专题61图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题6.1图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】比例线段定义：在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【知识点2】比例线段的性质（1）基本性质：；（2）合比性质：⇔＝；（3）等比性质：；【知识点3】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则，.【知识点4】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即如图所示，若∥，则，.【知识点5】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．【知识点6】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【知识点7】相似多边形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．(4)满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【知识点8】相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例．（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．【知识点9】相似三角形的应用测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.【知识点10】相似三角形的常见模型“A“A”型斜“A”型“母子型”字型““X”型斜“X”（蝴蝶）型射影定理模型一线一线三直角型一线三等角【知识点11】位似图形的定义性质与画法定义如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.位似图形的画法：（1）确定位似中心；（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；（3）描出新图形.【考点一】比例的基本性质与成比例线段【例1】（2023·上海·九年级假期作业）（1）若，则___________；（2）若，则___________；（3）若，则___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）对化简得，再把代入，即可；（2）根据，得，把的值代入，即可；（3）对化简，得，把的值代入，即可解：（1）∵，∴；故答案为：．（2）∵，∴，∴，故答案为：．（3）∵，∴，∴．故答案为：．【点拨】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质．【举一反三】【变式1】（2023下·山东烟台·八年级统考期中）若，则的值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等式性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．解：由，得，当时，，故选B．【点拨】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y表示x是解题关键．【变式2】（2023·上海·九年级假期作业）（1）是和的比例中项，则；（2）是和的比例中项，则；（3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是．【答案】厘米【分析】（1）根据比例中项的定义求出a与b的积，再整体代入求解即可．（2）根据比例中项的定义即可求解．（3）根据比例中项的定义即可求解．解：（1）由题意可知，由此，所以；故答案为：．（2）由题意可知，可解得；故答案为：．（3）因为、都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为（厘米）．故答案为：厘米．【点拨】本题考查了比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．【考点二】黄金分割【例2】（2022上·浙江·九年级专题练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．现设的长为1．（1）求的长；（2）若令，，记，，，，求的值．【答案】（1）；（2）5050【分析】（1）根据可得方程，解方程即可求解；（2）由，，可得，通分化简可得：，，依据规律可得：，即问题得解．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴整理有，∴解得：，（负值不符合题意，舍去）即的长为：；（2）∵，，∴，∴，，同理可得：，∴，即答案为：5050．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值以及黄金分割的概念等知识，掌握分式的化简求值是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据作图可知，，，设，则，，求出，得出，即可得出结论．解：根据作图可知，，，设，则，∴根据勾股定理可得：，∴，∴，∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．【变式2】（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．【答案】【分析】根据黄金分割比例进行求解即可．解：∵C是线段AB靠近B的黄金分割点，∴米，故答案为：．【点拨】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．【考点三】平行线分线段成比例及其推论【例3】（2021上·江苏泰州·九年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图1，在等边中，，点D是直线上一点，在射线上取一点E，使，以为边作等边，连接．（1）若点D是的中点，则__________，_________；（2）如图2，连接，当点D由中点向点C运动时，请判断和的数量关系，并说明理由；（3）如图3，点D在延长线上，连接，当时，求的长．【答案】（1）；；（2），见分析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BDC=90°，CD=1，再利用勾股定理得出AE=AD=，从而得出DE的长，继而根据勾股定理即可得出EC的长；（2）根据SAS得出即可得出结论；（3）根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，再根据勾股定理即可得出结论解：∵等边，点D是的中点，∴CD=，∠BDC=90°，∴，∵等边，且AD=AE，∴DE=2，∴；（2）∵在等边和等边中，∴∴∴∴（3）∵∴，又∵等边∴∴是直角三角形，，∴又∵是等边三角形，∴∵，∴，∴【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关的知识是本题的关键．【举一反三】【变式1】（2021·山东德州·中考真题）将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解．解：设交于点，∵，，∴，∵，∴，三角形为等腰直角三角形，在Rt△ABC中，设长为，则，∵，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比．【变式2】（2022下·全国·九年级专题练习）如图，已知，若，，则．【答案】【分析】由平行线分线段成比例定理得到，再代入计算即可．解：，，即，∴，故答案是：．【点拨】考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是运用其定理得到．【考点四】多边形的性质及判定【例4】（2022上·浙江杭州·九年级统考期末）若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）【答案】（1）见分析；（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由见分析；（3）若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.【分析】（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；（2）矩形EBCF不是黄金矩形，设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BAE′A=ab，由已知得=，所以==÷（1+）=÷（1+）=≠，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，理由：==（1）÷=（1）÷=，即对应边成比例，故两个矩形相似.（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.解：（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BAE′A=ab，由ABCD为黄金矩形，得=∴==÷（1+）=÷（1+）=≠∴矩形EBCF不是黄金矩形;矩形E′BCF′是黄金矩形.证明：如图，∵==（1）÷=（1）÷=∴E′BCF′是黄金矩形（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.【点拨】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：熟记对应边成比例且对应角相等的多边形相似.【举一反三】【变式1】（2023·山东·统考中考真题）如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（）A．直线为线段的垂直平分线 B．C． D．【答案】D【分析】根据折叠的性质可得：AB=AF，BE=FE，所以AE垂直平分线段BF，从而可判断选项A正确；由E是BC的中点，则BE=EC，故有BE=FE=EC，从而可分别判断选项B、C均正确，从而选项D错误．解：根据折叠的性质可得：AB=AF，BE=FE∴AE垂直平分线段BF∴选项A正确∵E是BC的中点∴BE=EC∴BE=FE=EC∴选项C正确∵FE=EC∴∠EFC=∠ECF∴选项B正确则选项D错误事实上，过点E作EG⊥FC于点G∴CF=2GF，∠FEG=∠CEG根据折叠的性质，可得：∠BEA=∠FEA，∠AFE=∠B=90°∵2∠FEA+2∠FEG=180°∴∠FEA+∠FEG=90°∵∠FEA+∠EAF=∠AFE=90°∴∠FEG=∠EAF∴△FEG∽△EAF∴∵FE=BE=3，AB=4∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=5∴∴CF=2GF=则选项D错误故选：D【点拨】本题主要考查了图形折叠的性质、三角形相似的判定与性质，关键是抓住折叠中的不变量．【变式2】（2022上·陕西西安·九年级校考期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝．【答案】【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=ADAF=，故答案为：．【点拨】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．【考点五】相似三角形的性质及判定【例5】（2021·浙江杭州·统考一模）如图所示，在平行四边形中，于，平分交线段于．（1）如果，求证：；（2）一般的情况下，如果，试探究线段、与之间的所满足的等量关系（其中，是已知数）．【答案】（1）证明见分析；（2）nCD=mAF+nBE．【分析】（1）延长EA到G，使得，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出，求出，根据SAA证明，推出，，求出，推出即可；（2）延长EA到G，使得，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出，推出，代入即可求出答案．解：（1）过D作DH⊥BC的延长线于H点，并截取HG=AF，连接DG∵四边形ABCD是平行四边形∴∵于点E∴∴∴在△ABE和△DGA中∴∴∵四边形ABCD是平行四边形∴∵∴∴∴∴（2）nCD=mAF+nBE.理由是：延长EA到G，使得，连接DG，即因为四边形ABCD是平行四边形所以AB=CD，，AD=BC，因为于点E所以∠AEB=∠AEC=90°所以∠AEB=∠DAG=90°所以∠DAG=90°，即∠AEB=∠GAD=90°因为所以所以∠1=∠2，，所以∠GFD=90°∠3因为DF平分∠ADC所以∠3=∠4所以∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°∠FAD∠3=90°∠3所以∠GDF=∠GFD所以DG=GF因为，AB=CD（已证）所以nCD=mDG=m即nCD=mAF+nBE.【点拨】本题考查了三角形综合问题，掌握平行四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·四川德阳·统考二模）如图，在正方形中，点G是上一点，且，连接交对角线于F点，过D点作交的延长线于点E，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作的垂线交的延长线于点，根据正方形的性质求得，根据，求得，从而求得，然后根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理即可求解．解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，中，，，，，，，，，中，．故选D【点拨】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2021·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，在中，，，，过点作，且，过作，交于点，是上的动点，当的周长最小时，的长为．【答案】【分析】根据，，得到，再根据，得到点在线段的垂直平分线上，从而得到，，因此得到当与重合时，最小，根据，，可得，，根据，由相似三角形的判定定理得到，从而可得DP的长．解：如图，连接．∵，，∴．又∵，∴DE是线段AC的垂直平分线，∴点在线段的垂直平分线上．∴，，∴要使的周长最小，只要最小即可．∵，∴当与重合时，最小．∵，，∴，．∵，∴，∴．∴，即．故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，最短路径问题，垂直平分线的判定与性质等知识．正确作出辅助线是解题的关键．【考点六】位似图形【例6】（2021下·九年级课时练习）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F为AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）试探究△ABM与△EDN是否相似，并说明理由．（2）如果F是AM的中点且AB＝12，BM＝5，求CN的长．【答案】（1）相似，理由见分析；（2）【分析】（1）由正方形的性质得出∠EDN=∠B=90°，由余角的性质得出∠DEN=∠BAM，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，得出DE的长，再根据△ABM∽△EDN求出DN的长即可求解．解：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDN=∠B=90°，∴∠BAM+∠DAF=90°，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠E+∠DAF=90°，∴∠E=∠BAM，∴△ABM∽△EDN；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=，∵∠E=∠BAM，∠AFE=∠B=90°，△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=，∴DE=AEAD=12=，∵△ABM∽△EDN，∴，即，∴DN=，∴CN=CDDN=12=．【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【举一反三】【变式1】（2022上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）如图，正方形和正方形是位似图形，点A的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为（

