专题31圆（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）

专题3.1圆（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】点和圆的位置关系：点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；【知识点二】圆心角、弧、弦、弦心距的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【知识点三】垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知识点四】圆周角定理：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径.推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【知识点五】直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为）相交：直线与圆有两个公共点，；相切：直线与圆有一个公共点，；相离：直线与圆无公共点，.【知识点六】切线定理：切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.【知识点七】切线长定理：切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线是这两条切线的夹角.【知识点八】弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.【知识点九】确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.【知识点十】外心：外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.【知识点十一】内心：内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2..三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则.直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则.【知识点十二】相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图1，是的两条弦且交于点，则.图1图2图3【知识点十三】切割线定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图2，是的切线，线段交于两点，则.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图3，线段交于两点，交于两点，则.【知识点十四】正多边形、弧长与扇形面积：正变形的圆心角为度.弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为.如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为.如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为.【考点目录】【考点1】圆的对称性➼➼➻圆及其相关概念【考点2】垂径定理➼➼➻定理的理解及证明与求值【考点3】圆心角与圆周角➼➼➻利用定理进行证明与求值【考点4】圆的确定➼➼➻四点共圆及圆的确定条件的理解【考点5】直线与圆的位置关系➼➼➻切线性质与判定的理解及综合【考点6】弧长与扇形面积➼➼➻用公式求值与证明【考点7】正多边形与圆【考点一】圆的对称性➼➼➻圆及其相关概念【例1】（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，的半径为，一次函数与相交于点．（1）求点的坐标；（2）判断点与的位置关系并说明理由；（3）过点作轴的垂线交于点，将直线沿轴向下平移多少个单位，该直线刚好经过点．【答案】（1）；（2）点在圆上，理由见分析；（3）8【分析】（1）联立两条直线的解析式，求解即可；（2）求出的长，与的半径比较大小后，即可得到结论；（3）对称性得到点坐标，设直线沿轴向下平移个单位，经过点，得到平移后的直线的解析式为，代入点坐标，求解即可．（1）解：联立，解得：，∴；（2）∵，∴，∵的半径为，∴点在圆上；（3）如图，过点作轴的垂线交于点，

则：关于轴对称，∴，设直线沿轴向下平移个单位，经过点，则平移后的直线为，把，代入得：；∴将直线沿轴向下平移8个单位，该直线刚好经过点．【点拨】本题考查两条直线的交点问题，点与圆的位置关系，圆的对称性，以及一次函数图象的平移．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·广东惠州·九年级惠州市惠阳区崇雅中学校考期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】本题考查圆外动点最小距离问题，勾股定理及轴对称最小距离问题，作点的对称点，连接交圆于一点即为最小距离和的点，根据勾股定理求解即可得到答案；解：作点关于直线的对称点，连接交圆于一点即为最小距离和的点，如图所示，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴的最小值是：，故选：C．【变式2】（2023上·江苏宿迁·九年级校考期中）已知的直径为16，点A到圆心的距离为10，则点A与⊙O的位置关系为．【答案】点A在外【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．根据由的半径为8，而点A到圆心O的距离为10，得到点A到的距离大于圆的半径，根据点与圆的位置关系即可判断点A与的位置关系．解：∵的直径为16，∴的半径为8，又∵点A到圆心O的距离为10，∴，∴点A与的位置关系是在圆外．故答案为：点A在外．【考点二】垂径定理➼➼➻定理的理解及证明与求值【例2】（2023上·河南信阳·九年级统考期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”．阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图，其中于点，问径就是要求的直径．再次阅读后，发现寸，寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出的直径．【答案】的直径为寸【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，由垂径定理可得，设寸，则寸，在中，由勾股定理可得，求出的值即可得到答案．解：连接，垂足为，，设寸，则寸，在中，，∴，∴，解得，∴寸，的直径为寸．【举一反三】【变式1】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案．解：∵是弦的中点，是过点的直径，∴，，，故选项A正确，不符合题意；∵，∴，，故选项B，C正确，不符合题意；已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意．故选：D．【变式2】（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期中）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若．，求的直径．【答案】【分析】本题考查了垂径定理、圆中弧、弦的关系、勾股定理等知识点．连接，根据垂径定理可得，；结合点D是的中点，可推出，；设，根据勾股定理可得，即可求解．解：如图，连接，∵，∴，∵点D是弧的中点，∴∴，∴，∴设，∵，∴∴，∴的直径．故答案为：【考点三】圆的对称性➼➼➻弧、圆心角、弦、弦心距的关系【例3】（2023上·江西赣州·九年级校联考期中）课本再现如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．

（1）求证：四边形是菱形．拓展延伸（2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，同理，得到，即可得出结论；（2）连接，求出，，则平分，得到，则，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可．解：（1）证明：连接，

∵，C是的中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴，同理，∴，∴四边形是菱形；（2）连接，

∵是等边三角形，∴，∵将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，∴，∴，，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】此题考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可．解：连接，，

由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即，设的弧度为，的弧度为：，，的弧度为：，由折叠得，的弧度为，的弧度为：，点为弧中点，的弧度为：，的弧度为：，即所对圆心角为，设半圆的半径为r，，，解得：半径为2，故选：C．【变式2】（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）如图，是的直径，，若，则．

