专题110平行线中的折叠问题（分层练习）（提升练）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.10平行线中的折叠问题（分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（

）

①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5A．1 B．2 C．3 D．42．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③；④，⑤．其中正确的结论有（

）

A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤3．（2023下·山东济南·六年级统考期末）如图，将一个长方形纸片沿着折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．4．（2023下·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于（）

A． B． C． D．6．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（）

A．58° B．59° C．60° D．61°7．（2022下·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（

）A．①②③④B．②③④ C．①②③ D．①②8．（2022下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°9．（2022下·广东广州·七年级广州市南武中学统考期中）如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹角∠BAF＝________时，．A．50° B．55° C．65° D．70°10．（2022下·河南信阳·七年级统考期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（

）①两直线平行，同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，把一张两边平行的纸条沿着折叠，若，则的度数是．

12．（2024下·六年级课时练习）如图，把一张长方形纸片ABCD沿BF折叠后，D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG=56°，则∠AEG=．13．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则阴影部分的周长为．

14．（2023下·江西南昌·七年级南昌市第三中学校考期中）在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，＝，＝，点是边上的固定点（＜），请在上找－点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为度15．（2022下·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=．（用含m的式子表示）16．（2022下·江苏盐城·七年级统考期中）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝°．17．（2021下·北京·七年级首都师范大学附属中学校考期末）如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则．18．（2020上·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为度.三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021下·浙江杭州·七年级校联考期中）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．（1）请判断HG与AE的位置关系，并说明理由．（2）若∠CEG＝20°，请利用平行线相关知识求∠DHG的度数．20．（8分）（2021下·河南开封·七年级校考期末）如图1，在长方形纸片中，，E，F分别是上的点，将长方形沿着折叠，如图2，交于点G，过点G作，交线段于点H．（1）求证：．（2）①判断是否平分，并说明理由；②若，求的度数．21．（10分）（2020下·北京·七年级校考阶段练习）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝．如图2，将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为．解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在上，且∠ABM＝90°，由折叠：平分_________，∥，求∠的度数．（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使⊥BR1？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由．（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．①第二次折叠时，∠＝_____________（用的式子表示）；②第n次折叠时，∠＝____________（用和n的式子表示）．22．（10分）（2019上·北京西城·八年级统考期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P．任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．阅读操作步骤并填空：小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．

在小谢的折叠操作过程中，（1）第一步得到图②，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时∠即∠=__________°；（2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF的度数；（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④．完成操作中的说理：请结合以上信息证明FG∥BC．23．（10分）（2019下·浙江杭州·七年级校联考期中）如图：（1）如图1，将长方形纸片ABFE沿着线段DC折叠，CF交AD于点H，过点H作HG∥DC，交线段CB于点G．①判断∠FHG与∠EDC是否相等，并说明理由；②说明HG平分∠AHC的理由．（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABE，其它条件不变．HG是否平分∠AHC？如果平分请说明理由；如果不平分，请找出∠CHG，∠AHG与∠E的数量关系并说明理由．24．（12分）（2017下·湖北宜昌·七年级校联考期中）已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GHEP，交CD于点H，且∠1=∠2．（1）求证：ABCD；（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JKAB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM⊥FM时，求∠EPF的度数．参考答案：1．D【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．解：①∵∠2=∠4，∴AD∥BC（同位角相等两直线平行），符合题意；②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，∴∠5=∠2，∴GF∥HE，因为GF和HE是由DF和CE折叠得到的，∴FD∥EC，即AD∥EC，符合题意；③∠1=∠6，由折叠性质知∠1=∠FEC，∴∠6=∠FEC，∴AD∥BC，符合题意：④由折叠的性质知,∠GFE=∠DFE，∴∠DFE=∠5+∠6，∵∠6+∠DFE=180°，∴∠5+2∠6=180°，∵∠4=∠5，∴∠4+2∠6=180°，又∵∠4+2∠1=180°，∴∠6=∠1=∠FEC，∴AD∥BC，符合题意.故答案为：D.【点拨】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．2．D【分析】根据平行线的性质，以及折叠的性质即可判断①，根据平行线的性质可得，，即可判断②，根据平行线的性质可得，根据对等角相等可得，即可判断③，根据平行线的性质得出，根据邻补角的定义，即可判断④，根据折叠的性质即可判断⑤解：∵∴∵折叠，∴，∴，故①正确；∵∴又∴∴，故②正确∵∴又∴，故③正确

