专题16解直角三角形（全章直通中考）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.6解直角三角形（全章直通中考）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·天津·统考中考真题）的值等于（

）A．1 B． C． D．22．（2022·广西·统考中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（

）A． B． C．1 D．24．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（

）A． B． C． D．5．（2022·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（

）A．3 B． C． D．6．（2022·福建·统考模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（

）A．96 B． C．192 D．7．（2022·福建·统考模拟预测）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm8．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（

）A． B． C． D．9．（2022·广西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（

）A． B． C． D．10．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（

）

A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022·青海西宁·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=．12．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在矩形中，为上的点，，，则．13．（2022·宁夏·中考真题）如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则．

14．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则．15．（2021·海南·统考中考真题）如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是．16．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，已知的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：（填写序号）①②点E到的距离为3③④17．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是米（结果精确到0.1米，）．

18．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosAb2＝a2＋c2﹣2accosBc2＝a2＋b2﹣2abcosC现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·内蒙古·统考中考真题）计算：．20．（8分）（2023·山东日照·统考中考真题）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中．21．（10分）（2023·辽宁丹东·统考中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．22．（10分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）23．（10分）（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，当平分四边形的面积时，求的长．24．（12分）（2023·江苏镇江·统考中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）（3）在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）参考答案：1．B【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．解：，故选：B．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故选：A．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．3．C【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根据锐角三角函数可得AE=3，AB=4，即可求解．解：如图，连接BC，∵为的直径，，∴AB⊥CD，∵∠BAC=∠CDB=30°，，∴，∵为的直径，∴，∴OA=2，∴OE=AEOA=1．故选：C【点拨】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．4．A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故选A．【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．5．D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．解：连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将沿折叠得到∴与关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=EF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故选D【点拨】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．6．B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形的面积为，即可求解．解：依题意为平行四边形，∵，，AB＝8，．∴平行四边形的面积=故选B【点拨】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．7．B【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度．解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD为BC边上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．8．A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=ADBD=（mcosαmsinα）=m（cosαsinα）．故选：A．【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．9．B【分析】先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得．解：，，是绕点A逆时针旋转得到，，，在中，，，，，，，，的长=，故选：B．【点拨】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．10．D【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可.解：∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，∴，其中，解得：，，∴，故选：D.【点拨】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.11．/【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可．解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=，∴AB=，∴cosA=，故答案为：．【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．12．/解：设，在矩形中，为上的点，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．13．/0.8【分析】由垂径定理可知，然后在中根据余弦的概念计算的值即可．解：∵半径垂直弦于点，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了垂径定理和余弦的知识，熟练掌握余弦的概念是解题的关键．14．/0.8【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，由题意得，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．15．【分析】根据的坐标求得的长度,，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．解：的坐标分别是轴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．16．①④/④①【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设，则，中，，．继而求得，设，则，根据，进而求得的值，根据，，可得，即可判断④解：∵∴，故①正确；如图，过点作于，于，，平分，，是的角平分线，，，，故②不正确，.将沿折叠使点C与点E恰好重合，，设，则，中，，．，解得，故③不正确，设，则，，，，，，，解得或（舍去），，，，故④正确，故答案为：①④【点拨】本题考查了解直角三角形，三线合一，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．17．9.5【分析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可．解：根据题意得，四边形是矩形，∴在中，∴,∴故答案为：9.5【点拨】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．18．【分析】从阅读可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，将数值代入求得结果．解：由题意可得，BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，故答案为：．【点拨】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．19．【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．解：原式【点拨】本题考查实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解题关键．20．（1）；（2），【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式的性质进行化简，再将代入求解即可．（1）解：（2）解：将代入可得，原式．【点拨】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则，分式的化简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．21．轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为【分析】过点B作于点D，则，进而得出，，根据，得出，即可求解．解：过点B作于点D，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为．

【点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．22．的长约为【分析】延长交于点，过点B作，垂足为G，可得，，从而，，设，则，分别在直角和直角中求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，求出的长，再利用线段的和差关系计算即可解答．解：如图，延长交于点，过点B作，垂足为G，

由题意得：，，，，设，，则，在中，，在中，，，解得：，,，，在中，，，，，的长约为．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键．23．（1）见分析；（2）见分析；（3）