专题143全等三角形的九大经典模型（举一反三）（沪科版）

专题14.3全等三角形的九大经典模型【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1平移模型】 1【题型2轴对称模型】 6【题型3旋转模型】 11【题型4一线三等角模型】 19【题型5倍长中线模型】 26【题型6截长补短模型】 34【题型7手拉手模型】 43【题型8角平分线模型】 51【题型9半角全等模型】 57【知识点1平移模型】【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1平移模型】【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连接AD，AC、DE交于点O．下列结论一定正确的是（）A．∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=【答案】D【分析】根据平移的性质得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，则可对A、B、C选项的进行判断；AC交DE于O点，如图，证明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，则可对D选项进行判断．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确；∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，而AD=CE，∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD=OE，OA=OC即AC、DE互相平分，所以D选项的结论正确．故选：D．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．【变式11】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB=CD，BC=DE．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△A'B'C'，边B'C'与边CD的交点为F，连接EF，若EF将CDE【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）首先由点C为AE的中点得出AC=CE，再根据SSS证明△ABC≌△（2）根据平移的性质得A'B'=CD=【详解】（1）证明：∵点C为AE的中点，∴AC在△ABC和△CDE中，AB∴△ABC≌△CDE（2）解：将△ABC沿射线AC方向平移得到ΔA'B'∴A∵边B'C'与边CD的交点为F，连接EF，EF∴CF故答案为：2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及平移的性质，根据SSS证明△ABC≌△CDE是解答本题的关键．【变式12】（2023春·重庆·八年级校考期中）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD交AC于点(1)求证：△AFB≌(2)若AB=9，BC=7，求【答案】(1)见解析(2)1<【分析】（1）根据∠A=∠FCD，∠AFC=∠CFD，即可证明；（2）在△BCD中，利用三边关系求出BD（1）证明：∵AB∴∠A在△AFB和△{∠∴△AFB≌（2）解：∵△AFB≌∴BF在△BCD中，BC=7，∴2<BD∴2<2BF∴1<BF【点睛】本题考查平移变换、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件解决问题，属于中考常考题型．【变式13】（2023春·八年级课时练习）已知△ABC，AB=AC,∠ABC=∠ACB，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如图，连接BD、AF【答案】BD=【分析】由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得到AC=【详解】解：BD=证明：由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得AC=DF=在△ABF和△DFB中，∴△ABF∴BD=故答案是=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确分析证明是解题的关键．【知识点2轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【题型2轴对称模型】【例2】（2023春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=α，∠ABE=A．α+3β=180° B．β-α=20°【答案】D【分析】直接利用平行线的性质结合翻折变换的性质得出△ADM≌△BCM(SAS)，进而利用直角三角形的性质得出答案．【详解】∵M为CD中点，∴DM=CM，在△ADM和△BCM中∵AD=∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴∠AMD=∠BMC，AM=BM∴∠MAB=∠MBA∵将点C绕着BM翻折到点E处，∴∠EBM=∠CBM,∠BME=∠BMC=∠AMD∴∠DME=∠AMB∴∠EBM=∠CBM=12(90°∴∠MBA=12(90°β)+β=1∴∠MAB=∠MBA=12∴∠DME=∠AMB=180°∠MAB∠MBA=90°β∵长方形ABCD中，∴CD∥AB∴∠DMA=∠MAB=12∴∠DME+∠AME=∠ABE+∠MBE∵∠AME=α，∠ABE=β，∴90°β+α=β+12(90°∴3β－2α＝90°故选D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是利用全等三角形对应角相等即可求解.【变式21】（2023·全国·八年级专题练习）如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12∠DAB．试猜想DE，BF，EF【答案】DE+BF=EF，见解析【详解】试题分析：通过延长CF，将DE和BF放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论．猜想：DE+BF=EF．证明：延长CF，作∠4=∠1，如图：∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF=∠FAE，在△AGB和△AED中，，∴△AGB≌△AED（ASA），∴AG=AE，BG=DE，在△AGF和△AEF中，，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF=EF，∴DE+BF=EF．【变式22】（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，将ΔABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针旋转α度（α＜∠ABC）．得到RtΔADE，其中斜边AE交BC于点F1请根据题意用实线补全图形；（不得用铅笔作图）．2求证：ΔAFB【答案】（1）作图见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系；（2）由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可证得△AFB≌△AGE．【详解】解：（1）画图，如下图；证明：由题意得：△ABC≌△AED．∴AB=AE，∠ABC=∠E．在△AFB和△AGE中，∠∴△AFB≌△AGE（ASA）．【点睛】本题考查折叠与旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想的应用以及注意折叠与旋转中的对应关系．【变式23】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）阅读材料，并回答下列问题如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外），．（2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝．（3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．（4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A′的位置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．【答案】（1）旋转；（2）3；（3）见解析；（4）不成立，正确结论：∠2﹣∠1＝2∠A'，见解析【分析】（1）由题意根据三种全等变换翻折、平移、旋转的定义进行判断即可；（2）根据平移的距离的定义可知AD＝2，则DC＝AC﹣AD进行求解即可；（3）根据轴对称及三角形内角和定理进行分析即可得出结论；（4）由题意根据轴对称及三角形内角和定理，进行分析即可得出结论.【详解】解：（1）除翻折、平移外全等变换的方法还有旋转；故答案为：旋转.（2）∵AD＝2，AC＝5，∴DC＝AC﹣AD＝5﹣2＝3；故答案为：3.（3）∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED）；由平角定义知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，∠1＝180°﹣∠A'EA＝180°﹣2∠A'ED，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠A'DE+180°﹣2∠A'ED＝2（180°﹣∠A'ED﹣∠A'DE），∴2∠A′＝∠1+∠2．