∵，,又∴∴∵∴，故④正确；根据折叠的性质可得，故⑤正确，故选：D．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，邻补角的定义，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．3．C【分析】过点A作，故，由长方形的性质可得，结合折叠的性质推证，故．解：过点A作，

∴，四边形是长方形，，，，由折叠得：，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行的性质和判定；根据相关定理熟练的在“直线的平行关系”和“角之间的数量关系”间转换是解题的关键．4．B【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数．解：由翻折的性质得：，，∵四边形为长方形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．5．C【分析】根据折叠的性质得出，，根据已知条件得出，进而得出解：如图所示，

根据折叠可得，，设∵，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴即又∵，即解得：,∴故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．A【分析】根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．解：长方形，，，，，由折叠得：，，，，在中，，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．7．A【分析】先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断①③；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断②；再根据折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，即可判断④解：∵四边形ABCD是长方形∴由折叠的性质可得故①正确故③正确故②正确又由折叠的性质可得：故④正确故选：A【点拨】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．8．D【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②当在下方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故选D．【点拨】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．9．B【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAB′的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．解：∵四边形ABCD是长方形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°．∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．∵△AB′F由△ABF翻折而成，∴∠BAF=∠BAB′=55°．故选B．【点拨】本题考查的是平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．10．C【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确；∵∠4=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确；综上分析可知，正确的是①②，故C正确．故选：C．【点拨】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．11．/50度【分析】根据题意，得，结合，代入计算即可．解：如图，根据题意，得，∵，∴，解得．