【答案】【分析】先求得的度数，由可求得，继而可求得的度数．熟练掌握同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．解：∵，∴．∵，∴．故答案为：．【考点四】圆心角与圆周角➼➼➻利用定理进行证明与求值【例4】（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，为线段上一动点，与过，，三点的圆交于点，连结．（1）求证：；（2）随着点的运动，探索的值是否发生变化？试证明你的结论．【答案】（1）见分析；（2）的值不变，理由见分析【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握性质定理是解题关键．（1）根据各点坐标求出三角形的边长利用即可证明结论；（2）连接，根据，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，即可证明，利用即可得出结论．解：（1）证明：，，，，，，，，，，，；（2）的值不变，理由如下：如图，连接，，，，，，，，，的值不变．【举一反三】【变式1】（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图，已知中，是直径，是弦，，过点作弦为垂足，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，由圆周角定理即可求解．由垂径定理得到，由圆心角、弧、弦的关系推出，由圆周角定理求出，即可作答．关键是由圆心角、弧、弦的关系得到，解：连接，∵直径，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．【变式2】（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点A、B、C在上，，连接BO并延长，交于点D，连接AC、DC、若，则的大小为°．

【答案】/54度【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质．利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明，进而可得结论．解：，，，，，是直径，，，故答案为：．【考点五】圆的确定➼➼➻四点共圆及圆的确定条件的理解【例5】（2023上·九年级课时练习）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴，∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上．反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________________________________________________；依据2：__________________________________________________．（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见分析【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过不在同一直线上的三点确定一个圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；（3）根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论．解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．故答案为：圆内接四边形对角互补

过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆（2）∵，∴点A，，，四点在同一个圆上，∴，∵，∴．答案：45°（3）证明：∵，∴，∵点与点关于对称，∴，，∴，，∴，∴，∴A，，，四点共圆．【点拨】本题考查圆内接四边形的性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，是，的外接圆，，若，，则的半径为（）

A． B．5 C． D．【答案】B【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识．连接，过点O作，交于点F，交于点E，根据圆心角、弧、弦的关系求出，根据勾股定理计算即可．解：如图，连接，过点O作，交于点F，交于点E，

则，∵，∴，∴，∴，∴，设的半径为在中，，即，解得：，故选：B．【变式2】（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为．【答案】【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义．解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，点是的外心，的外心的坐标为，故答案为：．【考点六】直线与圆的位置关系➼➼➻切线性质与判定的理解及综合【例6】（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，以为直径的切于点，交延长线于点，且．（1）求证：是的切线；（2）若．①求的半径；②连接，求的长．【答案】（1）证明见分析；（2）①3；②【分析】（1）根据切线的性质，只要证明即可得证；（2）根据题意，由勾股定理可得，连接，由切线长定理及切线性质，结合勾股定理列方程求解即可得到答案；（3）根据切线性质，利用三角形全等的性质得到，最后利用勾股定理即可得到答案．解：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴是的切线；（2）解：①∵，∴，连接，如图所示：

∵与都为的切线，∴，∴，在中，设，则有，由勾股定理得，解得，即圆的半径为3；②延长相交于点，如图所示：

，，与都为的切线，，，在和中，，，∴，∴，在中，，则，∴．【点拨】本题考查圆综合，涉及切线的证明、勾股定理、切线性质、切线长定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用性质证明圆的相关综合问题是解决问题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·江苏常州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（）．A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【分析】根据平行线间高相等可得，进而得到，然后根据k值的几何意义即可解答．掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．解：如图，连接，，设的高为h∵与x轴相切于点B，为的直径，∴，,∴、的高为，∴,∵，∴，∴,∵，且反比例函数图像在一象限，∴．故选：C．【变式2】（2023上·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为．

【答案】【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质．根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．【考点七】正多边形与圆➼➼➻计算与证明【例7】（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

（1）求∠E的度数．（2）求证：．（3）若，则点E到的距离为．【答案】（1）；（2）见分析；（3）【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解；（2）要证明，只要证明即可；（3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．（1）解：如图，连接，，

∴∵正方形内接于，∴，∴；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，∴．∵E是的中点，∴，∴，∴，∴；（3）解：连接并延长交于点F，

∵，，∴是线段的垂直平分线，∵，，∴，，∴，∴，即点E到的距离为，故答案为：．【举一反三】【变式1】（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，点是正方形和正五边形的中心，连接交于点，则的度数等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质是解题的关键．如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，由圆周角定理可得，，然后根据，计算求解即可．解：如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，∵，∴，∵，∴，∴，故选：A．【变式2】（2022上·湖北武汉·九年级湖北省水果湖第二中学校考期中）半径为4的正八边形的面积为．【答案】【分析】连接、，过A作于M，根据正八边形得到，根据正八边形的半径为4，得到，推出，正八边形的面积有这样的八个全等的等腰三角形面积组成，乘以8即可．本题考查了正多边形的面积，熟练掌握中心角计算，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积计算公式，多边形的面积为三角形面积的倍数计算，是解决问题的关键．解：设正八边形为，中心为O，连接、，过A作于M，如图所示，则，∵正八边形的半径为4，∴，∵，∴，∴，∴，∴正八边形的面积为，．故答案为：．【考点八】弧长及扇形面积➼➼➻求值与证明【例8】（2023上·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，在中，，平分交于点，为上