专题272相似（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题27.2相似（全章分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2021·全国·九年级专题练习）已知．那么下列各式正确的是（）A． B． C． D．2．（2021上·上海·九年级校考阶段练习）如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且：：，那么：等于（

）A．5：3 B．3：8 C．3：5 D．2：53．（2021上·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校考期中）如图，，与相交于点O，若，，则的长为（）A．9 B．8 C．6 D．44．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．5．（2021上·九年级课时练习）如图，把一个矩形分割成三个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（

）A．2：1 B．3：1 C． D．6．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：17．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，图中与相似的三角形为（

）A． B． C． D．8．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，矩形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（

）A． B． C． D．9．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．10．（2023下·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2021·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考二模）已知线段，线段c是线段a，b的比例中项，则．12．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图，在中，点、分别在边、上，平分，，如果，，那么．13．（2017·四川广元·统考一模）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于．14．（2022上·广西梧州·九年级校考期中）如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是．15．（2019上·九年级校考单元测试）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么度．16．（2022上·河南郑州·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，则点E的对应点的坐标为．17．（2023上·河南郑州·九年级校考期末）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是面积的一半，已知，则的长为．18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转90°，得到，连接，交于点，则的长为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D，E在上，点G在上，连接，．求证：20．（8分）（2019·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．（1）求证：AH⊥BC；（2）求AG的长．21．（10分）（2022上·陕西西安·九年级校考期中）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知ABCDEF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）22．（10分）（2023·辽宁大连·校联考二模）如图1，中，点C是边上一点，，点D是上一点，连接，，满足，若．

（1）求证：；（2）探究与的数量关系，并证明：（3）如图2，延长交于点F，求的值．23．（10分）（2023·山东青岛·校考一模）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______（用含a的代数式表示）．【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点（），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．24．（12分）（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴相交于点，与直线相交于点，点的横坐标为，点为轴上一动点，横坐标为．（1）求直线的表达式；（2）过作轴的平行线，分别交直线，直线于点，连接，①当时，求的长；②当时，请直接写出的值；（3）若点在线段上，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．参考答案：1．B【分析】根据比例的性质即可得出答案．解：A、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意；B、由比例的性质，得与一致，故此选项符合题意；C、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意；D、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意．故选：B．【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．C【分析】证明四边形为平行四边形得出，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．解：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，：：，∴：：：，∵，∴：：：，∴：：，故选：C．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键．3．A【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解．解：∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：A．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．4．C【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确；B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确；C．根据，，即可判断C错误；D．根据，，即可判断D正确．解：A．∵是的中位线，∴，，，∴，故A正确，不符合题意；B．∵，∴点E为的中点，∴，，∵，∴，∴，故B正确，不符合题意；C．∵M为的中点，∴，∵，∴，故C错误，符合题意；D．∵，，∴，故D正确，不符合题意．故选：C．【点拨】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．D【分析】设原矩形ABCD的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．解：设原矩形ABCD的长为，宽为，∴小矩形的长为，宽为，∵小矩形与原矩形相似，∴∴；故选：D．【点拨】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．6．B【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比进行求解即可．解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，∴这两个相似多边形的相似之比为1：2，∴这两个相似多边形的周长之比为1：2，故选B．【点拨】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比是解题的关键．7．A【分析】设正方形ABGH的边长为1，先运用勾股定理分别求出FD、DG的长，将其三边按照从大到小的顺序求出比值，再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似求解即可．解：设正方形ABGH的边长为1，∴DF=，DG=，∴GF：DF：DG=1：：，A、DF=，DH=，HF=2，DF：HF：DH=GF：DF：DG，则△DFG∽△HFD，符合题意；B、HG=1，DG=，DH=，HG：DG：DH≠GF：DF：DG，则△DFG和△DGH不相似，不符合题意；C、△DEG是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意；D、△DEH是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意；故选A．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，判定两个三角形相似的一般方法有：（1）平行线法；（2）三边法；（3）两边及其夹角法；（4）两角法；本题还可以利用方法（3）进行判定．8．C【分析】过点作轴于点．首先证明，利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．解：如图，过点作轴于点．，，，，，，，，，，，，，，，矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第1次旋转结束时，点的坐标为；则第2次旋转结束时，点的坐标为；则第3次旋转结束时，点的坐标为；

