专题04几何图形初步

专题04几何图形初步知识点1：认识平面图形、立体图形和图形分类（1）几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一.物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容.像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形.（2）立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形.（3）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形.知识点2：立体图形的展开图立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为立体图形的展开图.如正方体的展开图有如下几种情况：中间四个面，上下各一面:中间三个面，一二隔河见:中间两个面，楼梯天天见:中间没有面，两两连成线:知识点3：点、线、面、体点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.点动成线，线动成面，面动成体.知识点4：直线、射线与线段的概念知识点5：基本事实1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线.2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短.知识点6：基本概念1.两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离.2.线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点.知识点7：双中点模型C为线段AB上任意一点，M、N分别为AC、BC中点，则.知识点8：角的概念1． 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等；②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等；③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等；④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等.注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧.3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点9：角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″．知识点10：钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点11：方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东、正西、正南、正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观测点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观测点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．知识点12：角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．知识点13：角的运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB∠2．注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知识点14：余角和补角（1）余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°，∠A=90°∠C，∠C的余角=90°∠C，即∠A的余角=90°∠A.（2）补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角.∠A+∠C=180°，∠A=180°∠C，∠C的补角=180°∠C，即∠A的补角=180°∠A.（3）补角的性质：同角的补角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B.等角的补角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B.（4）余角的性质：同角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，则∠C=∠B.等角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠D+∠C=90°，∠A=∠D，则∠C=∠B.考点剖析考点一：直线、射线、线段、角的相关概念【典例1】下列说法错误的是（）A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短【答案】D【解析】A、直线和直线表示同一条直线，选项正确，不符合题意；B、过一点能作无数条直线，选项正确，不符合题意；C、射线和射线表示不同射线，选项正确，不符合题意；D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，符合题意．故选：D．【变式11】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释正确的是()A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．线段的长度可以测量 D．两点之间线段最短【答案】D【解析】把弯曲的公路改成直道，其道理是两点之间线段最短．故选：D．【变式12】下列说法正确的是（

）A．点O在线段上 B．点B是直线的一个端点C．射线和射线是同一条射线 D．图中共有3条线段【答案】D【解析】A、点O在线段外，选项说法错误，不符合题意；B、点B是直线的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意；C、射线和射线不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意.故选：D．【变式13】图中直线、射线、线段能相交的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A、因为线段不可无限延长，两线没有交点，所以A选项不符合题意；B、因为直线两端都可以无限延长，射线另一边无限延长后两线有交点，所以B选项符合题意；C、因为直线两端都可以无限延长，射线另一边无限延长后两线没有交点，所以C选项不符合题意；D、因为两直线无限延长没有交点，所以D选项不符合题意，故选B．【变式14】已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（

）A．一定有三条 B．只能有一条C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对【答案】C【解析】有两种情况如图所示：故选：C．【典例2】下列说法中，正确的是（

）A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为【答案】D【解析】A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意；B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意；C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意；D、也可以表示为，故正确，符合题意，故选：D．【变式21】如图所示，图中共有多少个小于平角的角（

）

A．10个 B．9个 C．8个 D．4个【答案】A【解析】，，，，，，，，，.一共有10个角．故选：A．【变式22】下列说法中，正确的是（

）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角的边越长，角越大【答案】C【解析】A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故此选项符合题意；D、角度的大小与边的长短无关，故此选项不符合题意．故选：C．【变式23】图中角的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解析】图中属于角的有：，共6个，故选D．【变式24】如图，下列说法正确的是（

）

A． B．图中只有两个角，即和C．与表示同一个角 D．与表示同一个角【答案】D【解析】A．与不一定相等，该选项说法错误，故不符合题意；B．图中有三个角，分别为、和，该选项说法错误，故不符合题意；C．与表示同一个角，该选项说法错误，故不符合题意；D．与表示同一个角，该选项说法正确，符合题意．故选∶D．考点二：根据线段间的关系判断结论【典例3】杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种 B．15种 C．10种 D．5种【答案】A【解析】需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）．故选：A．【变式31】如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票．A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【答案】D【解析】从A开始的线段有AB，AC，AD三条；从B开始的线段有BC，BD二条；从C开始的线段有CD一条，所以共有6条线段；车票从A到B和从B到A是不同的，所以车票数恰好是线段条数的2倍，所以需要12种车票，故选D.【变式32】将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）A．37 B．36 C．35 D．34【答案】B【解析】∵绳子长72cm，∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个记号，每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个记号，∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：72÷12−1＝5（个），∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．故选：B．【变式33】数轴上的点所表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为18厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点数是(

)A．17个或18个 B．17个或19个 C．18个或19个 D．18个或20个【答案】C【解析】依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖19个数；②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖18个数．故选C．【变式34】下列说法中，正确的是（

