专题03勾股定理原卷版

专题03勾股定理【考点1勾股定理】【考点2勾股定理的证明】【考点3直角三角形的性质】【考点4勾股定理的逆定理】【考点5勾股数】【考点6勾股定理的应用】知识点1：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点2：勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点3:勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点4：勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数知识点5：勾股定理应用考点剖析【考点1勾股定理】1．（2022秋•薛城区校级期末）一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（）A．13 B．12 C．15 D．102．（2022秋•碑林区校级期末）如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（）A．225 B．144 C．81 D．无法确定3．（2023•宜州区二模）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（）A．9 B．10 C．11 D．124．（2022秋•东港市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，则BC的长为（）A．3 B．3或 C．3或 D．【考点2勾股定理的证明】5．（2023秋•临淄区期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（）A． B． C． D．6．（2022秋•长春期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．1447．（2022秋•钢城区期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（）A．121 B．144 C．169 D．1968．（2023秋•沭阳县期中）如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c．把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处（如图）．（1）S△ADC＝，S△AB′C′＝，S△ACC′＝；（用a、b、c有关代数式表示）S四边形CDB′C′＝；（用a、b有关代数式表示）（2）由（1）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2；（3）若a+b＝7，c＝5，求S△ADC的值．9．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．10．（2023春•潮阳区期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为24，OB＝3．求该图形的面积．【考点3直角三角形的性质】11．（2023秋•西丰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，则∠B的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°12．（2023秋•灵宝市期中）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C13．（2023秋•青秀区校级期中）如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°，若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．50°14．（2023•梁园区一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（）A．62° B．52° C．38° D．28°15．（2023春•儋州期末）取一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF，若∠BEF＝54°，则∠BFC等于（）A．100° B．108° C．118° D．120°【考点4勾股定理的逆定理】16．（2023秋•吉安期中）下列各组数分別为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．7，24，25 D．8，15，1817．（2023秋•高碑店市期中）一个零件的形状如图所示，∠D＝90°，AB＝12，AD＝4，BC＝13，CD＝3，这个零件的面积是（）A．36 B．72 C．87 D．8818.（2022秋•榕城区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．（2023秋•青羊区校级期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，试求阴影部分的面积．20．（2023秋•工业园区校级期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．（1）直接写出AB＝，BC＝，AC＝；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）直接写出AC边上的高＝．【考点5勾股数】21．（2023秋•武侯区校级期中）下列各组数据中，是勾股数的是（）A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．3，4，5 D．32，42，5222．（2023•茅箭区校级模拟）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．【考点6勾股定理的应用】23．（2023秋•文登区期中）如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的木棒最长为（）A．19m B．24m C．13m D．15m24．（2023秋•汝州市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）225．（2023春•南充期末）如图，你风过境后，一根垂直于地面的大树在离地到6m处撕裂所，大树顶部落在离大树底部8m处，则大树折断之前的高度是（）A．10m B．14m C．16m D．18cm26.（2022秋•井研县期末）为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB＝2.1米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（）A．1.2米 B．1.3米 C．1.4米 D．1.5米27．（2023秋•锦江区校级期中）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）A．m B．4m C．m D．6m28．（2023秋•微山县期中）某同学与爸妈在公园里荡秋千．如图，她坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.8m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.2m和1.4m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住这个同学时，她距离地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.2m D．1.4m29．（2022秋•宽城区校级期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．30．（2022秋•威海期末）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．（2023秋•滕州市期中）如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．（1）求OB的长度；（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．32．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？33．（2023秋•高碑店市期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．（2）若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？过关检测一．选择题（共10小题）1．（2022秋•长安区校级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长．其中能构成直角三角形的是（）A．，2， B．2，3，4 C．6，7，8 D．1，，2．（2023春•铜仁市期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（）A．14 B．16 C．35 D．373．（2022秋•罗湖区校级期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝104．（2022秋•城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．645．（2022秋•新泰市期末）下列各组数中，是勾股数的（）A．4，5，6 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，416．（2023春•雁塔区校级期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A． B． C． D．7．（2023秋•京口区期中）我们在学习勾股定理的第二课时时，如图图形可以用来验证勾股定理的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．（2023秋•平遥县期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（）A．144 B．49 C．64 D．259．（2023秋•太和区期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米10．（2023秋•揭东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则S△ACP：：S△BCP等于（）A．4：3 B．16：9 C．5：3 D．5：4二．填空题（共6小题）11．（2022秋•亭湖区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是．12．（2023春•康县期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．13．（2023秋•鹤山市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，则AD＝．14．（2023春•定州市期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．则滑道AC的长度为m．15．（2023秋•阜宁县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为