专题113角平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.13角平分线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】角平分线的性质定理1.性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角的平分线的性质的两个必要条件：点在角平分线上；这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.两者缺一不可.几何语言∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE.特别提醒：1.角平分线的性质是由两个条件（角平分线，垂线）得到一个结论（线段相等）.2.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.【知识点二】角平分线的判定定理1.判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.2.几何语言如图∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.3.角的平分线的判定定理与性质定理的关系如图，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；都在角的平分线上判定点、性质点（角的内部的）到角的两边的距离相等.特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部2.角的平分线的判定是由两个条件（垂线、线段相等）得到一个结论（角平分线）.3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.【知识点三】三角形的角平分线性质定理1.性质定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.2.几何语言如图，在△ABC中，AD,BM,CN分别是∠BAC,∠ABC，∠ACB的平分线，AD,BM,CN交于一点O，且点O到三边BC,AB,AC的距离（OE,OG,OF的长）相等，即OE=OG=OF.特别解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.【考点目录】【角平分线的性质】【考点1】利用角平分线的性质求值；【考点2】利用角平分线的性质证明；【角平分线的判定】【考点3】利用角平分线的判定证明和求值；【角平分线的性质与判定】【考点4】利用角平分线性质与判定求值；【考点5】利用角平分线的性质与判定证明；【角平分线的性质与判定的应用】【考点6】利用角平分线的性质与判定的应用.【角平分线的性质】【考点1】利用角平分线的性质求值；【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）于，于，若，．（1）求证：平分．（2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识，（1）证明，得出，再由角平分线的判定即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得，，再证，得，即可解决问题．解：（1）证明：，，，在和中，，，，，平分．（2）解：，理由如下：由（1）可知，，，，在和中，，，，，，．【变式1】（2024上·甘肃武威·八年级校考期末）如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】此题考查了角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，最短路径问题，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，根据角平分线的性质得到，，由此得到，利用直角三角形30度角的性质得到的长，即可得到答案．解：过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，∵为的角平分线，，∴，∴，∵，，∴．故选：A．

【变式2】（辽宁省锦州市20232024学年八年级上学期期末数学试题）在平面直角坐标系中，A是x轴上一点，以原点O为圆心，以长为半径画弧交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C．若点C的坐标为，则．【答案】4或【分析】本题考查作图角平分线的基本作图、坐标与图形，角平分线性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意得到点C到两坐标轴的距离相等，然后列出方程求解即可．解：根据题意可得，点C是的角平分线∴点C到两坐标轴的距离相等∵点C的坐标为，∴∴或解得或．故答案为：4或．【考点2】利用角平分线的性质证明；【例2】（2023上·广东广州·八年级广州四十七中校考期中）如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．（1）求证：；（2）求证：点E为的中点．【答案】（1）证明过程见分析；（2）证明过程见分析【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再利用三角形内角和定理求得，即可得出结论；（2）过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，，即可得出结论．解：（1）证明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴；（2）证明：过点E作于点F，∵，，平分，∴，∵，，平分，∴，∴，即点E为的中点．

【点拨】本题考查角平分线的定义及性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．【变式1】（2011上·河南周口·八年级统考期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，

由角平分线的性质定理得：，的三边，，长分别是20，30，40，．故选：C．【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．【变式2】（2023上·八年级课时练习）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则．

【答案】．【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解．解：如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，

∵点，是内角与外角的三等分线的交点，∴是的平分线，又∵，，∴，同理可得，∴，又∵，，∴是的平分线，∵，，∴，∵点，是内角与外角的三等分线的交点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．【角平分线的判定】【考点3】利用角平分线的判定证明和求值；【例3】（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．（1）求证：是的平分线；（2）若，，．求的长．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）证明可得，进而根据角平分线的判定定理即可求解；掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键；（2）根据角平分线的定义可得，根据，可得，则，最后根据含30度角的直角三角形的性质，即可解答．掌握30度角的直角边是斜边的一半是解题的关键．解：（1）证明：在和中，，∴，∴，∵于点D，于点E，∴：是的平分线（2）解：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴．【变式1】（2023上·吉林长春·八年级统考期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是角平分线的判定，熟记到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理得到是的平分线，计算即可．解：∵两把长方形直尺的宽度相同，∴点P到射线的距离相等，∴射线是的平分线，，，故选：C．【变式2】（2023上·天津河东·八年级统考期末）已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为．【答案】/73度【分析】根据等边三角形的性质，先证明，得到，得到．结合，得到，，，继而得到，根据三角形外角性质计算即可．解：∵等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，，∵，的角平分线，交于点N．∴，∴，过点N分别作，垂足分别为F，P，Q，∵，的角平分线，交于点N．∴，∴平分，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角是解题的关键．【角平分线的性质与判定】【考点4】利用角平分线性质与判定求值；【例4】（2023上·吉林白山·八年级统考期末）如图，中，，点分别在边上，，．

