专题532相交线与平行线中的旋转问题（分层练习）（综合练）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.32相交线与平行线中的旋转问题（分层练习）（综合练）一、填空题1．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当与平行时，旋转时间t的值为．2．（2023下·上海松江·七年级统考期中）已知两个形状完全相同的直角三角形、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为秒．3．（2023下·浙江金华·七年级校联考阶段练习）图1是一盏可折叠台灯．图2，图3是其平面示意图，支架，为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角°；若将图2中的继续向上旋转（如图3），则此时与水平方向的夹角°.

4．（2023·江苏·七年级假期作业）已知直线，点P、Q分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．（1）若射线同时开始旋转，当旋转时间30秒时，与的位置关系为；（2）若射线先转45秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为秒时，．二、解答题5．（2022下·吉林·七年级吉林省实验校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）∠CBE＝__________°；（2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．（3）若把直线FD绕点F旋转，直线FD和直线BE相交于点M，当直线FD和△ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．6．（2023下·四川南充·七年级统考期末）如图，以直线上一点O为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：）（1）如图1，如果直角三角板的一边放在射线上，那么的度数为______；（2）如图2，将直角三角板绕点O按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数：（3）如图3，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系．7．（2022下·河北石家庄·七年级统考期中）一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：__________．（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？8．（2023下·广西桂林·七年级校联考期末）实验与探究小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：在直线上取一定点N，作一任意三角形，过点M作直线，并标记为，为，请用平行线的相关知识解决下列问题．

（1）如图1，小芳发现，当点P落在直线与之间时，总有的结论，请你帮小芳说明理由；（2）将三角形绕点N旋转，当点P落在直线与之外时（如图2），小芳发现，，，之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P落在直线与之间时，小芳用数学软件作出与的角平分线和，交点为点Q，发现与之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由．9．（2023下·福建三明·七年级三明市列东中学校考期中）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．（1）填空：________，________．（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，①请直接写出________，________（结果用含n的代数式表示）；②若恰好是的倍，求n的值．（3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．10．（2023下·广东广州·七年级中山大学附属中学校考期中）如图所示，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点．（1）直接写出，，之间的关系：_____________．（2）若，求．（3）在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求此时的值．11．（2023下·河北承德·七年级统考期末）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图②所示．设∠CAC′＝α（0°＜α≤45°）．（1）当α＝15°时，求证：AB∥CD；（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数是否变化，若变化，求出变化范围；若不变，求出其度数．12．（2023下·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．（1）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，请直接写出___________°，___________°（结果用含n的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若恰好是的倍，求n的值．（3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．13．（2023下·安徽淮南·七年级统考期中）在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板和量角器带进了课堂．同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：

（1）小蕊将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，请你求出的度数．（2）如图2，小旭将一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转（当三角尺的边与刻度线重合时三角尺停止运动），当运动时间是多少秒时，两块三角尺有一组边?（3）如图2，爱动脑筋的小瑶在小旭的基础上，在三角尺旋转的同时将三角尺也绕点以每秒的速度顺时计旋转（当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动），当运动时间______________________________________秒时，两块三角尺有一组边平行．14．（2023上·广西贵港·七年级校考期末）如图，直线，分别交，于点、，射线、分别从、同时开始绕点顺时针旋转，分别与直线交于点、，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为秒．

（1）用含的代数式表示：________，________；（2）当时，________．（3）当时，求出的值．15．（2023下·四川成都·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．

（1）若，则；（2）作交于点，且满足，当时，试说明：；（3）在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值．16．（2022上·陕西延安·七年级统考阶段练习）如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒）、且a、b满足．

