专题14二次函数（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练

专题1.4二次函数（全章分层练习）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值（其中m＞0＞n），下列结论正确的（）x…0124…y…mkmn…A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a﹣2b+c＜0 D．a+b+c＜02．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（

）A． B．或C． D．或3．（2021·四川乐山·统考一模）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（

）A． B．C．或 D．4．（2022上·安徽蚌埠·九年级统考期末）在同一直角坐标系中,一次函数y=axb和二次函数y=ax2b的图象大致为（）A．B．C． D．5．（2022上·安徽合肥·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，抛物线y1：y＝a1（x+1）2+1与y2：y＝a2（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论，正确的是（）A．＞ B．当＝时，x＝1C．当＞时，0≤x＜1 D．3AB＝2AC7．（2023上·江苏·九年级统考期中）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点之间的距离，则A2B2+…+A2019B2019的值是（）A． B． C． D．18．（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边BC上一个动点，连接AE，取AE的中点G，点G绕点E顺时针旋转90°得到点F，连接DF、DE，EFD面积的最小值是（

）A．15 B．16 C．14 D．129．（2023上·福建莆田·九年级校联考阶段练习）抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．10．（2023上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考期中）二次函数大致图象如图所示，其中图象过顶点，下列结论错误的是（）

A．B．C．若方程有四个根，则这四个根的和为D．若方程有两根为和，且，则填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2018下·九年级课时练习）若函数y＝（m－3）是二次函数，则m＝.12．（2023上·江苏南通·九年级统考期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是．13．（2023上·福建厦门·九年级校联考期中）抛物线（为常数，其中）经过，两点，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论是（填写序号）．14．（2022下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）已知函数，则该函数的最小值是．15．（2022下·安徽芜湖·九年级校考自主招生）抛物线：与轴交于、两点，抛物线与抛物线关于点中心对称，抛物线与抛物线关于点中心对称．若直线与由、、组成的图形恰好有2个公共点，则的取值或取值范围是．16．（2023上·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考阶段练习）已知点A（a，b）为直线与直线的交点，且，则m的值为.17．（2023上·山东德州·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，，为的平分线，为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是．

18．（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）已知y关于x的二次函数（m为常数）的顶点坐标为（1）k关于h的函数解析式为．（2）若抛物线不经过第三象限，且在时，二次函数最小值和最大值和为，则．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如果抛物线和直线都经过点，求、的值，且在直角坐标系中画出抛物线和直线的图像.20．（8分）（2023上·山西吕梁·九年级统考期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）结合函数图像，当时，直接写出y的取值范围______．（2）若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．21．（10分）（2023上·福建莆田·九年级校考期中）已知二次函数的图象过点、．

