专题23直线与圆的位置关系（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.3直线与圆的位置关系（全章分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·江苏常州·九年级统考期中）已知的半径为2，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切2．（2023上·广东广州·九年级统考期中）已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．53．（2022上·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（

）A． B． C． D．4．（2023上·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线5．（2022上·全国·九年级专题练习）如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（

）时，直线是的切线．A． B． C． D．6．（2020上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（

）A．36° B．30° C．27° D．45°7．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，正方形边长为，以正方形一边为直径在正方形内作半圆O，过点A作半圆切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（

）

A． B． C． D．8．（2023上·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（

）A．8 B． C． D．9．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（

）

A．19 B．17 C．22 D．2010．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022上·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是．12．（2020上·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校联考期中）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在秒时相切．13．（2020下·河北邯郸·九年级统考学业考试）以坐标原点为圆心，作半径为1的圆，若直线与有交点，则b的取值范围是．14．（2022上·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）15．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则．16．（2023上·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与、、、分别相切于点、、，且，，，则图中由线段、及组成的阴影部分的面积是．

17．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是

．

18．（2023上·江苏淮安·九年级统考期中）半圆与平面直角坐标系交于点，点在上运动（不与重合），连接，与的平分线交于点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·四川绵阳·九年级校考期中）如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．20．（8分）（2023上·北京西城·九年级北京铁路二中校考期中）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．（1）求证：；（2）求的半径长．（3）求线段的长．21．（10分）（2023上·江苏南通·九年级统考期中）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接．以点为圆心，为半径作．

（1）请判断直线与的位置关系，并予以证明；（2）如图2，点为劣弧上一动点（与点，点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值．22．（10分）（2023上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，是圆的直径，为圆心，是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点．

（1）判断直线是否为的切线，并说明理由；（2）将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形．23．（10分）（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图，是的直径，弦与点，已知，点为上任意一点，（点不与重合），连结并延长与交于点，连．

（1）求的长．（2）若，直接写出的长．（3）①若点在之间（点不与点重合），求证：．②若点在之间（点不与点重合），求与满足的关系．24．（12分）（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图1，点A，B，C，D均为上的点，则有．小明还发现，若点E在外，且与点D在直线同侧，则有．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

问题：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．（1）在图2中作出的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x轴的另一个交点的坐标；（2）点P为x轴正半轴上的一个动点，连接、，当达到最大时，直接写出此时点P的坐标．参考答案：1．D【分析】根据圆于直线关系直接判断即可得到答案.解：由题意可得，∵，∴当是点O到直线的距离时相切，当不是点O到直线的距离时距离小于2相交，故选：D.【点拨】本题考查圆与直线的关系，圆心到直线的距离等于半径相切，圆心到直线距离小于半径时小角，大于半径相离．2．D【分析】根据圆与直线的位置关系进行解答即可．解：的半径是5，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是5．故选：D．【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径．3．B【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．解：连接，∵，∴，∴，∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，∴，即直线在原有位置向下移动后与圆相切．故选：B．【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．4．D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；

B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；

D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5．B【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线．解：当时，直线是的切线．证明：如图，连接OA．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴直线是的切线．故选：B．【点拨】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键．6．A【分析】由切线的性质可得∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算出∠POA=72°，最后根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及等边对等角即可求出∠B．解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°，∵∠P=18°，∴∠POA=90°18°=72°，∵∠POA=∠OCB+∠B，OC=OB，∴∠B=∠OCB==36°，故选A．【点拨】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键．7．D【分析】根据切线长定理可得，设，则，然后在中，由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积．解：∵与圆O切于点F，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，∴．故选D．8．C【分析】设，由切线长定理得出，，，根据勾股定理，得．整理得，再由三角形面积公式即可得出答案．解：设，根据切线长定理，得，，，根据勾股定理，得，整理，得，∴，则的面积为，故选：C．【点拨】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．9．D【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，

由切线长定理可知，∵是的切线，∴，，∵，，，∴，∵是的内切圆，∴内切圆的半径，∴，∴，∴，∴的周长为：．故选：D．10．C【分析】作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由点I是△ABC内心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，从而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，进而得到BD=ID，再证得△MBC∽△ABD，可得，即可求解．解：：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，∵点I是△ABC内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，∴AB=AM=9，∴MC=AM+AC=22，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD，∴∠IBD=∠BID，∴BD=ID，∵∠D=∠C，∴△MBC∽△ABD，∴，∴，∴，解得：，∴．故选：C【点拨】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线是解题的关键．11．【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．解：过M作于H，如图所示：∵，，∴，∵，与线段有交点，∴r的取值范围是，故答案为：．【点拨】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．12．3或4/4或3【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可．解：∵直线AB⊥l，∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s；当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s．故答案为：3或4．【点拨】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键．13．【分析】分别求出直线与圆相切，且直线经过一，二，四象限时的b的值和直线与圆相切，且直线经过二，三，四象限时b的值，即可确定出b的取值范围．解：当直线与圆相切，且直线经过一，二，四象限时，切点为B，连接OB，当时，，则，当时，，则，∴，为等腰直角三角形，．，，．同理，当直线与圆相切，且直线经过二，三，四象限时，，∴直线与有交点，则的取值范围是．故答案为：．【点拨】本题主要考查直线与圆的交点问题，求出相切时的b的值是解题的关键．14．∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．15．【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键．解：如图，连接，