（1）如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒，两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系；（2）若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒，若旋转中，求t的值．17．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．（1）如图②，当为的平分线时，____________；（2）当时，求的度数；（3）在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），直接写出的值．18．（2023下·四川遂宁·七年级统考期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，的一边在射线上，另一边在直线的下方，且．（1）如图1，求的度数；（2）将图1中的绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线恰好平分锐角，求所运动的时间t值；（3）在（2）的条件下，当与互余时，求出与之间的数量关系．19．（2024上·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，直线，一副直角三角板，中，，，，．（1）若按如图1摆放，当平分时，则______；（2）若，按如图2摆放，则______；（3）若图2中固定．将沿着方向平行移动，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数．（4）若图2中固定，（如图4）将绕点A以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，线段与直线首次重合时停止旋转，当线段与的一条边平行时，请求出旋转时间t的值．20．（2021下·重庆·七年级西南大学附中校考期中）如图，点A在直线PQ上，点C在直线MN上，PQ∥MN，∠CAQ＝60°，CB平分∠ACM．（作答过程不需要写依据）（1）∠MCB＝；（2）将∠ACB绕点C以每秒3°的速度顺时针方向旋转，A的对应点为A1，B的对应点为B1，设旋转时间为t（t＜50），当2∠ACB1+∠A1CN＝100°时，求旋转时间t的值；（3）将射线CB绕点C以每秒2°的速度顺时针方向旋转，射线AQ绕点A以每秒10°的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为m（m＜40），当BC与AQ平行或垂直时，直接写出旋转时间m的值．21．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期中）如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，此时点与点重合，点，，三点共线．（1）固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，此时的度数是_________．（2）若直线，固定的位置不变，将图1中的沿方向平移，使得点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示．①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．②固定的位置不变，将绕点按顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动，当经过秒时，线段与的一条边平行，请直接写出满足条件的的值．22．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．（1）求的度数；（2）如图②，若将绕B点以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；①在旋转过程中，若边，求t的值；②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转．请直接写出旋转过程中有一边与平行时t的值．23．（2023上·陕西西安·七年级交大附中分校校考阶段练习）问题提出已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，．（1）在图中，的度数为______．问题探究（2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值．问题解决（3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．24．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，一副三角板，其中．（1）若这副三角板如图摆放，，求的度数．（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值．（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值．参考答案：1．秒或秒【分析】旋转没过线段，过没过，过，分三种情况画图分析，再利用平行线的性质求解即可．解：∵，，∴，∵平分，∴，分三种情况讨论：①当时，，如图所示，此时，，，∵，∴，即，解得：②当时，，如图所示，此时，，，∵，∴，即，解得：（舍去）③时，，如图所示，此时，，，∵，∴，即，解得：综上分析可得，旋转时间t的值为秒或秒．故答案为：秒或秒．【点拨】本题考查了平行线的性质，恰当的分类并画出图形是解题的关键．2．1或2或5【分析】分三种情形讨论：当时．当时．当时，分别求出即可解决问题．解：，，．当时，如图中，∵，，旋转时间．如图中，当时，∵当与重合时，，此时，旋转时间．当时，如图中，∵，，∴，旋转时间．综上所述，旋转时间为或或时，恰有一边与平行．故答案为：1或2或5．【点拨】本题考查了平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．【分析】利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案．解：如图2，∵，平分，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即；如图3，，，过点作，