故答案为：50．【点拨】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．68°/68度【分析】先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的大小．解：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝56°，由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，∴∠DEG＝112°，∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°．故答案为：68°．【点拨】本题以折叠问题为背景，主要考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠性质，解题时注意：矩形的对边平行，且折叠时对应角相等．13．【分析】由折叠性质得，由平移的性质可得，，，再由，可得四边形的周长为：．解：∵沿折叠点落在点处，∴，∵沿向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，∴，∵，∴，，∴阴影部分的周长为：，故答案为：．【点拨】此题考查了翻折和平移变换的性质，解题的关键是要能够根据折叠和平移的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分周长．14．或或【分析】分时和时，利用折叠性质和平行线的性质以及三角形的内角和求解即可．解：当时，如图，则，由折叠性质得：，，，当时，如图，则，；当时，如图，则，由折叠性质得：，综上，的度数为或或．故答案为：或或．【点拨】本题考查折叠性质、平行线性质，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键．15．【分析】设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行线性质可得∠ADF=180°m，则∠ADC=180°m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度数．解：设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°m，∴∠ADC=180°m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO∠CDE=．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质及角的有关计算，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．16．130【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′DC=80°，进而得到∠BDB′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，∵EB′∥BC，∴∠B′=∠B′DC=80°，∴∠BDB′=180°∠B′DC=100°，∴∠BDE=∠B′DE=50°，∴∠CDE＝180°∠BDE=130°．故答案为：130【点拨】本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．17．58°【分析】由题意得AE∥BD，由此可求得，继而求得∠BAE的度数，再根据折叠的性质即可求得答案．解：∵四边形是长方形，∴，∵，，∴，∴，∵折叠，∴．故填：58°．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了两直线平行的性质，解题关键是掌握折叠的性质与平行线的性质．18．【分析】从长方形中抓出隐含条件A'D'∥BC，得出∠BCE=∠CED'，求∠CED'的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出∠CED'大小即求出∠BCE．解：折叠后的图形如下：∵∠ABE=30°，∴∠BEA'=∠BAE=60°，又∵A'D'∥BC，∴∠BCE=∠CED'，又∵∠CED'=∠CED，∴∠BCE=∠CED'=∠CED，又∵∠DEC=∠DED'，∴∠DEC=（180°∠A'EA+∠AED）=（180°120°+n°）=（30+）°，∴∠BCE=（30+）°故答案为：（30+）．【点拨】本题综合考查了以长方形、平行线、两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．19．（1）HG∥AE，理由见分析；（2）∠DHG＝70°．【分析】（1）根据折叠的性质得∠AEB=∠AEF，根据角平分线定义及垂直的定义得AE⊥EG，最后由平行的判定可得结论；（2）由余角的性质得∠AEB=70°，然后根据平行线的性质可得答案．解：（1）平行，理由如下：∵长方形沿AE折叠，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于点G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．【点拨】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．（1）见分析；（2）①平分，见分析；②64°【分析】根据平行线的性质得到∠AGC=∠AFD，∠AGH=∠AFE，于是得到∠CGH=∠DFC；①根据平行线的性质得到和角平分线的定义即可得到结论；②由折叠的性质得到∠EFG=∠1，根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：（1）证明：∵四边形是长方形，，∴．∵，∴．∵，∴．（2）①平分．理由：（解法不唯一）如图，延长．∵，∴，．∵，∴．∴．∵将一长方形纸片沿着折叠，∴，∴，∴，∴平分．②∵，，∴．∵，∴．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键．21．（1）∠ABM，∠＝135°；（2）能，60°；（3）180°－，180°－【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得结论；（2）求证当α=60°时，使，由折叠对应角相等，再根据三角形的内角和得出结论；（3）①根据折叠和平行线的性质可求出，同理可求出；②由①可得到规律得出．解：（1）由折叠得，，∴平分∠ABM，∵∠ABM＝90°，∴，∵，∴，∴；故答案为：∠ABM；（2）α=60°；由折叠可得，，，，∴，∴，∴；（3）①如图，由折叠得，，∴，，∴，∴；同理可得，，∴，故答案为：；②由①可得，由此可以得出：，故答案为：．【点拨】本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．还考查了平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．22．（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F；（3）见分析【分析】（1）根据折叠得到，利用邻补角的性质即可得结论；（2）根据（1）的操作指令即可写出第二步；（3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论．解：

（1）因为：所以：故答案为．

（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．由折叠过程可知∠=∠EPF=∠DPF，

∵三点共线，∴∠＋∠DPF=180°，∴∠=90°，∴∠EPF=90°．

（3）完成操作中的说理：∵∠EDC=90°，∠EPF=90°，∴∠EDC=∠EPF，

∴FG∥BC．【点拨】本题考查了作图复杂作图、平行线的判定和性质、邻补角的性质，解决本题的关键是理解操作过程．23．（1）①∠FHG=∠EDC，见分析；②见分析；（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E，见分析.【分析】（1）①根据平行线性质得∠EDA＝∠FHA，∠ADC＝∠AHG，由角的计算即可得证.②HG平分∠AHC，理由如下：将图形折回到其原始状态，E的对应点为N，F的对应点为M，由折叠性质知：∠FCD＝∠DCM，根据平行线性质得：∠DCM＝∠HGC，∠DCH＝∠CHG，∠CGH＝∠AHG，等量代换得∠CHG＝∠AHG，根据角平分线定义即可得证.（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E；理由如下：如图：延长线段AD和BC交于点F，根据平行线性质得：∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，∠AHG＝∠ADC，由三角形内角和定理、等量代换即可得证.解：（1）①如图1，

∵DE∥CF，∴∠EDA＝∠FHA（两直线平行，同位角相等），∵HG∥DC，∠A