（1）求b、c的值；（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标．22．（10分）（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市光华中学校校考阶段练习）综合与探究如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点（点A在点C左侧），与y轴交于点B，直线经过两点，点P是直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴于点F，交直线于点D．（1）求的值；（2）求线段的最大值；（3）连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，是否存在这样的点E，使点E恰好落在抛物线上．若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．23．（10分）（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）已知抛物线C：．（1）若抛物线C经过原点，则m的值为，此时抛物线C的顶点坐标为．（2）无论m为何值，抛物线C恒过一定点A，点A的坐标为．（3）用含m的代数式表示抛物线C的顶点坐标，并说明无论m为何值，抛物线C的顶点都在同一条抛物线上．（4）设抛物线C的顶点为B，当点B不与点A重合时，过点A作轴，与抛物线C的另一交点为E，过点B作轴，与抛物线的另一交点为D．①求证：四边形是平行四边形；②当是菱形时，求m的值．24．（12分）（2022·湖北武汉·统考模拟预测）某企业安排75名工人生产甲，乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利20元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利150元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排（为不小于5的整数）名工人生产乙产品．（1）用含的代数式表示：每天生产甲产品的工人有____________名；每件乙产品可获利润____________元．（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多450元，求每件乙产品可获得的利润；（3）该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等．已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利25元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润的和最大时，请求出的值．参考答案：1．C【分析】用二次函数的图象与性质进行解答即可.解：如图：由抛物线的对称性可知：（0，m）与（2，m）是对称点，故对称轴为x＝1，∴（﹣2，n）与（4，n）是对称点，∴4a﹣2b+c＝n＜0，故选：C．【点拨】本题考查二次函数图像的性质，熟练运用二次函数的图像与性质是解答本题的关键.2．D【分析】因为两个图象总有公共点，所以将两个解析式进行联立，再根据根的判别式进行判断即可求出的取值范围．解：由题意得，无论为何值，直线与抛物线总有公共点，将代入得：，整理得：，，，，当时，，解得，，当时，，解得：，的取值范围是或．故选：D．【点拨】本题主要考查的是函数图象的交点问题，正确的列出判别式，并根据交点数进行判定是解题的关键．3．C【分析】分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，找临界点进行讨论即可.解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点，点代入得，解得∴直线AB的解析式为y=x+∵抛物线与线段有两个不同的交点∴有两个不同解∴∴∴①当a＞0时，解得a≥1∴②当a＜0时解得∴综上可知，或故选：C.【点拨】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，利用分类讨论思想解决问题是解决问题的关键.4．D【分析】先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可得出答案．解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误；B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误；C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故C错误；D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故D正确；故选D【点拨】本题考查了二次函数的图象，熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题关键.5．C【分析】把代入，可得到，再利用和建立方程组即可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解．解：令，则∴∴由题意可得：解得：∴如图所示：若最小值为最大值为，结合图像可得：故答案选：C【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键．6．D【分析】把点A（1，3）分别代入抛物线y1：y＝a1（x+1）2+1与y2：y＝a2（x﹣4）2﹣3求得a1＝，a2＝，得到a1＜a2，故A错误，当y1＝y2时，解方程得到x＝1或x＝37，故B错误；于是得到当y2＞y1时，0≤x＜1或x＞37；C错误；根据抛物线的对称轴得到B（﹣3，3），C（7，3）求得AB＝6，AC＝4，于是得到结论．解：∵y＝a1（x+1）2+1与y＝a2（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴3＝a1（1+1）2+1，3＝a2（1﹣4）2﹣3，∴a1＝，a2＝，∴a1＜a2，故选项A错误；∵抛物线y1：y＝a1（x+1）2+1与y2：y＝a2（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴当y1＝y2时，x＝1或x＝37，故选项B错误；∵当y1＝y2时，x＝1或x＝37，∴当y2＞y1时，0≤x＜1或x＞37；故选项C错误；∵抛物线y＝a1（x+1）2+1与y2：y＝a2（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴y1的对称轴为x＝﹣1，y2的对称轴为x＝4，∴B（﹣3，3），C（7，3）∴AB＝6，AC＝4，∴2AB＝3AC，故选项D正确．故选D．【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是图形的特点结合函数的性质进行分析.7．B【分析】将n=2，3，4…分别代入抛物线y＝x2﹣x﹣+得到若干抛物线解析式，然后分别求得它们与x轴的交点横坐标，再利用规律求和即可．解：将n＝2，3，4…分别代入抛物线y＝x2﹣x﹣+得：y＝x2﹣x+y＝x2﹣x+y＝x2﹣x+…分别解得：x1＝，x2＝；x3＝，x4＝；x5＝，x6＝…∴A2B2＝﹣A3B3＝﹣A4B4＝﹣…∴A2019B2019＝﹣∴A2B2+…+A2019B2019＝＝＝故选：B．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，发现抛物线的交点横坐标之间的规律是解题的关键．8．A【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，由旋转的性质得，，再证，得，设，则，，，然后由梯形面积公式和三角形面积公式求出，由此即可求解．解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，则，四边形是矩形，，，，，，四边形是梯形，由旋转的性质得：，，，，，为的中点，，，设，则，，∴，，当时，面积取得最小值，最小值为15，故选：A．【点拨】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质，证明是解题的关键．9．B【分析】首先根据解析式求与轴交点、的坐标，确定翻折后二次函数的解析式，求直线过边界点时对应的的值，并求直线与新抛物线相切时的值，继而得出的取值范围．解：当时，，，或，∴，，，，∵，∴沿轴翻折后所得抛物线的解析式为，如图，作直线，分别过作直线的平行线交轴于点，作直线平行于，且与抛物线有唯一的公共点，设直线：，直线∶，∵过，，∴，∴，∴直线：，∵与抛物线有唯一的公共点，∴即，∴，解得，∴直线∶，结合图形可得直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为，故选：B【点拨】本题考查了一元二次方程与抛物线的关系，待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交点和几何变换问题以及直线的平移，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的性质是解题的关键．10．C【分析】抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，即可求解；当时，即可求解；若方程，即：若方程，当时，由一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为，即可求解；，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，即可求解；解：∵顶点为，设二次函数表达式为：，抛物线对称轴在轴左侧，则同号，而，则，故A正确；函数图象过顶点，故当时，，故B正确；若方程，即：若方程，当时，根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为，同理当时，其两个根的和也为，则这四个根的和为，故C错误．方程有两根为和，相当于与x轴两个交点的横坐标，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，故有两个根和，且，则，D正确；故选：C．【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴交点，一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数图象的性质．11．5【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．解：∵函数y=（m－3）是二次函数，∴m2+2m13=2且m3≠0解得：m=5.考点：二次函数的定义．12．3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据，，得出，以及实数m，n满足，，即可将整理为，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，最后根据二次函数的增减性，即可解答．解：∵，，∴，∴，∵实数m，n满足，，且，∴m、n可看作关于x的一元二次方程的两根，∴，∴，∵，∴当时，的值随x的增大而增大，∵，∴当时，有最小值，最小值为．故答案为：3．13．【分析】易得方程的根为，，即对称轴为：，结合，，可得①②正确；根据，，，可得，，即可判断③正确；由，可得，确定直线与x轴交于点，与y轴交于点，再确定抛物线与y轴交于点，画出图形，即可判断④正确．解：∵抛物线（为常数，其中）经过，，∴方程的根为，，∴对称轴为：，∵，，∴，∴，即：，，故①错误，②正确；∵，，，∴，，∴，故③正确；∵，∴，直线，当时，，当时，，即直线与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线，当时，，即抛物线与y轴交于点，画出图形，如下：