）A．在所有连接两点的线中，直线最短B．线段与线段是不同的两条线段C．如果点是线段的中点，那么D．如果，那么点是线段的中点【答案】C【解析】A．在所有连接两点的线中，线段最短，故该选项错误；B．线段与线段是同一条线段，故该选项错误；C．如果点是线段的中点，那么，故该选项正确；D．如果，那么点不一定是线段的中点，故该选项错误，故选：C．考点三：根据线段间的关系求线段的长度【典例4】如图，线段，C是线段的中点，D是线段的中点．(1)求线段的长；(2)在线段上有一点E，，求的长．【解析】（1）∵线段，C是线段的中点，D是线段的中点．∴∴；（2）易得，∵在线段上有一点E，故点E在C点的左边时，，综上：的长为8．【变式41】如图，线段，，点M是的中点．

(1)求线段的长度；(2)在上取一点N，使得．求的长．【解析】（1）∵，，∴．又∵点M是的中点．∴，即线段的长度是．（2）∵，∴．又∵点M是的中点，，∴，∴，即的长度是．【变式42】如图，点是线段的中点，是上一点，且，．(1)求的长；(2)若为的中点，求长．【解析】（1）如图所示：设的长为，，，又，，又为线段的中点，，，又，，，解得：，；（2）为线段的中点，，又，．考点四：钟表中的角度计算【典例5】在上午时，钟表上的时针与分针的夹角是()A． B． C． D．【答案】C【解析】上午时，时针和分针中间相差个大格，钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，∴上午分针与时针的夹角是：．故选：C．【变式51】从分到分，时钟的分针转过的角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】钟面上每两个数字之间所对应的圆心角为，每一个“小格”所对应的圆心角为，从分到分，分针转过个“小格”，所以从分到分，分针转过的角度是，故选：B．【变式52】实验中学上午时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】时钟上每一大格是，∵时时针与分针之间有四个大格，且此时时针转动，∴此时时针与分针所夹的角是，故选：C．【变式53】钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了度．【答案】60【解析】钟表时针转动一周的角度为，平均分成12个刻度，每两个刻度的角度为，所以从3时到5时，转动两个刻度，角度为．故答案为：60．考点五：根据角与角之间的关系判断结论【典例6】如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】∵，∴，即，故①正确；当时，，故②不正确；∵，∴，∴，故③正确；∵平分，∴，∵，∴，∴平分，故④正确；设的平分线为，∵平分，∴，∵，∴，∴，即平分，故⑤正确．综上：正确的有①③④⑤，共4个．故选：C．【变式61】已知，，，则相等的两个角是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】由已知得，，，，，故选：．【变式62】在下列说法中，正确的是（

）A．比较角的大小就是比较角的度数大小B．从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线C．若，则OC是∠AOB的平分线D．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大【答案】A【解析】A.比较角的大小就是比较角的度数大小，故本选项正确；B.从角的顶点出发的一条射线把这个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的平分线，故本选项错误；C.若，且在内部，则是的平分线，故本选项错误；D.放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故本选项错误．故选：A．【变式63】如图，为内一条射线，下列条件中能确定平分的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】A、，不能确定平分，故此选项不合题意；B、，不能确定平分，故此选项不合题意；C、，能确定平分，故此选项符合题意；D、，不能确定平分，故此选项不合题意．故选：C．考点六：根据角与角之间的关系求角度【典例7】如图，已知是的角平分线，是的角平分线．（1）若，，求的度数；（2）若，且，求的度数．【解析】（1）因为是的角平分线，，所以．因为是的角平分线，所以．所以．（2）因为是的角平分线，设．因为，所以，．因为是的角平分线，所以因为，所以，所以，即．【变式71】已知：如图，在内部有（）．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，平分，平分，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．【解析】（1）∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD

=∠AOB+∠COD=150°+20°=170°.（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85°，∴∠MON=∠AOB(∠AON+∠BOM)=150°85°=65°.（3）∵∠AON=∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150102t）°=(70t)°.又∵∠BOM=∠AON，∴70t=（15+t），∴t=19.【变式72】如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE.（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数.【解析】（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOD=36°，∠EOD=90°，∴∠BOE=9036°=54°.（2）∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，∴∠EOB=180°×=60°，∴∠AOE=180°∠EOB=180°60°=120°.【变式73】如图，在直线上，射线平分，射线在内．

