专题15直角三角形的边角关系（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）

专题1.5直角三角形的边角关系（全章直通中考）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2021·广东深圳·统考中考真题）计算的值为（

）A． B．0 C． D．2．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB4．（2023·广东深圳·统考中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J5．（2015·甘肃庆阳·中考真题）在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（）A．45° B．60° C．75° D．105°6．（2012·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，则的长为（

）A．4 B． C． D．7．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米8．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（

）A． B． C． D．9．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．10．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（

）

A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2011·湖北武汉·统考中考模拟）tan30°＝．12．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为m．13．（2019·四川乐山·统考中考真题）如图，在△中，，,.则边的长为.14．（2017·辽宁抚顺·中考真题）如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为米（结果保留根号）．15．（2014·江苏苏州·统考中考真题）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=．16．（2013·四川成都·中考真题）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为米．17．（2015·广西玉林·统考中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=．18．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）（1）计算： （2）因式分解：．20．（8分）（2017·四川阿坝·中考真题）如图，小明在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，小明测得风筝的仰角为60°，求风筝此时的高度．（结果保留根号）21．（10分）（2020·湖北襄阳·中考真题）襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，）22．（10分）（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

23．（10分）（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）24．（12分）（2023·湖南怀化·统考中考真题）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）

参考答案：1．C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．2．C【分析】根据余弦的定义可直接进行求解．解：由题意得：；故选C．【点拨】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键．3．B【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．解：∵中，，、、所对的边分别为a、b、c∴，即，则A选项不成立，B选项成立，即，则C、D选项均不成立故选：B．【点拨】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．4．B【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．解：故选：B．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．5．D解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方．6．A【分析】根据锐角三角函数的定义即可得解.解：在中，．因为，所以．故选A7．B【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，，米.，米.故选：B.【点拨】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.8．D【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，∴∠DAC为对应的俯角，故选D．【点拨】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键．9．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故选：D．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．10．D【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可.解：∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，∴，其中，解得：，，∴，故选：D.【点拨】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.11．【分析】根据特殊角的三角函数值直接填空．解：tan30°故答案为：【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．50【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝，∴，∵BC＝30m，∴，解得：AB=50m，即迎水坡面AB的长度为50m．故答案为：50【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．13．【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题解：过A作AD⊥BC于D点，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.14．．解：如图，连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'，∴AN=A'N，∴∠ANB=∠A'NB=45°，∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，∴AN=MN=200米，在Rt△ABN中，∠ANB=45°，∴AB=AN=（米），故答案为．【点拨】此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB=45°．15．解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴AH平分∠BAC，且BH=BC=4．又∵∠BPC=∠BAC，∴∠BAH=∠BPC．∴tan∠BPC=tan∠BAH．在Rt△ABH中，AB=5，BH=4，∴AH=3．∴tan∠BAH=．∴tan∠BPC=．16．100．解：由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，∴BC=AB=100米．17．105°．【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=1，则tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．故答案为105°．18．【分析】根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，再推出，进而得到，再求出的长即可得到答案．解：由题意得，，，，∴，∴

∵，∴，，∴，∴，∴，∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键．19．（1）；（2）【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．（1）解：原式（2）解：原式【点拨】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．20．．试题分析：根据“等角对等边”求出BC的长，然后在Rt△BCD中，利用三角函数求出CD的长．解：∵∠A=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=30米，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30，∴sin∠CBD=，sin60°=，∴CD=米．答：风筝此时的高度米．21．点E与点D间的距离是358.4米．【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解．解：∵，∴，∴，即，解得（米），答：点E与点D间的距离是358.4米．【点拨】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形．22．“龙”字雕塑的高度为．【分析】在和中，分别求得和的长，据此求解即可.解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴,答：“龙”字雕塑的高度为．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23