专题03立体图形与基本平面图形（原卷版）

专题03立体图形与基本平面图形思维导图核心考点聚焦1.正方体展开图中相对两面上的字2.含图案的正方体的展开图3.从三个方向看立方体得到的形状4.由展开图、三个方向看物体等信息求原几何体的表面积或体积5.求最多或最少的小立方块的个数6.作图——画直线、射线、线段7.线段中点与n等分的有关计算8.分类讨论思想的应用9.新定义型问题一、立体图形的分类立体图形：有些几何体（圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等）各部分不在一个平面内，这样的图形叫立体图形.棱柱、棱锥是常见的立体图形.生活中常见的物体都是立体图形.二、从正面、左面、上面看立体图形1.能力要求：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图；（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.2.注意：（1）看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线；（2）圆锥从上面看不要丢了圆心点.三、正方体的表面展开图1.正方体的表面展开图一共有11种可能.第一类：有6种.特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形，简称“141型”．第二类：有3种.特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形，简称“132型”．第三类：仅有一种.特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形，简称“222型”．第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，简称“33型”．注：正方体展开图中不能出现“7”字，“凹”字，“田”字形，如下图：2.正方体展开图找相对面的方法：（1）中间隔“一”是对面：同行或同列中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；（3）间二、拐角邻面知：间二指的是一条线上中间隔着两个正方形的两个正方形合成正方体时是邻面，拐角的两个正方形合成正方体时也是邻面.四、其他立体图形的展开图掌握一些常见的几何体的展开图，如圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥等.特殊：球没有展开图．1.圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）.2.圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）.3.棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）.五、点、线、面、体之间的转化1.几何体是由点、线、面构成的.2.线分为直线和曲线，面分为平面和曲面.3.点、线、面之间的关系：点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.六、直线、射线、线段的联系与区别区别名称直线射线线段图形表示方法直线AB（BA）或直线l射线AB线段AB（BA）或线段a端点个数012伸展性向两方无限延伸（不可延长）向一方无限延伸（可反向延长）可延长或反向延长长度不可度量不可度量可度量联系射线和线段都是直线的一部分；线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线；射线向反方向延伸就成为直线.七、基本性质1.直线的性质:两点确定一条直线．2.线段的性质:两点之间，线段最短．细节剖析①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.八、画一条线段等于已知线段1.度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.2.用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：九、线段的比较与运算1.线段的比较比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.2.线段的和与差如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD.3.线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．细节剖析①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.．十、角的度量1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.2.平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．3.角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：细节剖析①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.4.角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.细节剖析①度、分、秒的换算是按照60进制，与时间中的小时、分钟、秒的换算相同.②度、分、秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.5.角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°6.画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.十一、角的比较与运算1.角的比较方法:①度量法；②叠合法．2.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.熟记正方体的11种展开图：考点剖析考点一、正方体展开图中相对两面上的字例题1：如图，是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面中与“来”相对的是（

）A．一 B．起 C．！ D．向【答案】D【解析】在正方体的表面中与“来”相对的是“向”，故选D．考点二、含图案的正方体的展开图例题2：如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】三个图形相邻，而选项，都出现了两个图形相对，故选A.考点三、从三个方向看立方体得到的形状例题3：如图是由一个长方体和一个圆柱组合而成的立体图形，从上面观察这个图形，得到的图形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由圆柱体和长方体从上面看得到的图形可得：圆柱体从上面看是圆，长方体从上面看是长方形，所以，组合图形为长方形内有一个圆的图形，故选C．考点四、由展开图、三个方向看物体等信息求原几何体的表面积或体积例题4：如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【解析】（1）该几何体展开图中六个面均为长方形，因此该几何体为长方体．（2）（平方米）．答：该几何体的表面积为22平方米．（3）（立方米）．答：该几何体的体积为6立方米．考点五、求最多或最少的小立方块的个数例题5：（1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看得到的形状图；（2）如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从上面看和从左面看得到的形状图不变，最多可以再添加______个．【解析】（1）如图所示∶（2）在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多添加数量如图所示∶故最多可以再添加4个小立方块．故答案为∶4．考点六、作图——画直线、射线、线段例题6：如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后再使用黑色字迹的签字笔描黑）：(1)作射线；(2)作直线与直线相交于点；(3)在射线上作线段，使线段与线段相等．【解析】（1）作射线，如图所示．

；（2）作直线与直线相交于点，如图所示．（3）用圆规在射线上截取，线段即为所求．考点七、线段中点与n等分的有关计算例题7：（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长．【解析】（1）因为M，N分别是，的中点，所以．因为，所以．（2）因为，所以，因为，所以；考点八、分类讨论思想的应用例题8：点A，B，C是同一直线上的三个点，若AB=8cm,BC=3cm,求AC的长度．【解析】（1）点B在点A，C之间时，AC=AB+BC=8+3=11（cm）；（2）点C在点A，B之间时，AC=AB–BC=8–3=5（cm）．所以AC的长度为11cm或5cm.考点九、新定义型问题例题9：如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”．若，且射线是的“平衡线”，则的度数为．【答案】或或【解析】由题意，分以下四种情况：①当时，射线是的“平衡线”，，；②当时，射线是的“平衡线”，，，；③当时，射线是的“平衡线”，，，，解得；④当时，射线是的“平衡线”，，，，解得；综上，的度数为或或，故答案为：或或．过关检测一、选择题1．下列四个生活中产生的现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．如图，O是直线上一点，过O作任意射线，平分，平分，则的度数是（）A． B． C． D．不能确定3．下列四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）A． B．C． D．4．已知点A，，在同一条直线上，点，分别是，的中点，如果，，那么线段的长度为（）A． B． C．或 D．或5．六个面分别标有“我”、“是”、“初”、“一”、“学”、“生”的正方体有三种不同的放置方式，则“是”和“学”对面的数字分别是（）A．“生”和“一” B．“初”和“生”C．“初”和“一” D．“生”和“初”二、填空题6．植树造林时，先挖好两个树坑就能把一行树种直，这一现象用数学道理解释为．7．若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为9，则．8．如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有种．9．小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面，左面，上面三个方向看得到的图形形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有盒．10．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为．三、解答题11．如图，已知四点A，B，C，D，请按要求画图．(1)画直线，射线交于点M；(2)连接交于点N；(3)连接，并延长至点E，使．12．把棱长为1个单位长度的9个相同小正方体摆成简单几何体．(1)从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图；(2)直接写出该几何体的表面积为_______；(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．13．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．(1)______，______，______．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点）14．定义：从一个角（小于180°）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的“三分角”．（1）如图1，已知∠AOD=70°，∠COB=50°，∠COD是∠AOB的“三分角”，求∠COD的度数．（2）如图2，已知∠AOB=60°，OD是