：首先确定最大边（如），然后验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C为90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.延伸：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.考点剖析考点一、勾股树(数)问题例题1：下列四组数中，是勾股数的是（

）A．1，， B．4，5，6 C．1，2， D．8，15，17【答案】D【解析】A、1，，这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B、∵，∴这一组数不是勾股数，不符合题意；C、1，2，这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；D、∵，∴这一组数是勾股数，符合题意；故选D．考点二、勾股定理与面积问题例题2：在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A，B，C的面积分别用，，表示，则图中，，，.请写出、、之间的关系式:．【答案】16，9，，【解析】依题意，16，，∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，∴根据勾股定理，得正方形C的边长为，∴，∵16，，，∴．故答案为：16，9，，．考点三、勾股定理与网格问题例题3：如图，正方形网格中，每一小格的边长为1，P，A，B均为格点．（1）；（2）点B到直线的距离是；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1），故答案为：；（2）如图，延长到格点C，连接，由图可得：，，，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴点B到直线的距离是线段的长，且，故答案为：；（3）由（2）知，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：．考点四、勾股定理与折叠问题例题4：如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．（1）求的长；(2)求的长；(3)求阴影部分的面积．【解析】（1）由折叠可知．设，则．在中，，，解得，.（2）如图，过点作于，则，在中，由勾股定理得，又，∴，．，，

，.（3）如图，过点作于，，，，，，．考点五、勾股定理的证明方法例题5：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，∠ABD=90°，过点作，垂足为点．(1)求证：，；(2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；(3)若，，求中边上的高．【解析】（1）证明：如图，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∴．在和中，，∴，∴，．（2）证明：，，∴，∴，∴，∴.（3）∵，，，∴．∵为边长，为正值，∴，∵，∴，∴．考点六、利用勾股定理的逆定理说明三角形是直角三角形例题6：如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站A的距离，到公路上另一停靠站的距离，停靠站之间的距离为，为方便运输货物，现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．(1)请判断的形状，并说明理由；(2)求修建的公路的长．【解析】（1）是直角三角形．理由如下：，∴，是直角三角形.（2），，，即修建的公路的长为．考点七、用勾股定理构造图形解决问题例题7：如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？【解析】如图，过点作于点，米，米，米，（米）．在中，由勾股定理得到：．答：为1.5米．考点八、用勾股定理求最短路径问题例题8：问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接；(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．【解析】（1）如图所示，AC即为所求.（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短.（3）根据题意可得：展开图中的（），．在中，由勾股定理可得：（），即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．过关检测一、选择题1．以下四组数中，不是勾股数的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13 C．4，5，6 D．6，8，102．如图，在长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则△的面积为（

）A．6 B． C． D．123．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分的面积是（）A． B． C．14 D．244．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（

）A． B． C． D．5．《九章算术》是中国古代的数学著作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺寸），则的长是（

）A．26寸 B．寸 C．52寸 D．101寸二、填空题6．中，，．7．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是．8．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为6，“股”为8，则“弦”是．9．如图，点A是某景点所在的位置，游客可以在游客观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点A段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达A处，若，则路线的长为．10．如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“美好三角形”，这条中线为“美好中线”．如图，在中，，较短的一条直角边，且是“美好三角形”，则的“美好中线”的长为．三、解答题11．在中，，若，且．(1)求的长；(2)过点C作于D，求的长．12．大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度米，米．(1)要想求的长度，我们可以设为米，则______米；(2)请求出滑梯的长度．13．港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长．现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米；(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，问工作人员手中的绳子被收上来多少米．14．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙壁上，这时梯子的底端B到墙壁的距离，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点时，底端B沿水平地面向外滑动到点．当时，线段的长度与线段的长度相等吗？你是怎样知道的？15．如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点A飞向点，在直线的正下方有一