则，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：；．【点拨】本题考查了平行线性质，角平分线定义，垂直定义等，熟练掌握平行线性质和判定是解题关键．4．15或63或135【分析】（1）求出旋转30秒时，，，过E作，根据平行线的性质求得，，进而得结论；（2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．解：（1）当旋转时间30秒时，由已知得：，，如图所示，设射线交于E，过E作，则，∴，，∴，∴，故答案为：；（2）①第一次平行时，如图21所示，则，，∵，，∴，即，解得：；②第二次平行时，如图22所示，则，，∵，，∴，即，解得：；③第三次平行时，如图23所示，则，，∵，，∴，即，解得：；综上所述，当射线旋转的时间为15或63或135秒时，．故答案为：15或63或135．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．5．（1）69；（2）21°；（3）69°或111°【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，由邻补角定义得出∠CBD的度数，再根据角平分线定义即可求得∠CBE的度数；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB的度数，再根据平行线的性质求出∠F的度数；（3）根据题意分别画出图形，再利用平行线的性质解决．解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，∴∠ABC=90°∠A=42°，∴∠CBD=180°42°=138°，∵BE是∠CBD的角平分线，∴∠CBE=∠CBD=69°，故答案为：69；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE=69°，∴∠CEB=90°69°=21°，∵DFBE，∴∠F=∠CEB=21°；（3）当FD与BC平行时，如图，∴∠FME=∠CBE=69°；当FM与AB平行时，如图，∴∠FME=∠ABE=42°+69°=111°；∵F在AC上，∴FM与AC平行不存在，综上所述：∠FME=69°或111°．【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质、邻补角的定义、角平分线的定义，正确画出符合题意的图形是解题的关键．6．（1）22°；（2）22°；（3）【分析】（1）根据，即可求解；（2）由角平分线可得，再利用角的和差进行计算即可求解；（3）分别用∠COE及∠AOD的式子表达∠COD，然后进行列式即可求解．解：（1）∵，∴故答案为：；（2）∵平分，，∴，∵，∴．（3）∵，，∴，∴或．故答案为：或．【点拨】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．7．（1）60°；（2）或110【分析】（1）根据两角之和为180°以及两角之比为2:1即可求解；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，此时分两种情况讨论，第一种当时，根据，即有，再结合，则有，进而有，据此即可得到关于t的方程，解方程即可求解；第二种情况，当时，同理可得．解：（1）∵，，∴，故答案为：60°；（2）A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当时，如图1，∵，∴，∵，∴，∴∴，解得；②当时，如图2，∵，∴，∵，∴∴∴，解得，综上所述，当或110时，两灯的光束互相平行．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类讨论的思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．8．（1）见分析；（2），理由见分析；（3）或，理由见分析【分析】（1）作，可得，然后根据平行线的性质和角的和差可得结论；（2）作，可得，然后根据平行线的性质和角的和差可得结论；（3）分两种情况：当点P在右侧时，如图3，由（1）的结论可得：，然后根据角平分线的定义和角的代换即可得出结论；当点P在左侧时，同理即可解答．（1）解：理由如下：作，如图1，∵，∴，∴，∴；

（2）解：，理由如下：作，如图2，∵，∴，∴，∴；

（3）解：当点P在右侧时，；理由如下：如图3，由（1）的结论可得：，∵分别平分，∴，∴；

当点P在左侧时，；理由如下：如图3，由（1）的结论可得：，∵分别平分，∴，∴；综上，或

【点拨】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．（1）120，90；（2）①，；②n的值是30；（3）t的值为12或48．【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；（2）①根据两直线平行，内错角相等求出，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；②根据恰好是的倍列方程，计算可求解；（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．（1）解：∵，∴，，∴；故答案为：120，90；（2）解：①如图2，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∵，∴；故答案为：，；②∵恰好是的倍，∴，解得，∴n的值是30；（3）解：存在，理由如下：如图：则，∵，∴，∴，解得；如图：∵，∴，∴，解得，综上所述，t的值为12或48．【点拨】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．10．（1）；（2）；（3）10，40，50，20，35【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；（2）根据，分别表示出、、，再由，可得的度数，从而可得、的度数，再由即可求解；（3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于P，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时．（1）解：∵，∴，∵是的外角，∴，∴，故答案为：；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：①当时，延长交边于P，如图，∵，∴，∵，∴，∴，当绕E点旋转时，，（秒）；②当时，如图，∴，，∴，当绕点E旋转时，，∴（秒）；③当时，即与在同一直线上时，∴，当绕点E旋转时，，∴（秒）；④当时，∵，∴，当旋转时，，∴（秒）⑤当时，∵，，∴，∴当旋转时，，∴（秒），综上所述，当的其中一边与的某一边平行时，t的值为10，40，50，20，35．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．11．（1）见分析；（2）∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变，105°．【分析】（1）根据三角板的特殊角度值即可求解.（2）作出辅助线,根据三角形内角和即可解题.解：（1）证明：∵∠CAC′＝15°，∴∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，又∴∠C＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴AB∥CD；（2）解：∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变．如图，连接CC′.∵∠DBC′＋∠BDC＝∠DCC′＋∠BC′C，∠CAC′＋∠ACC′＋∠AC′C＝180°，∴∠CAC′＋∠AC′B＋∠BC′C＋∠ACD＋∠DCC′＝180°，∵∠AC′B＝45°，∠ACD＝30°，∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝180°－45°－30°＝105°.【点拨】本题考查了特殊的直角三角形和三角形的内角和性质,属于简单题,作出辅助线是解题关键.12．（1），；（2）；（3）t的值为12或48【分析】（1）根据平行线的性质得到，，再求出，最后根据邻补角互补求出对应角的度数即可；（2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解；（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．解：（1），，，，，，，故答案为：，；（2）恰好是的倍，，解得，的值是；（3）存在，理由如下：如图：则，，，，，解得；如图：，，，解得，综上所述，的值为12或48．【点拨】本题考查平行线的性质，三角板各个内角的特点，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．13．（1）；（2）当运动时间是15秒时，两块三角尺有一组边；（3）6或9或15或33【分析】（1）根据三角板的性质和平行线的性质可求，进而可求；（2）当时，，据此可求解；（3）分类讨论、、、、即可求解．（1）解：由三角板的性质可知：，，，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：如图，设量角器刻度线为，根据题意，得，