由图可知：不等式的解集为：或，即不等式的解集是或，故④正确；故答案为：．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，利用图解法解关于x的不等式的解集等知识，注重数形结合，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．14．/【分析】设．则原函数可以化为．根据二次函数的最值即可求出结果．解：设，则，，当，即时，，该函数取最小值．故答案为．【点拨】本题主要考查了二次函数的最值．解题关键是根据将原函数转化为二次函数求解．15．或或【分析】根据对称性先求抛物线与抛物线的解析式，再分两种情况：①在轴右侧时，从直线与相切时到直线过点时，这些值符合条件，计算出来即可；②在轴的左侧，当与相切时和与相切时，都与有、、组成的图形恰好有2个公共点，分别计算出的值．解：抛物线：，顶点，当时，，∴，，当抛物线与抛物线关于点中心对称，∴顶点关于点的对称点，∴抛物线的解析式为：，当抛物线与抛物线关于点中心对称，∴顶点关于点的对称点，∴抛物线的解析式为：．分两种情况讨论：①当过时，，当与相切时，即与有一个公共点，则，，，，，∴当时，直线与由、、组成的图形恰好有2个公共点；②当与相切时，即与有一个公共点，则，，，，，当与相切时，即与有一个公共点，则，，，，，∴当或时，直线与由、、成的图形恰好有2个公共点．综上所述：当或或时，直线与由、、组成的图形恰好有2个公共点．【点拨】本题考查了二次函数与轴的交点和抛物线关于某点中心对称的问题，有难度，容易漏解，要采用数形结合的思想解决此问题，在计算抛物线与抛物线的解析式时，利用顶点坐标的对称关系和开口大小来解决．16．1或3【分析】由ba=1得b=a+1，则A可表示为（a，a+1），代入直线方程组成方程组，解方程组即可求得．解：∵ba=1m∴b=a+1则点A可记为（a，a+1），将点A代入两直线方程得：化简得：①②，化简得：m22m3=0解得：m=1或m=3．故答案为1或3．【点拨】本题考查已知直线交点求函数解析式，方法类似于待定系数法求解析式，由于得到的方程组为二元二次方程组，因此要注意消元．17．【分析】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值．解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

