专题23二次函数与一元二次方程不等式-原卷版

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【基本知识梳理】知识点1：一元二次不等式的概念定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0知识点2：一元二次不等式的解法一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【特别注意】(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．(2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集．(3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．知识点3：含参的一元二次不等式的解法:在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑(1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.知识点4：解简单的分式不等式分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．知识点5：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．【题型1解不含参数的一元二次不等式】【例1】（20232024∙高一上∙安徽合肥∙A. B. C. D.【变式11】（20232024∙高一上∙广东∙期中）A． B．C．xx<−2，或 D．，或x>2【变式12】（20232024∙高一上∙山东临沂∙阶段测试）A. B.C. D.【变式13】（20232024∙高一上∙浙江∙期中）（A.不等式的解集为或B.不等式的解集为C.不等式的解集为RD.不等式的解集为【题型2解含有参数的一元二次不等式】【例2】（20232024∙高一下∙甘肃∙期末）若0<t<1，则关于的不等式A. B.或 C.或 D.【变式21】（20232024∙高一上∙山东临沂∙月考）求关于【变式22】（20232024∙高一上∙山东泰安∙月考【变式23】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）（2）求函数的定义域．【题型3解分式、绝对值不等式】【例3】（20232024∙高一上∙山东日照∙期末）“”是“”的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【变式31】（20232024∙高一上∙山东泰安∙期中）关于的不等式A. B. C. D.【变式32】（20232024∙高三上∙天津河北区∙期末）设，则“”是“”的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【变式33】（20232024∙高三∙甘肃∙模拟）x−1<x<C．x−1<x<5−【题型4由一元二次不等式的解确定参数】【例4】（20232024∙高一上∙山东临沂∙期中）已知不等式的解集是或，则（A. B. C.1或 D.或【变式41】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）（多选）若关于x的不等式的解集为A．不等式的解集是B．C．不等式的解集为D．设x的不等式的解集为N，则【变式42】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.52≤x≤2 B.52<x【变式43】（20232024∙高一上∙山东菏泽∙月考）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A.或 B.C. D.或【题型5一元二次不等式恒成立问题】【例5】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（A.1<x<3B.3<x<1 C.1<【变式51】（20232024∙高一上∙浙江∙期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为【变式52】（20232024∙高一上∙山东临沂∙阶段测试）（20232024∙高一上∙重庆∙月考）（多选A. B.0 C.2 D.4【变式53】（20232024∙高一上∙山东淄博∙阶段测试）若命题“，”为假命题，则实数xA． B．C． D．【题型6一元二次不等式有解问题】【例6】（20232024∙高一上∙山东临沂∙阶段测试）若不等式有解，则实数A.或 B. C. D.【变式61】（20232024∙高一上∙山东菏泽∙阶段测试）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数mA. B.或C. D.或【变式62】（20232024∙高一上∙山东临沂∙月考）若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数A． B．C．或 D．或【变式63】（20232024∙高一上∙山东烟台∙月考）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则【变式64】（20232024∙高一上∙四川宜宾∙期中）（多选）已知关于x的不等式在上有解，则实数aA. B. C.1 D.2【题型7一元二次不等式的实际应用】【例7】（20232024∙高一上∙江苏∙月考）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h【变式71】（20232024∙高一上∙河南郑州∙期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：（＞（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【变式72】（20232024∙高一上∙江苏连云港∙阶段测试）某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1（1）求的值；（2）当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【变式73】（20232024∙高一上∙安徽阜阳∙月考）如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；（2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．【变式74】（20232024∙高一上∙湖南长沙∙期末）2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.【题型8二次函数的图象分析与判断】【例8】（20232024∙高一上∙陕西∙期中）（多选）A