(1)若，求证：射线是的平分线；(2)若，，求的度数．【解析】（1）∵．∴，∵，∴．∵射线平分，∴，∴，∴，∴射线是的平分线；（2）∵，设，则，∵，∴，∵射线平分，∴．∵，∴，解得，∴．考点七：线段中的分类讨论思想问题【典例8】点C是线段的中点，点D是线段上一点，，若线段，则．【答案】6或12【解析】点是线段的中点，线段，．，．如图1，当点在线段上时，；如图2，当点在线段上时，．综上所述，的长为6或12．故答案为：6或12．

【变式81】点A、B、C在直线l上，线段，线段，则线段的长是（）A．10 B．2 C．2或5 D．10或2【答案】D【解析】分两种情况：当点C在点A的右侧时，如图：

，当点C在点A的左侧时，

，∴线段的长为：2或10，故选：D．【变式82】已知线段，点D是线段的中点，直线上有一点C，且，则线段．【答案】6或18【解析】∵，点D是线段的中点，∴，设，则，当C点在B、D之间时，如图：∵，∴，解得，∴；当C点在的延长线上时，如图：∵，∴，解得，∴．故答案为：6或18．考点八：角度中的分类讨论思想问题【典例9】将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数；(3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．【解析】（1）∵直角三角板的直角顶点为点，，，．（2）设，则，，射线平分，，又，，解得，．（3）①如图，当在直线上方时，

，，射线平分，，，；②如图，当在直线下方时，

，，射线平分，，，，综上，的度数为或．【变式91】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧，已知，射线，分别是和的角平分线．(1)如图，若射线在的内部，且，求的度数；(2)如图，若射线在的内部绕点旋转，则的度数；(3)若射线在的外部绕点旋转旋转中，均指小于的角，其余条件不变，请借助图探究的大小．【解析】（1），，，，分别是和的角平分线，，，；（2），分别是和的角平分线，，，；（3）①射线，只有个在外面，如图3①，∴；②射线，都在外面，如图3②，

．过关检测一、选择题1．如图，是一个圆柱体模型，若从这个圆柱的左边向右看，则得到的平面图形是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】从左边向右看这个几何体可看到长方形.故选:A.2．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵一个角的补角是120°，∴这个角为：180°120°=60°，∴这个角的余角是：90°60°=30°．故选A．3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在点A′B′处，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由翻折可得：∠1=∠FEA'=55°，∴∠A'ED=18055×2=70°.故选C.4．如图所示，O是直线AB上的一点，∠AOC=∠FOE=90°，则图中∠EOC与∠BOF的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补 D．互为邻补角【答案】C【解析】∠AOC=∠FOE=90°，∠AOF+∠COF=90°,∠EOC+∠COF=90°，∠AOF=∠EOC.∠AOF+∠BOF=180°，∠EOC+∠BOF=180°，即∠EOC与∠BOF的关系是互补.故选C.5．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误；、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误；、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误；、能用，，表示同一个角，故此选项正确．故选：D．6．如图，已知是的平分线，则下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（

）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】∵是的平分线，∴，∴②③④正确，故选：A.7．如图，通常我们描述点B和点C的方向,分别为(

)A．南偏东25°,北偏西60° B．东偏南65°,西偏北60°C．北偏东155°,南偏西120° D．西偏南115°,东偏北150°【答案】A【解析】根据图可知，点B的方向为南偏东25°，点C的方向为北偏西60°，故选A.8．如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵平分，∴，故选：C.9．在直线上取三点、、，使线段，，则线段的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】①当点C在线段BA的延长线上时，如图所示：可得BC=AB+AC=11cm；②当点C在线段AB上时，如图所示：可得BC=ABAC=5cm，综上所述，线段BC的长为5cm或11cm，故选：D.10．一副三角尺按如图所示方式摆放，且比大40°，则∠2的度数是（

）A．20° B．25° C． D．【答案】B【解析】根据图示可知∠1+∠2=90°，∠1=∠2+40°，所以∠2=（90°40°）÷2=25°．故选：B．11．下列换算中，错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.47.28°=47°16′48″，正确，不合题意；B.83.5°=83°30′，故此选项错误，符合题意；C、16°5′24″=16°5.4′=16.09°，正确，不合题意；D、0.25°=15′=900″，正确，不合题意．故选B．12．小亮利用星期天进行社会调查活动，早晨8:00出发，中午12:30到家，则小亮出发和到家时时针和分针的夹角分别为（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【解析】早晨8：00，时针和分针夹角是4份，每份30°，故4×30°=120°．∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∴钟表上12时30分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×30=15°，分针在数字6上．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴12时30分钟时分针与时针的夹角6×30°15°=165°．即：出发时的时针和分针的夹角为120°，回到家时时针与分针的夹角为165°．故选B.二、填空题13．若，，则．【答案】【解析】，故答案为：．14．国扇文化有深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为．

【答案】线动成面【解析】根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面．故答案为：线动成面．15．如图