专题18直角三角形（题型分类拓展）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.8直角三角形（题型分类拓展）【题型目录】【题型1】坐标系背景下的直角三角形；【题型2】直角三角形中的折叠问题；【题型3】直角三角形中的最值问题；【题型4】直角三角形中的平移问题；【题型5】直角三角形中的旋转问题；【题型6】直角三角形中分类讨论问题；【题型7】直角三角形中作图问题；单选题【题型1】坐标系背景下的直角三角形1．（2023下·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）已知四边形的四个顶点A，B，C，D的坐标分别为，，，，若对角线互相平分，且，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022上·北京·八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若恰为等腰直角三角形，则点坐标不可能是（

）．A． B． C． D．【题型2】直角三角形中的折叠问题3．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在中，cm，cm，cm，若将沿折叠得到，点在线段上，则的面积为（）

A． B．10 C．15 D．304．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，点在上，点在上，将沿折叠，使点的对应点落在的延长线上，设交于点，下列结论：①；②；③，其中正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型3】直角三角形中的最值问题5．（2019上·河北沧州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．76．（2023下·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（

）A． B．3 C．1 D．【题型4】直角三角形中的平移问题7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道（

）A．的长 B．的长 C．的长 D．DF的长【题型5】直角三角形中的旋转问题8．（2018·江西吉安·八年级校联考期末）如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．9．（2018上·河北石家庄·八年级校联考期末）如图，线段OA＝2，OP＝1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结论：①AP的最小值是1，最大值是4；②当AP＝2时，△APO是等腰三角形；③当AP＝1时，△APO是等腰三角形；④当AP＝时，△APO是直角三角形；⑤当AP＝时，△APO是直角三角形．其中正确的是（）A．①④⑤ B．②③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤【题型6】直角三角形中分类讨论问题10．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（

）A． B． C．或 D．或11．（2019上·天津河北·八年级统考期中）如图，在中，，一条线段，P，Q两点分别在线段和的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则的值为（

）A．6cm B．12cmC．12cm或6cm D．以上答案都不对【题型7】直角三角形中作图问题12．（2020上·吉林长春·八年级统考期末）如图，是线段上的两点，．以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连结，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形13．（2023·广西玉林·统考一模）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形填空题【题型1】坐标系背景下的直角三角形14．（2020上·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标是．

15．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，，，已知点的坐标为，点的坐标为．【题型2】直角三角形中的折叠问题16．（2023上·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）如图，在中，，，，把沿着直线折叠，点恰好与点重合，点在上，点在上．则的长为．

17．（2022上·四川资阳·七年级统考期末）如图，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠压平，如图，若图中，则的度数为．【题型3】直角三角形中的最值问题18．（2022下·江苏镇江·八年级镇江市外国语学校校考期中）如图，已知在中，，，，为边上一个动点，连接，，分别交、于点、，垂足为，点为的中点，若四边形的面积为18，则的最大值为．19．（2022下·福建宁德·七年级统考期中）已知，点P为平面内一点，且BP为定长，，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当的最小值，．【题型4】直角三角形中的平移问题20．（2018·安徽宿州·八年级宿州市第十一中学校考期末）如图，把直线y＝﹣2x向上平移后，分别交y轴、x轴于A、B两点，直线AB经过点（m，n）且2m+n＝6，则点O到线段AB的距离为．【题型5】直角三角形中的旋转问题21．（2019下·河北石家庄·七年级校考期末）如图（1），在三角形中，，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角），在旋转过程中（图2），当时，旋转角为度；当所在直线垂直于时，旋转角为度．【题型6】直角三角形中分类讨论问题22．（2023上·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等．23．（2023上·河南驻马店·八年级驻马店市第二初级中学校考期中）如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，则当的长为时，是直角三角形．

【题型7】直角三角形中作图问题24．（2021上·江苏南京·八年级校联考阶段练习）如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为．25．（2023上·山西大同·八年级统考期末）在等边中，，点是上一点，过点作于点，交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接、，若，则的长为．解答题【题型1】坐标系背景下的直角三角形26．（2023上·广东惠州·八年级惠州市第八中学校考期中）如图1，，．以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值；（3）如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y轴负半轴交于点，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，请找到m和n的等量关系并说明理由．

【题型2】直角三角形中的折叠问题27．（2023上·河南新乡·八年级校考期中）如图，在中，，于点，将边沿折叠，点的对应点落在上，（1）利用尺规作出的平分线，交于点．延长到点，使，连接；（仅作角平分线保留作图痕迹，不写作法）（2）判断（1）中与的位置关系，并说明理由；（3）在（1）的条件下，若，，，，直接写出的长．【题型3】直角三角形中的最值问题28．（2023上·河南新乡·八年级校考期中）已知点在内．