，是的切线，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．16．/【分析】本题考查了求扇形面积，正方形的性质与判定，切线长定理，先得出是直角三角形，进而证明四边形是正方形，根据阴影部分面积等于正方形的面积减去个圆的面积，即可求解．解：∵，，，∴∴，∵的内切圆与、、、分别相切于点、、，∴∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，则，如图所示，连接，，，

∴∵，∴，∴，故答案为：．17．【分析】取的中点O、的中点E、的中点F，连结，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，可得，再根据等腰三角形的性质得，则，于是根据圆周角定理得到点M在以为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形为正方形得到，所以M点的路径为以为直径的半圆，然后根据弧长公式计算点M运动的路径长．解：解∶如图，取的中点O、的中点E、的中点F，连接，则，

∵在等腰中，，∴，∴．∵M为的中点，∵，∴，∴点M在以为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，∵，∴，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，∴M点的路径为以为直径的半圆，，∴点M运动的路径长．故答案为．【点拨】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以为直径的半圆．18．【分析】本题主要考查圆的基础知识，掌握三角形全等的判定和性质，三角形内心的性质，角平分线的性质，切线的性质是解题的关键．根据题意作图，可得当时，的最小值，根据题意可得，点是的内心，为等腰直角三角形，由此即可求解．解：∵，∴，根据题意作图如下，

∵是的角平分线，且交于点，过点轴于点，连接，∴点是的内接圆，为半径，在中，为斜边，为直角边，∴，∴当点与点重合，即轴时，最小，如图所示，

当时，在中，，∴，∴，，∴，∴，∴点在的垂直平分线上，即点三点共线，∴当时，的最小值，设的半径为，∵是的直径，，∴，，，∴，∵平分，平分，且平分线交于点，∴点是的内心，∴与切于点，即，设的半径为，∴，，∵，，则为等腰直角三角形，∴，则，∴，∴的最小值为，故答案为：．19．（1）见分析；（2）【分析】（1）连接，连接交于，根据，可得，则，进而可得，，由，即可得出结论；（2）设，则，根据勾股定理可得，进而根据中位线的性质即可求解．解：（1）证明：连接，连接交于，

，，，，，，，半径，是的切线；（2）解：设，，，，，，，，是的中位线，．

【点拨】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．20．（1）见分析；（2）半径的长为3；（3）【分析】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质：（1）根据切线的性质及证得，可证，再利用角的等量代换即可求证结论；（2）设，则，，在和中，分别利用勾股定理即可求解；（3）在和中，利用勾股定理得，，再利用相似三角形的判定及性质即可求解；熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．解：（1）证明：，是的切线，，，在和中，，，，，，，，,．（2）解：由（1）得：，，，在中，根据勾股定理得：，在中，设，则，，由勾股定理得：，即：，解得：，，即的半径为3．（3）在和中，根据勾股定理得：，，，，，，即：，．21．（1）直线与的位置关系是相切，理由见分析；（2）见分析【分析】（1）直线与的位置关系是相切，先四边形是菱形，再由等边三角形的性质得出，结合菱形的性质和切线的判定定理即可得证；（2）先求出，再说明，从而得出，结合可得，即为定值．（1）解：直线与的位置关系是相切，证明：是等边三角形，是重心，点为边的中点，连接点、、，其所在直线是的垂直平分线，，且，

，与互相垂直且平分，四边形是菱形；

又等边中，，为的角平分线，，，

，，∴与相切；（2）证明：与对应的弦为，，，，，，

，，，

，

，，

即为定值．【点拨】本题考查切线的判定和性质，与圆有关的性质概念，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题关键．22．（1）直线为的切线，理由见分析；（2）证明见分析【分析】（1）连接，根据是圆的直径，得出，即可得出，根据，得出，证明，得出，即可证明结论；（2）根据折叠得出，证明，设，则，根据圆内接四边形得出，求出，得出，证明是等边三角形，得出，证明是等边三角形，得出，证明，即可得出结论．（1）解：直线为的切线，理由如下：连接，如图所示：∵是圆的直径，，，又，，，，，即，点在上，直线为的切线．

（2）证明：依题意得：，，，，是圆的直径，，设，则，四边形内接于，，即，解得，，是的切线，，，是等边三角形，，又，是等边三角形，，，∴四边形为菱形．【点拨