专题01有理数（原卷版）

专题01有理数知识点1：正负数小学学过的除0以外的数都是正数.在正数前面加上符号“”（负）的数叫做负数.大于零的数是正数，小于零的数是负数.0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界点.知识点2：有理数的分类用正、负数表示具有相反意义的量.（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数.分数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数.（2）分类：两种按正、负性质分类：按整数、分数分类：知识点3：有理数的相关概念1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.知识点4：有理数的运算1.有理数的加法加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.加法运算定律：（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a+b=b+a.（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）.2.有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即ab=a+（b）.3.有理数的乘法乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值.（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0.乘法运算定律：（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等.即a×b＝ba.（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚.（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a×﹙b+c﹚＝a×b+a×c.4.有理数除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数.（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0.5.有理数的乘方运算法则（1）正数的任何次幂都是正数.（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.（3）0的任何正整数次幂都是0.6.科学记数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）.这种记数的方法叫做科学记数法.﹙1≤|a|＜10﹚2.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位.（2）保留几个有效数字.注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105.3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数.注意：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：3.0×104的有效数字是3.（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字.例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5.考点剖析考点一：正负数【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走40m，那么表示（

）A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走【变式11】何小虎是航天科技六院西安航天发动机的数控车工、高级技师，他的绝活是在非精密环境中实现产品精密加工．在长三乙火箭发动机喷注器架的生产中，需要加工几项基本尺寸为的深小轴（）范围内的尺寸均为合格品，则下列深小轴的尺寸中合格的是（）A． B． C． D．【变式12】某校仪仗队队员的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（

）A． B． C． D．考点二：有理数的相关概念【典例2】的相反数是（

）A．2023 B． C． D．【变式21】下列7个数：、、、、0、、，其中有理数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式22】数轴上的点表示的数是，那么在数轴上与点相距个单位长度的点表示的数是（

）A． B．或4 C． D．4【变式23】若，则的值为（）A．8 B． C．8或 D．以上答案都不对【变式24】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2023厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（

）A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2023或2024【变式25】数轴上点A，B表示的数分别为和5，点M也在该数轴上，且到A，B两点的距离相等，则点M表示的数是．【变式26】比较大小：（填“＜”或“＞”）．【变式27】已知，，在数轴上的位置如图，化简．

考点三：非负性的性质【典例3】若，则的值一定是（

）A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数【变式31】若a是有理数，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式32】若，则．【变式33】已知数，，满足，请回答问题：

(1)请直接写出，，的值：_______，________，________．(2)数轴上，，三个数所对应的点分别为，，，则，两点的距离可表示为_______，数轴上有一点，它表示的数为．若，则点表示的数是______．(3)点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为．①当时，求的长；②当，两点的距离为时，求的值．考点四：有理数的运算【典例4】计算：(1)；(2)．【变式41】计算：(1)；(2)．【变式42】计算：．【变式43】计算：．【变式44】计算：．考点五：有理数的实际应用【典例5】有8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1，4，2，，1，，，，求：(1)这8筐白菜一共多少千克？(2)如果每千克白菜能卖5元，这8筐白菜共能卖多少元？【变式51】检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从O地出发，到收工时行程记录为：单位：千米，，，，，，，，，(1)收工时，检修工在O地的哪边？距O地多远？(2)若每千米耗油升，从O地出发到收工时，共耗油多少升？【变式52】某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）：星期一二三四五六日增减(1)根据记录可知前三天共生产自行车__________________辆．(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产__________________辆．(3)若该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆自行车就可以得到人民币60元．一周超额完成任务，每超一辆可多得15元；不足计划数的，每少生产一辆扣20元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少？过关检测一、选择题1．下列四个数中，属于负数的是（

）A． B．3 C． D．02．在，，0，1.7这4个数中绝对值最大的数是（

）A． B． C．0 D．1.73．有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．4．一种巧克力的质量标识为“克”，则下列质量合格的是（

）A．95克 B．99.8克 C．100.6克 D．101克5．下列说法不正确的是（

）A．0既不是正数，也不是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．1是绝对值最小的有理数 D．0的绝对值是06．2022年6月5日上午10时44分07秒，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，顺利将3名中国航天员送入太空，3名航天员将在距离地球约388600米的中国空间站驻留6个月．其中388600用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．7．下列去括号正确的是（

）A． B．C． D．8．式子与互为相反数，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．﹣2的倒数是．10．用四舍五入法对3.14取近似数精确到个位的结果是．11．若，则的值为．三、解答题12．计算：(1)；(2)．13．为了庆祝中华人民共和国成立74周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，1.2km，+1.1km，1.4km．(1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度；(2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在