（1）如图①，点关于射线、的对称点分别是、，连接、、、．①若，则是什么特殊三角形？为什么？②若，试判断与的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若，，分别是射线、上的点，于点，点、分别为、上的两个定点，且，，在上有一动点，试求的最小值．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）【题型4】直角三角形中的平移问题29．（2023上·八年级课时练习）如图1，，，点C是上一点，且，．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由．（2）如图2，若把沿直线BD向左平移，使的顶点C与点B重合，此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由．【题型5】直角三角形中的旋转问题30．（2023上·福建莆田·八年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，斜边与轴交于点．

（1）若，求证：；（2）如图2，延长交轴于点，过作，若，，求的度数；（3）如图3，平分，的平分线交的延长线于点，，当绕点旋转时（斜边与轴正半轴始终相交于点），问的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．【题型6】直角三角形中分类讨论问题31．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）如图①，将射线按逆时针方向旋转角（），得到射线，如果点P为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点P在平面内的位置，并记为．例如，图②中，如果，，那么点M在平面内的位置记为，根据图形，解答下列问题：

（1）若点N在平面内的位置记为，则______，______．（2）已知点A在平面内的位置记为，如图③．①若点B在平面内的位置记为，则A、B两点间的距离为______．②若点B在平面内的位置记为，且；利用图③画出图形，并求m的值．③若点B在平面内的位置记为，且，则的值为______．【题型7】直角三角形中作图问题32．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“角的变化与全等三角形”为主题开展数学探究活动．（1）操作判断如图1，已知．操作一：以直角顶点为圆心，适当长为半径画弧，与的两边分别交于点，．操作二：在的内部任意画射线，过点作于点，过点作于点．请用直尺和三角板按操作二将图1补充完整，并直接写出与的数量关系：________．（2）类比探究将由直角换成锐角，继续探究，过程如下：按（1）中操作一的方式操作，如图2，点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上，，分别是，的外角，且满足．请判断（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展应用最后，老师根据课堂探究的内容编制了一道数学题，请你解答．如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，若的面积为，请直接写出和面积的和．参考答案：1．D【分析】由对角线互相平分，可得的中点与的中点相同，即，求解得，则A，B，C，D的坐标分别为，，，，勾股定理得，，，则，可判断的形状，进而可求的值．解：∵对角线互相平分，∴的中点与的中点相同，∴，解得，∴A，B，C，D的坐标分别为，，，，∴，，，∵，∴是直角三角形，，故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三元一次方程组．解题的关键在于求出的值．2．A【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的定义逐一判断选项即可．解：由题意得，A、∵，，又∵，∴为等腰三角形不是等腰直角三角形，符合题意，故该选项正确；B、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；C、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；D、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误．故选A．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的定义，解决本题的关键是运用勾股定理解决问题．等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形．3．C【分析】根据勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形，由翻折性质可知：，设，在中，根据勾股定理列出方程，求出x的值，根据三角形的面积公式进行求解即可．解：∵，∴，∴是直角三角形，由翻折性质可知：，∴设，在中，，∴．解得．∴．∴．故选：C．【点拨】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，翻折的性质，以及三角形的面积公式等，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．4．C【分析】根据折叠的性质得到，从而有，即可得出，根据平行线的判定定理得出，即可判定①正确；根据直角三角形的性质得到，，又由由折叠可得，，即可得出，根据等腰三角形的判定定理得出，即可判定③正确；，无条件能证明，故不正确，右判定②错误．解：由折叠可得，点C与点关于对称，即可判定①正确；∴，∴，∵，∴，∴，故①正确；∵，∴，，由折叠可得，，∴∵，∴，∴，故③正确；∵，无条件能证明，故不正确；所以正确的有①③，共2个，故选：C．【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线与等腰三角形的判定定理是解题的关键．5．C【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，△AQP和△AQP′中，，∴△AQP≌△AQP′，∴PQ=QP′∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，∴BC=AB=6，∴PQ+BQ的最小值是6，故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．6．A【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图：由作图可知：是等腰直角三角形，∴，∴，∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，∵，，∴，∴，∴，，∴的最小值是．故选：A．【点拨】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．7．A【分析】过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明），），接着利用全等三角形的性质即可解决问题．解：过作于，连接，，直线向上平移线段的长得到直线，，而，，），，同理），，的周长为：．求的周长，则只需知道的长．故选：A．【点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．8．D【分析】设相交于点，连接，根据即可证明，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，最后利用正方形的面积减去和的面积进行计算即可．解：设相交于点，连接，由已知得：由旋转的性质可知：，∴在和中，，，，，，又，，，又，，故选D．【点拨】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关性质与定理、证得是解本题的关键．