浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学

绝密★考试结束前2023学年第二学期温州新力量联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（）A.B.C.D.2.在中，“”是“”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知，向量在上的投影向量的模长是4，则可能为（）A.12B.8C.8D.24.有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），其中，则这块菜地的面积为（）A.B.C.D.5.已知锐角三边长分别为，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（）A.7B.6C.4D.37.在中，由下面的条件能得出为钝角三角形的是（）A.B.C.D.8.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.设向量，则下列叙述正确的是（）A.若，则与的夹角为钝角B.的最小值为2C.与垂直的单位向量只能为D.若，则10.已知为坐标原点，点，则（）A.B.C.D.11.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为的球体B.所有棱长均为的四面体C.底面直径为，高为的圆柱体D.底面直径为，高为的圆柱体非选择题部分三､填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分）12.在正四棱台中，，则该棱台的体积为__________.13.为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的地测得塔尖的仰角为，沿北偏东前进100米到达地（假设地和地在海拔相同的地面上），在地测得塔尖的仰角为，则塔高为__________米.14.如图，在中，为上不同于B，C的任意一点，点满足，若，则的最小值为__________.四､解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知向量，且.（1）求与；（2）若，求向量的夹角的大小.16.（本小题满分15分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求面积.17.（本小题满分15分）求一个棱长为的正四面体的体积，常有如下解法：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该四面体的“生成正方体”（如图一），则四面体是棱长为的正四面体，四面体的体积.（1）求四面体的体积；（2）模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为和，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；（3）一个相对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体（如图二），其三组对棱长分别为，，，求此四面体的体积.18.（本小题满分17分）设是虚数，是实数，且；（1）求的值以及的实部的取值范围；（2）若，求证为纯虚数；（3）在（2）条件下求的最小值.19.（本小题满分17分）在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且.（1）求的值；（2）若为线段上任意一点，求的取值范围.绝密★考试结束前2023学年第二学期温州新力量联盟期中联考高一年级数学学科参考答案一､单选题12345678CAADABBC二､多选题91011ABACABD三､填空题12.13.5014.1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的坐标和平移，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.把向量按向量平移后，所得向量的坐标不变，即可得出.【解答】解：，把向量按向量平移后，所得向量仍然为.故选：.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分､必要､充要条件的判断，属于基础题.由正弦定理知，由，知，所以，反之亦然，故可得结论.【解答】解：在中，由正弦定理知（为外接圆的半径），，故.故“”是“”的必要条件；反之，，由正弦定理得，，故“”是“”的充分条件；综上所述，“”是“”的充要条件.故选：.3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积和投影向量，关键是知道向量的数量积的计算方法.设与夹角为，根据投影向量的模长为4可得，进而可得.【解答】解：设与夹角为，由题意知，则又，.故选.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了斜二测画法，直观图，属于基础题.由所给条件求出，将斜二测直观图还原成直角梯形，利用梯形的面积公式即可求解.【解答】解：如图1所示，过点作垂直于于点，，，四边形是正方形，则，将斜二测直观图还原成图2所示直角梯形，其中，所以这块菜地的面积为.故选：.5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.由题意利用余弦定理可得，即可解得的取值范围.【解答】解：因为锐角三边长分别为，由题意有，解得.故选：.6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查棱柱的体积.设三棱柱的底面面积为，高为，则.当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形，由于水面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是，求出水的体积，从而可求当底面水平放置时，求出水面的高度.【解答】解：设三棱柱的底面的面积为，高为，则.当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形，由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是，水的体积是，当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有，，即当底面水平放置时，水面高为6.故选.7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的数量积运算，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.由平面向量的数量积判断；将已知等式两边平方即可判断；由判断；利用正弦定理即可求解判断.【解答】解：.因为，所以，，即角为锐角，角不定，故错误；.两边平方得，所以，由，得，得，即角为钝角，故正确；C.由，可得，则，所以角为锐角，故错误；，因为，由正弦定理得，因为，所以或，则，或，故错误；故选.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，属较难题.延长交于，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定为锐角，则可假设为钝角，得到，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合为锐角可求得的取值范围.【解答】解：延长交于，如下图所示：为的重心，为中点，，；在中，；在中，；，即，整理可得：为锐角；设为钝角，则，，解得：，，由余弦定理得：，又为锐角，，即的取值范围为.故选.9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的模以及单位向量等基本知识，属于中档题.根据向量的数量积小于0且不共线可判断；求出向量的模判断；根据单位向量的求法判断；由向量模相等列出方程求解判断D.【解答】解：当时，，且与不共线，则与的夹角是钝角，所以正确；，当且仅当时取等号，所以的最小值为正确；设与垂直的单位向量为，则，解得或与垂直的单位向量为或，所以不正确；若，可得：，解得或2，所以不正确；故选：.10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，考查三角函数的恒等变换，属于中档题.根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可.【解答】解：，，对于正确；对于，，因为不一定相等，所以不一定相等，错误；对于；对于，与不一定相等，错误.故选：.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查正方体内接其它几何体的问题，属于综合题.由正方体､球体､四面体､圆柱体的结构特征和棱长､直径的大小关系，逐个分析选项可得解.【解答】解：对于：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以直径为的球体能够被整体放入正方体内，故正确；对于：因为正方体的面对角线长为，且，所以所有棱长均为的四面体能够被整体放入正方体内，故正确；对于：因为正方体的体对角线长为，且，所以底面直径为，高为的圆柱体不能够被整体放入正方体内，故不正确；对于：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，，即，解得，且，即故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为所以底面直径为，高为的圆柱体能够被整体放入正方体内，故正确.故选：.12.【答案】【解析】【分析】本题考查正四棱台的体积，属于中档题.可将正四棱台补成正四棱锥，然后分析求解即可.【解答】解：如图，将正四棱台补成正四棱锥，则，，故，.13.【答案】50【分析】本题考查解三角形的应用，画出图形，结合已知条件和正弦定理求解即可.【解答】解：如下图，设塔米，由已知有平面米，在中，，在中，，所以在中，由余弦定理有，解得（米）（负值舍去），故答案为50.14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是向量的运算､共线问题及平面向量基本定理，属于中档题.设，结合向量的运算求出值，再求的最小值即可.【解答】解：不妨设，，，，，当时，有最小值，最小值为.故答案为.15.【答案】解：（1）由，得，解得.由，得，解得所以.（2）因为，所以，.所以，又.所以向量的夹角为.16.【答案】解：（1）根据余弦定理，，所以（2）方法一：根据正弦定理，.，，又，则，.方法二：，，，即，，，.17.【答案】解：（1）.（2）设生成平行六面体的底面积为，高为，则其体积为，则则，即.（3）如图，构造该四面体的“生成长方体”，设棱长分别为，，，则有，解得：.则有.18.【答案】解：（1）由题意，设，则，因为，所以，所以，所以，所以，又，即所以，故的实部的取值范围；（2）由（1）可知，，因为，所以，所以为纯虚数；（3）由（1）（2）知所以，当且仅当时，即，所以时取等号，故的最小值为1