则第4次旋转结束时，点的坐标为；发现规律：旋转4次一个循环，，则第2021次旋转结束时，点的坐标为．故选：C．【点拨】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．9．A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．10．C【分析】连接，根据题意可得三角形DMA为等腰三角形，进而证明和全等，然后根据和相似即可求得的值．解：连接，如图，由对称的性质可知，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴在中，．又∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】此题考查了折叠问题，全等三角形和相似三角形的性质和判定方法，解题的关键是能够根据题意构造出相应的辅助线．11．8【分析】根据比例中项的定义列式计算即可．解：∵线段c是a、b的比例中项，∴，解得，又∵线段是正数，∴．故答案为：8．【点拨】本题考查了比例中项即称线段c是线段a，b的比例中项，正确理解定义是解题的关键．12．15【分析】因为平分，，可证DE=EC,解：根据，即BC=15.考点：三角形一边平行线的性质．13．4【分析】如图，甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，根据正方形性质可推出△ABC∽△BDE，通过相似三角形性质建立方程求解即可．解：如图，∵甲、乙、丙均为正方形，正方形甲、乙的边长分别为9和6，设正方形丙的边长为x，∴∠BCF＝∠CBG＝∠DEG＝90°，AF＝9，BC＝CF＝BG＝6，DE＝EG＝x，∴∠ACB＝180°﹣∠BCF＝90°，∠BED＝180°﹣∠DEG＝90°，∴∠ACB＝∠BED，∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBE，∴△ABC∽△BDE，∴，∵AC＝AF﹣CF＝9﹣6＝3，BE＝BG﹣EG＝6﹣x，∴，解得：x＝4，∴正方形丙的边长为4，故答案为：4．【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，运用数形结合思想是解题关键．14．或【分析】根据折叠得到线段相等，分类讨论相似的对应边，列方程求解即可得到答案．解：沿折叠和重合，，设，则，当时，，，，∴，解得：，则，当时，，即，解得：，则，故或，故答案是：或．【点拨】本题考查折叠的性质及相似三角形对应边成比例，解题的关键是分类讨论列方程．15．【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在与中，已知，所以需另一组对应角相等，若，则与全等不符合题意，所以必定有，再根据四边形的内角和为列式求解．解：根据题意画出示意图，∵平分，∴，若，且公共，则与全等，不符合题意，∴．又，∴，∴，即．故答案为：．【点拨】本题考查了四边形的相似对角线的新定义，相似三角形的性质，四边形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．16．（−2，1）或（2，−1）/（2，−1）或（−2，1）【分析】根据位似变换的性质计算即可．解：∵以O为位似中心，将△EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，E（−4，2），∴点E′的坐标为（−4×，2×）或（−4×（−），2×（−）），即（−2，1）或（2，−1），故答案为：（−2，1）或（2，−1）．【点拨】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．17．1【分析】根据题意可判断与相似，且面积比为2:1，根据相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方），可知与的比，已知，可算出．解：∵根据题意，将沿方向平移得到，∴，∴，∵，∴，∵与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的一半，∴,故，∵，∴．故答案为：1【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质、平移的性质．18．【分析】过点作于点，利用勾股定理求得根据旋转的性质可证是等腰直角三角形，可得，再由，证明，可得即，再由，求得从而求得即可求解．解：过点D作DF⊥AB于点F，∵，，

∵将绕点A逆时针方向旋转得到是等腰直角三角形，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，即∵，，∴，，即，又∵，，，故答案为∶．【点拨】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．证明见分析【分析】根据平行线分线段成比例可得和，即得解：证明：∵，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查比例线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例．20．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的长．解：（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴DC＝BD＝7，∵DH+HC＝DC＝7，∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．∵AH＝HC，∴AH＝CH＝4，∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，∴AH2+DH2＝AD2，∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，∴AH⊥BC；（2）设AG＝x，由勾股定理得AC＝＝4，∴，∵HG∥AD，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴AG的长为．【点拨】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．21．2.52米【分析】延长MM′交DE于H，如图，易得HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，先证明Rt△ACD∽Rt△DHM，则根据相似三角形的性质得，再证明△ABD∽△MM′D，则利用相似比得到，然后利用比例性质求AB即可．解：延长MM′交DE于H，如图，则HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，∵CD∥HM，∴∠ADC＝∠DMH，∴Rt△ACD∽Rt△DHM，∴，∵AB∥MM′，∴△ABD∽△MM′D，∴，即，解得AB≈2.52（米）．答：遮阳篷的宽AB是2.52米．【点拨】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（1）见分析；（2），证明见分析；（3）【分析】（1）由题意可得，，再根据已知可得，即可解答．（2）过点D作交于点F，证，再证得，再根据得，即可解答．（3）过点A作交延长线于点G，根据相似三角形的性质得，再由（2）知，，得到，再根据相似三角形的性质即可解答．解：（1），，∵，又∵，∴，∴．（2）如图1，过点D作交于点F，

∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即．（3）如图2，过点A作交延长线于点G，

∵，，∵，∴，

①由（2）知，，∴，

②①×②得，∵，∴．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）a（2）12（3）【分析】（1）根据三角形的面积公式及比例特点即可求解；（2）连接AE，先求出△ACE的面积，再得到△ABC的面积即可；（3）连接BD，设△ADM的面积为a，则△BDM的面积为2a,设△CDN的面积为b，则△BDN的面积为b，根据图形的特点列出方程组求出a,b,故可求解．解：（1）设△ABC中BC边长的高为h，∵BM=2AM．∴BM=AB∴S=BM×h=×AB×h=S△ABC=a故答案为：a；（2）如图2，连接AE，∵∴CD=AC∴S△DCE=S△ACE=1∴S△ACE=4，∵∴CE=CB∴S△ACE=S△ABC=4∴S△ABC=12；（3）如图3，连接BD，设△ADM的面积为a，∵∴BM=2AM,BM=AB，∴S△BDM