专题55二次函数（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题5.5二次函数（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【要点一】二次函数的解析式一般式：(a、b、c是常数，)；顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)；交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．【要点二】二次函数的图象与性质开口方向a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.对称轴y轴y轴x=hx=h顶点与最值(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或).增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。对称性1.图象是轴对称图形；2.抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；3.抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.【要点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系(1)的正负决定开口方向：，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.的大小决定开口的大小：越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.(2)、b的符号共同决定对称轴的位置当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）(3)c决定抛物线与轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.【要点四】二次函数图象的变换（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.【要点五】二次函数与一元二次方程二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.【要点六】二次函数与不等式（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.【要点七】二次函数的应用（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2011上·北京·九年级统考期中）二次函数的顶点坐标是（）A． B． C． D．2．（2021·西藏·统考中考真题）将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（

）A．y＝x2﹣8x＋22B．y＝x2﹣8x＋14C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋23．（2023·河南·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是（

）A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是5．（2017·江苏连云港·中考真题）已知抛物线过，两点，则下列关系式一定正确的是（）A． B． C． D．6．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值7．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）A．B．C．D．8．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小10．（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·山东泰安·统考中考真题）二次函数的最大值是．12．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是．13．（2021·广东·统考中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为．14．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点，在抛物线上，且，则．（填“<”或“>”或“=”）15．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．16．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是．

17．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边时，羊圈的面积最大．

18．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是．（只填写序号）

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021·浙江·统考中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A（2，0）．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．20．（8分）（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积．21．（10分）（2008·江苏南通·中考真题）已知点A（－2，－c）向右平移8个单位得到点，A与两点均在抛物线上，且这条抛物线与轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标．22．（10分）（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．23．（10分）（2023·辽宁锦州·统考中考真题）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？24．（12分）（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．参考答案：1．B【分析】根据二次函数的顶点式解析式即可写出顶点坐标．解：对于二次函数，当时，y取最小值，因此顶点坐标为．故选B．【点拨】本题主要考查了二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用．2．D【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2．故选：D．【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．D【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．解：由图象开口向下可知，由对称轴，得．∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点拨】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．4．D【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；B、，，即图象与轴有两个交点，故此选项不符合题意；C、抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故此选项不符合题意；D、，图象的顶点坐标是，故此选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．5．C解：试题分析：根据抛物线的解析式可知其对称轴为y轴，且顶点为（0，0），然后结合图像的对称性和开口方向可知C正确.故选C考点：抛物线的增减性6．D【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，∴，∴，∴，∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．7．B【分析】根据的函数图象可知，，，即可确定一次函数图象，根据时，，即可判断反比例函数图象，即可求解．解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则，∴一次函数图象经过一、二、三象限，二次函数的图象，当时，，反比例函数图象经过一、三象限结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项故选B【点拨】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．8．B【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．解：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．9．C【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．解：抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【点拨】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．10．C【分析】由对称轴为即可判断①；根据点，（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（1，0），得出ab+c=0，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．解：∵对称轴，∴b=3a，∴3a+b=0，①正确；∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，∴y1<y2，故②正确；∵经过点（1，0），∴ab+c=0，∵对称轴，∴，∴，∴3c=4b，∴4b3c=0，故③错误；∵对称轴，∴点（0，c）的对称点为（3，c），∵开口向上，∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．11．【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．解：利用配方法，将一般式化成顶点式：二次函数开口向下，顶点处取最大值，即当时，最大值为．故答案为：．【点拨】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．12．【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．解：令抛物线中，即，解得，故与轴的交点坐标为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值．13．（答案不唯一）【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程解：设与交点为，根据题意则的对称轴为故设则方程为：故答案为：【点拨】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键14．【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．解：的对称轴为y轴，∵，∴开口向上，当时，y随x的增大而增大，∵，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．15．4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．解：∵，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．16．3【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解．解：依题意，设，则，则∴∵，二次函数图象开口向下，有最大值，∴当时面积的最大值是，故答案为：．【点拨】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键．17．15【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解．解：设为，面积为，由题意可得：，当时，取得最大值，即时，羊圈的面积最大，故答案为：．【点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．18．①③【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．解：由图象可得，，，又，．．①正确．由题意，令，．又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，的两根之和为，两根之积为．，．．又，．．②错误，③正确．，，．④错误．故答案为：①③．【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．19．（1），M（1，2）；（2）【分析】（1）将A（2，0）代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．解：（1）∵抛物线过点A（2，0），，解得，，,∴顶点M的坐标是（1，2）；（2）设直线AM的解析式为，∵图象过A（2，0），M（1，2），，解得，∴直线AM的解析式为．【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．（1）抛物线的解析式为；（2）【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；（2）由（1）可得，进而可得，然后问题可求解．解：（1）把点和点代入抛物线可得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可得抛物线的解析式为，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．21．详见分析【分析】根据平移可得到A′的坐标．与y轴的交点的纵坐标为6，即抛物线中的c为6，由点A、A′的坐标根据待定系数法即可求得抛物线解析式，从而得