当三角尺的边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则运动时间最多为（秒）；当时，，即，解得：（秒）；∵，∴满足题意．∴当运动时间是15秒时，两块三角尺有一组边．（3）解：①当时：如图所示

∵∴∴解得：②当时：如图所示

∵∴∴解得：③当时：如图所示

∴∴解得：④当时：如图所示

∴∴解得：⑤当时：如图所示

∴∴∴解得：（舍去）故答案为：6或9或15或33【点拨】本题考查三角形板中的角度计算、根据平行线的性质求角度的度数．根据题意画出满足条件的图形是解决第三题的关键．14．（1），；（2）；（3）或.【分析】（1）由题意不难得出，，继而得到；（2）由平行线的性质可得，再结合是的平分线，即可求解；（3）由平行线的性质可得，再由得到，从而求得，分两种情况讨论：当点在左侧时和当点在右侧时，结合已知条件，即可求解；（1）解：由题意得：，，，，；故答案为：，；（2），，是的平分线，，当时，；故答案为：70；（3）①当点在左侧时，

，，，，，，，，解得：；②当点在右侧时，如图，

，，，，，，，，，，解得：；【点拨】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是对这些知识点的掌握和熟练应用．15．（1）100°；（2）见分析；（3）的值为或或或或【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解；（2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可；（3）分五种情况画图，列出关于t的式子即可解答．解：（1）∵，，．，．平分，．．故答案为：．（2）∵，．，．平分，．．．，．．，．，．∴．（3）．当时，则，如图，

∵，．．由题意，，．．当时，则，如图，

∵，．，．．．当时，则，如图，

∵，．，．．当时，则，如图，

由题意，，．．∵，．．．当时，，如图，

．．，．．综上，的值为或或或或．【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．16．（1）；（2）若旋转中，t的值为10或85．【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值，由题意可得，再根据即可得到，从而可得，再根据，可得，从而可得，即可得出结论；（2）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间．（1）解：∵a、b满足．∴，∴，由题意得，∵，∴，过点C作，

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，∴，即射线旋转的角度小于，①当，即时，，解得：；②当且，即时，，解得：；③当，即时，，解得：（不合题意，舍去）；∴若旋转中，t的值为10或85．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．17．（1）3；（2）；（3）的值为15或27或35【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．（1）根据角平分线的定义求出，然后求出t的值即可；（2）当时，旋转角为，可求出，即可求出；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．（1）解：如图2，∵，，∴，∵平分，∴，∴，（2）当秒时，的旋转角度为，即，如图，∴；（3）①当时，如图，此时与重合，旋转角度为，∴；②当时，如图，∵，∴，∴，∴；③当时，如图，∵，∴，∴，∴．18．（1）150°；（2）∠MON所运动的时间t值为3s或12s；（3）∠BOC+∠MOC=180°或∠BOC＝∠MOC【分析】（1）由角的比值，求解∠AOC的度数，结合∠MON＝∠AON＝90°，利用∠CON＝∠AOC+∠AON可求∠CON的度数；（2）可分两种情况：射线ON平分∠AOC；直线ON恰好平分锐角∠AOC，计算出ON沿逆时针旋转的度数，最后求出时间即可；（3）由∠AOC与∠NOC互余，结合图形推∠BOC与∠MOC之间的数量关系．（1）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC＝∵∠MON＝90°，∴∠AON＝180°－∠MON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；（2）解：当直线ON平分∠AOC时，如图3，平分∠AOC，直线ON逆时针旋转60度至直线时，直线ON平分∠AOC，∵∠AOC＝60°，∴∠＝＝30°，∵∠BON＝∠＝30°，∴此时射线ON逆时针旋转了60度，∴∠MON所运动的时间t＝60÷20＝3（s）；如图4，∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，∴∠MON所运动的时间t＝（s）；综上，∠MON所运动的时间t值为3s或12s；（3）解：如图6所示：

∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM与OA重合∴∠BOC+∠MOC=180°．如图5所示：当ON平分∠AOC时，∠AOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°，∴∠BOC＝∠MOC．综上所述：∠BOC+∠MOC=180°或∠BOC＝∠MOC．【点拨】本题考查了几何中角度的计算，角互余的定义，掌握逆时针旋转后的角度，画出符合题意的图形是解题关键．19．（1）；（2）；（3）的度数为；（4）绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，一元一次方程的应用等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图2，过点作，利用平行线性质即可求得答案；（3）如图3，分别过点、作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；（4）设旋转时间为秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．（1）解：在中，，，，平分，，∵，，；故答案为：；（2）解：如图2，过点作，，，∵，，∴，，又．；∴故答案为：；（3）解：如图3，分别过点、作，，，，∵，，，∴，，，和的角平分线、相交于点，，，，，，，，，；（4）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为每秒转，分三种情况：①当时，如图5，此时，，，解得：；②当时，如图6，，，，解得：；③当时，如图7，延长交于，延长交于，，，，，，，解得：，综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．20．（1）30°；（2），；（3）3.75，26.25，5，15，20，35【分析】（1）根据平行线性质和角平分线有关计算可求解．（2）动点类问题，因为给定了时间t＜50，考虑射线CB在线段AC的左边和右边两种情况，A1C在CN上方和下方两种情况．综上所述分三种情况讨论．B1在A的左边时，2（30﹣3t）+120﹣3t＝100；当A1和B1在∠ACN之间时，2（3t﹣30）+120﹣3t＝100；当A1和B1在∠ACN之间时，2（3t﹣30）+3t﹣120＝100．解出的t要满足对应的取值范围即可．（3）以直线MN为基准线，当m＝0时，∠MCB＝30°．射线CB每秒2°，射线AQ每秒10°，m＜40，因此射线CB旋转小于80°，射线AQ旋转小于400°．BC∥AQ有两种：30+2m＝10m或30+2m＝10m﹣180．BC⊥AQ有三种情况：30+2m+10m＝90，30+2m+10m＝270，30+2m+10m＝450，解出即可．解：（1）∵PQ∥MN，∠CAQ＝60°，∴∠ACM＝∠CAQ＝60°．又∵CB平分∠ACM，∴∠MCB＝30°．故答案为：30°．（2）∵t＜50，∴可旋转的度数3×50＝150°＜180°，即B不会运动到直线CN上．①当B1在A的左边时，t＜30÷3＝10，∠ACN＝120°，∴∠ACB1＝30﹣3t，∠A1CN＝120﹣3t又∵2∠ACB1+∠A1CN＝100°，∴2（30﹣3t）+120﹣3t＝100，∴t＝．②当A1和B1在∠ACN之间时，10≤t≤40，∴∠ACB1＝3t﹣30，∠A1CN＝120﹣3t．又∵2∠ACB1+∠A1CN＝100°，∴2（3t﹣30）+120﹣3t＝100，∴t＝．③当B1在∠ACN之间，A1在直线CN下方时，40＜t＜50，∴∠ACB1＝3t﹣30，∠A1CN＝3t﹣120．又∵2∠ACB1+∠A1CN＝100°，∴2（3t﹣30）+3t﹣120＝100，∴t＝（舍去）．∴综上所述，t的取值为或；（3）∵m＜40，∴当BC∥AQ时有两种：30+2m＝10m或30+2m＝10m﹣180，解得m＝3.75，26.25．∴当BC⊥AQ时有三种情况：30+2m+10m＝90，30+2m+10m＝270，30+2m+10m＝450，解得m＝5，20，35．当m=15时，CB与CA重合，此时∠CAQ=90°，符合条件．答：m的值为3.75，26.25，5，15，20，35．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的有关计算，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21．（1）；（2）①是定值，；②或或