（4）∠2﹣∠1＝2∠A'，理由如下：∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED），由平角定义知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，∠1＝2∠A'ED﹣180°，∴∠2﹣∠1＝（180°﹣2∠A'DE）﹣（2∠A'ED﹣180°）＝180°（∠A'DE+∠A'ED），∴∠2﹣∠1＝2∠A'．【点睛】本题是三角形综合题，综合考查平移的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．【知识点3旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】【题型3旋转模型】【例3】（2023春·全国·八年级期末）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由见详解；（2）BE−DF＝EF，理由见详解；（3）BE＝a+【分析】（1）根据SAS直接可证△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，连接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，从而SAS证△ABG≌△ADF，再通过SAS证△GAE≌△FAE，得GE＝EF，从而解决问题；（3）作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，由（2）同理可两次全等证明出DE＝GD即可．【详解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，AG=∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE−DF＝EF，理由如下：如图2，在BE上取BG＝DF，连接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，BG=∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中AG=∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE−DF＝EF；（3）如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a−BE＝c＋BE，∴BE＝a+【点睛】本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键．【变式31】（2023春·八年级课时练习）如图，等边△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°【答案】55°，60°，65°．【分析】通过旋转△AOB至△CDB，可得△BOD是等边三角形，将【详解】解：将△AOB逆时针旋转60°，得到△∵△AOB≌△CDB，△ABC是等边三角形，且旋转角相等，则∴△BOD是等边三角形.则OB又∵△AOB≌△CDB∴∠故以线段OA,OB,所以∠∠COD∠OCD故答案为：55°,60°,65°.【点睛】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键.【变式32】（2023春·全国·八年级专题练习）已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF(1)在图1中，连接EF，为了证明结论“EF=BE+DF”，小亮将ΔADF绕点(2)如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE【答案】(1)见解析(2)EF=【分析】（1）利用旋转的性质，证明ΔAGE≅（2）把ΔABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与CD重合，点E与点G对应到AD，证明ΔAEF≅ΔAGF即可求得EF【详解】（1）证明：如图1，由旋转可得GB=DF,AF=∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD∴∠ABC∴G、B、C三点在一条直线上∵∠EAF∴∠BA∴∠BAG在ΔAGE和ΔAFE中AG=∴ΔAGE≅∴GE=∵GE=∴EF（2）结论：EF=DF理由：如图2，把ΔABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点E与点G对应，同（1）可证得ΔAEF≅∴EF=GF,且∴EF【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形．【变式33】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE(1)如图1，若AB>AC，且BD=(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，【答案】(1)60°(2)BF+【分析】（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，证明ΔBCE≅Δ（2）结论：BF+CF=2CN．首先证明∠BFC=120°．如图2中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ，证明ΔCNM≅ΔQNF(SAS)，推出FQ=CM【详解】（1）解：如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=在ΔBCE和ΔCBKBC=∴ΔBCE∴BK=∵CE=∴BD=∴∠BKD∵∠BEC∴∠ADF∴∠A∵∠A∴∠EFD∴∠CFE（2）结论：BF+理由：如图2中，∵AB=∴ΔABC∴AB=∵AE=∴ΔABE∴∠BCF∴∠FBC∴∠BFC如图2中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接∵NM=∴ΔCNM∴FQ=CM=∴FQ∥CM∴∠PFQ延长CF到P，使得PF＝∵∠BFP∴ΔPBF∴∠PBC∴∠PFQ∵PB=∴ΔPFQ∴PQ=∴ΔPCQ∴BF+【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【知识点4一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【题型4一线三等角模型】【例4】（2023春·山东菏泽·八年级校联考阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得（2）利用∠BDA=∠BAC=α（3）由题意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°【详解】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥∴∠BDA∵∠BAC∴∠BAD∵∠BAD∴∠CAE∵在ΔADB和ΔCEA中，∠ABD∴ΔADB解：（2）成立，理由如下：∵∠BDA∴∠DBA∴∠CAE∵在ΔADB和ΔCEA中，∠ABD∴ΔADB（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴BF=∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴∠DBA∴∠CAE∴ΔADB≌∴AE=∵∠FBD∴∠FBD∴ΔDBF≌ΔEAF（∴FD=∴∠BFA∴△DFE是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．【变式41】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，∠BAD∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．【变式42】（2023春·上海·八年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈现]证明△ABC≌△DAE[模型应用]根据全等三角形的性质得到AP=BG=3，AG[深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到DP=AF=12,【详解】[模型呈现]证明：∵∠BAD∴∠BAC∵BC⊥∴∠ACB∴∠BAC∴∠ABC在△ABC和△∠ABC∴△ABC∴BC=[模型应用]解：由[模型呈现]可知，△AEP∴AP=则S实线围成的图形故答案为：50；[深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交由[模型呈现]可知，△AFB∴DP=在△DPG和△∠DPG∴△DPG∴PG=∵BC=21∴AQ+∴AP+∴AG=∴S△故答案为：63．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键．【变式43】（2023春·八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，（2）探索证明：如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB=AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且（3）拓展应用：如图③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF；（3）先证明△ABE≌△CAF，得到ΔACF与ΔBDE的面积之和为△ABD的面积，再根据CD=2【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，