，，点，点，点，为的角平分线，，，，点，设直线的解析式为，将点，代入上式，得：，解得：直线解析式为，设点，为的中点，点，，，当时，的最小值为，故答案为．【点拨】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键．18．；/0.5【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解；（2）根据题意可得二次函数图象与y轴交于点，从而得到抛物线的对称轴，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．解：（1），∴二次函数图象的顶点坐标为，∵二次函数（m为常数）的顶点坐标为，∴，∴k关于h的函数解析式为；（2）令，则，∴二次函数图象与y轴交于点，∵，∴二次函数图象的顶点坐标为，开口向上，∵抛物线不经过第三象限，且，∴抛物线的对称轴，当时，当时，函数值最大，最大值为，当时，函数值最小，最小值为，∵在时，二次函数最小值和最大值和为，∴，解得：，∵，∴不符合题意，舍去；当时，当时，函数值最大，最大值为，当时，函数值最小，最小值为，∵在时，二次函数最小值和最大值和为，∴，解得：（舍去），综上所述，．故答案为：；【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．19．，，图象见分析.【分析】先根据图像都经过点，把坐标代入解得的值，再代入解得的值，然后得出直线与轴的交点即可画出该直线的图像；根据解析式得出对称轴、顶点坐标、点、另外再取一个点即可画出抛物线.解：∵抛物线和直线都经过点∴解得：∴解得：∴直线的解析式为，抛物线的解析式为∴直线与轴的交点为∴抛物线的对称轴为轴，顶点坐标为当时∴抛物线的图像还经过点所以图像如下图所示：【点拨】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数的解析式．20．（1）；（2）4【分析】（1）根据抛物线解析式即可知该抛物线开口向上，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，从而得出此时y的最小值为．再根据到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即得出，即得出结果；（2）过点M作轴于点N，交直线于点D．由抛物线解析式可求出，，．从而可求出，直线的解析式为．设，则．根据，即可用含t的式子表示出，再由，即可用含t的式子表示出，最后根据二次函数的性质即可求解．解：（1）∵抛物线解析式为，∴该抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∴当时，y的最小值为．∵到对称轴的距离小于到对称轴的距离，∴，∴当时，y的取值范围是．故答案为：；（2）如图，过点M作轴于点N，交直线于点D．对于，令，则，解得：，∴，．令，则，∴．∴．设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为．设，则．∵，∴．∴．∵，∴当时，有最大值，最大值为4．【点拨】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键．21．（1），；（2）直线的解析式为：，；（3）【分析】（1）把点、代入中，解方程即可得到结论；（2）在中，当时，，得到，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，于是得到结论；（3）设，的面积为S，连接，，，根据图形的面积即可得到结论．解：（1）把点、代入中，解得∴，（2）在中令，则∴设直线的解析式为，∴∴∴直线的解析式为：∴二次函数的对称轴为∴当时，∴（3）设，的面积为S连接，，，

则又∵∴当时，此时∴【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（1），；（2）最大值是；（3）存在，【分析】（1）根据直线经过两点，得的坐标，代入，即可求解；（2）依题意，点，则，表示出，根据二次函数的性质求得最大值即可；（3）过点作于点，根据旋转的性质得出，设，得出，由点在上，代入解方程即可求解．（1）解：∵直线经过两点，∴当时，，当时，．∴直线与坐