）

A．或 B．或C． D．或【答案】D【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点，分别求出直线的函数解析式，然后求交点即可．解：∵正方形和正方形中，点A的坐标为，点的坐标为，∴，（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是与的交点.设所在的直线的解析式为解得∴所在的直线的解析式为当时，，所以与的交点为；（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是与的交点设所在的直线的解析式为解得∴所在的直线的解析式为设所在的直线的解析式为解得∴CG所在的直线的解析式为联立解得∴与的交点为综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或故选：D．【点拨】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键．【变式2】（2022上·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为．

【答案】【分析】先把点和点的横纵坐标都乘以得到，，则，接着证明，所以，然后把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．解：等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，而点，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了等腰直角三角形的性质．【考点六】相似三角形综合——几何模型【例7】（2020上·四川·九年级校考阶段练习）点为在线段上一点，和都是等边三角形，交于点，交于点．（1）求证：；（2）求的度数；（3）判断的形状，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质．（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为，利用“”即可得到三角形与三角形全等；（2）根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可；（3）三角形为等边三角形，理由为：由第一问三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由，利用平角的定义得到，再由，利用“”可得出三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，再由，利用有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得出三角形为等边三角形．解：（1）证明：和都是等边三角形，，，，由平角的定义得，，，在和中，，；（2）由（1）得，，，在中，，，∴在中，；（3）为等边三角形，理由为：证明：，，又，，即，在和中，，，，，则为等边三角形．【举一反三】【变式1】（2020上·四川遂宁·九年级射洪中学校考阶段练习）如图，在正方形中，，点，分别是射线，射线上的点，，与交于点．过点作，交直线于点，则的