（1）求证：平分；（2）写出与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）．理由见分析【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）过点作于点，证明得到，从而可得出点在的平分线上，即可得证；（2）证明得到，由（1）知，，得到，即可得解．解：（1）证明：如图，过点作于点，

∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∵，，∴点在的平分线上，平分；（2）解：，理由如下：由（1）知，平分，∴．在和中，，∴，∴．由（1）知，，∴，∴．【变式1】（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，，是的中点，利用该图（不再添加辅助线）可以证明的定理是（）A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等D．到角的两边距离相等的点在角平分线上【答案】B【分析】本题主要考查了线段垂直平分线，角平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解解：．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，条件结论倒置，不能证明．故本选项不符合题意；．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，条件满足即可证明，故本选项符合题意；．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，和不满足到角两边的距离，不能证明，故本选项不符合题意；．到角的两边距离相等的点在角平分线上，和不满足到角两边的距离，不能证明，故本选项不符合题意．故选：B．【变式2】（2023上·四川绵阳·八年级校联考期中）如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：①；②平分；③；④其中，正确的结论有．【答案】②③④【分析】由等腰直角三角形的性质得出，由和不一定相等，则可得出①错误；先证明得到，则可对③进行判断；过A点作于M，于N，利用全等三角形对应边上的高相等得到，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断．利用三角形内角和证明，则可对④进行判断．解：∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，，∵和不一定相等，∴与不一定相等，故①错误；∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，，故③正确；∵，又∵，∴，∴，故④正确；如图，过A点作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴平分，故②正确．综上分析可知，正确的结论为②③④．故选：②③④．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．【考点5】利用角平分线的性质与判定证明；【例5】（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在中，D是上一点，于点F，连接，垂直平分．

（1）求证：是的平分线；（2）若的周长为18，的面积为24，，求的长．【答案】（1）见分析；（2）4【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质得到，然后利用角平分线的判定定理即可证明结论；（2）首先求出，然后根据等面积法进行求解即可．解：（1）证明：∵垂直平分，∴，又∵，，∴是的平分线；（2）解：∵的周长为18，，∴，又∵，∴，∴∴．【变式1】（2023上·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）已知，如图，为线段上一动点（不与重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是（

）A．②、③ B．③、④ C．①、②、④ D．①、③、④【答案】C【分析】先由判定，证得①正确；再由证明，得到，②正确；过作于，于，由证明可得，得到④正确；易得③不正确．解：∵和是等边三角形，∴，，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，故结论①正确；∵，∴，∵，，在和中，，∴，∴，又∵，∴是等边三角形，故结论②正确；过作于，于，∴，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分，故结论④正确；当时，∵和是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵为线段上一动点（不与，重合），故结论③不正确；故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式2】（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，点E和点D分别在和边上，，，连接，点F和点G分别是线段和上的两个动点，，的面积是6，则的最小值是．【答案】3【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形三边关系，垂线段最短，过点D作垂足为N，作垂足为M，先证明，得到，再利用角平分线性质可求，在上取，通过证明，证明，过C作，垂足为K，利用三角形面积即可得出结果．解：如图，过点D作垂足为N，作垂足为M，，，，，，，，平分，，在上取，，，，，，过C作，垂足为K，，，由垂线段最短可知，即，则当C、F、H三点共线，且，最小，最小值是3，故答案为：3．【角平分线的性质与判定的应用】【考点6】利用角平分线的性质与判定的应用.【例6】（2023上·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中）如图1，点满足，点D是线段上一动点，过点A作于点C，延长交y轴于点E，连．

（1）点A的坐标是；B的坐标是；（2）求的度数；（3）如图2，过点D作，交的垂线于点F，当时，求的长度．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）由非负数性质得到，即可得到答案；（2）过点O作于点M，作于点N，证，则，，，即可得到平分，即可得到答案；（3）过点F作于点H，则，证明，则，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，，则，再证明，即可得到．（1）解：∵，，∴，解得，∵点，∴点A的坐标是；B的坐标是，故答案为：，（2）过点O作于点M，作于点N，则，∵点A的坐标是；B的坐标是，∴，∵,∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴平分，∴；（3）过点F作于点H，则，

∵，∴，∵∴，∴，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵∴，∴，，∴，∵，∴，∴【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2023上·河北沧州·八年级校考期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线，的距离相等，进而得是的角平分线，有即可求得答案．解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致，∴点P到射线，的距离相等，∴是的角平分线，∵，∴，故选：B．【变式2】（2022上·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是．

【答案】【分析】过点作，根据角平分线的性质，得到，连接，根据的面积等于的面积之和，进行求解即可．解：过点作，

∵分别平分和于，∴，连接，则：∵的周长是，，∴．故答案为：【点拨】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．【角平分线的