专题平行四边形中的最值问题（原卷版）

八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题平行四边形中的最值问题题型一与平行四边形有关的最值问题题型一与平行四边形有关的最值问题【例题1】（2022秋•榆树市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB=82，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQA．4 B．8 C．42 D．【变式11】（2022春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为．【变式12】（2021秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（）A．1 B．3−1 C．32 【变式13】（2021春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（）A．3 B．3 C．23 D．2【变式14】（2022•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PBA．22 B．23 C．10 D．210【变式15】（2021秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为．【变式16】（2022•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝23，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值．【变式17】（2021•沂水县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为．【变式18】（2021•房县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【变式19】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是．题型二与矩形有关的最值问题题型二与矩形有关的最值问题【例题2】（2021•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式21】（2022春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为263，则OA+OBA．7 B．50 C．8 D．8.5【变式22】（2022秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是．【变式23】（2021•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为．【变式24】（2021春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（）A．8 B．9 C．10 D．241【变式25】（2022春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（）A．2 B．3 C．10 D．13【变式26】（2022春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．20【变式27】（2022春•瑶海区期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（）A．25 B．23 C．5 D．3【变式28】（2021秋•松山区期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PCA．23+3 B．25 C．23 D．题型三与菱形有关的最值问题题型三与菱形有关的最值问题【例题3】（2021春•玉州区期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝62，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A．42 B．6 C．210 D．45【变式31】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（）A．8 B．10 C．10.4 D．12【变式32】（2022•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（）A．2 B．2.4 C．2.5 D．3【变式33】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（）A．23 B．6 C．32 D．13【变式34】（2022春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．43 B．83 C．8+3 D．4+4【变式35】（2022春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（）A．2+23 B．4 C．43 D．6【变式36】（2022•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（）A．7 B．7−1 C．3 【变式37】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．【变式38】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．（1）证明：BE＝BF；（2）求△BEF面积的最小值．题型四与正方形有关的最值问题题型四与正方形有关的最值问题【例题4】（2022春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（）A．32 B．62 C．3【变式41】（2022春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝22，则EF的长的最小值为（）A．2 B．1 C．2 D．2【变式42】（2021春•莱州市期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为．【变式43】（2021春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5 B．9 C．92 D．9【变式44】（2022•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（）A．35 B．43 C．52 D．213【变式45】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（）A．3 B．2.5 C．4 D．23【变式46】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，CG，则∠DCG＝度，运动变化过程中，GH的最小值为【变式47】如图，正方形