9．C【分析】①根据题意求出AP的最小值和最大值是，判断即可；②根据等腰三角形的定义得到△APO是等腰三角形；③根据三角形的三边关系得到△APO不存在；④根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形；⑤根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形．解：①当点P在线段OA上时，AP最小，最小值为21=1，当点P在线段AO的延长线上时，AP最大，最大值为2+1=3，①错误；②当AP=2时，AP=AO，则△APO是等腰三角形，②正确；③当AP=1时，AP+OP=OA，△AOP不存在，△APO是等腰三角形错误，③错误；④当AP=时，AP2+OP2=3+1=4，OA2=4，∴AP2+OP2=OA2，∴△APO是直角三角形，④正确；⑤当AP=时，AP2=5，OP2+OA2=1+4=5，∴AO2+OP2=PA2，∴△APO是直角三角形，⑤正确，故选C．【点拨】本题考查的是等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．10．C【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．11．C【分析】分两种情况：①当时，，②当P运动到与C点重合时，，，分别求解即可．解：①当时，，在与中，，∴，即；②当P运动到与C点重合时，，，在与中，，∴，即．综上所述，或12cm．故选：C【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等，分类讨论思想方法是关键．12．B【分析】先根据题意确定AC、BC、AB的长，然后运用勾股定理逆定理判定即可．解：由题意得：AC=AN=2AM=8,BC=MB=MN+NB=4+2=6,AB=AM+MN+NB=10∴AC2=64,BC2=36,AB2=100,∴AC2+BC2=AB2∴一定是直角三角形．故选：B．【点拨】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC、BC、AB的长是解答本题的关键．13．A【分析】由题意得：，，，因此，，故AC，由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形．解：如图，，，，，，由题意得：，，，，，一定是直角三角形．故选：A．【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．14．【分析】利用证明，得到，则．解：∵，，，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明是解题的关键．15．【分析】根据题意，先作辅助线过点作轴，过点作，然后根据证明，从而可以得到和，和的关系，再根据点的坐标，即可得到和的值，从而可以得到点的坐标．解：如图：过点作轴，过点作，，，，，，在和中，，，，，，，，，，的横坐标为，纵坐标为，的坐标为，故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形、坐标与图形的性质，明确题意，正确作出辅助线是解答本题的关键．16．【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质等知识，首先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，再根据折叠的性质可得，设，则，在中利用勾股定理列式求解即可．解：∵，，，∴，∴为直角三角形，，根据题意，把沿着直线折叠，点恰好与点重合，∴，设，则，在中，可有，即，解得，∴的长为．故答案为：．17．【分析】求的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出大小即可．解：折叠后的图形如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴故答案为：．【点拨】本题综合考查了两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．18．【分析】先求出=36，再根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积公式即可求得AP最短时的长，然后即可求出AN最长时的长．解：∵四边形的面积为18，，∴，即=36，在中，，，，∴∠BAC=90°，∵点为的中点，∴AN=DE，∴DE最大时，AN最大，∵，∴AP最小时，DE最大，即AP⊥BC时，AP最小，∵AP=，∴DE=，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了勾股定理逆定理的应用，直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短的知识点，解题的关键是理解AP最短时DE最大，即AN最大．19．50°或10°【分析】分点P在的内部和外部两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．解：①当点P在的内部，如图1，∵BP为定长，∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，∴∠PQB=90°，∵∠ABC=60°，∠ABP=20°，∴∠PBQ=40°，∴∠BPQ=90°40°=50°，②当点P在的外部，如图2，同理可得，∠PBQ=80°，∴∠BPQ=90°80°=10°，故答案为：50°或10°．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．20．【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可求得直线AB的解析式，结合勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得h的值．解：如图，设点O到线段AB的距离为h，原直线y＝﹣2x中的k＝﹣2，向上平移后得到了新直线，那么新直线的k＝﹣2．∵直线AB经过点（m，n），且2m+n＝6．∴直线AB经过点（m，6﹣2m）．可设新直线的解析式为y＝﹣2x+b1，把点（m，6﹣2m）代到y＝﹣2x+b1中，可得b1＝6，∴直线AB的解析式是y＝﹣2x+6．∴A（0，6），B（3，0）．∴OA＝6，OB＝3．∴AB＝＝3．∴×3h＝×6×3，∴h＝．故答案是：．【点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，勾股定理及面积法求线段的长，注意在求直线平移后的解析式时要注意平移k值不变．21．70或250160或340【分析】在△ABC中，根据三角形的内角和得到∠B的度数，如图1，当CB'∥AB时，根据平行线的性质即可得到结论；如图2，当CB'⊥AB时根据垂直的定义和周角的定义即可得到结论．解：∵在△ABC中，∠A=38°，∠C=72°，∴∠B=180°﹣38°﹣72°=70°，如图1，当CB'∥AB时，旋转角=∠B=70°，当CB″∥AB时，∠B″CA=∠A=38°，∴旋转角=360°﹣38°﹣72°=250°．综上所述：当CB'∥AB时，旋转角为70°或250°；如图2，当CB'⊥AB时，∠BCB″=90°﹣70°=20°，∴旋转角=180°﹣20°=160°，当CB″⊥AB时，旋转角=180°+160°=340°．综上所述：当CB'⊥AB时，旋转角为160°或340°．故答案为70或250；160或340．

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，正确的画出图形是解题的关键．22．0，4，8，12．【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出与全等，然后分别计算的长度即可．解：①当E在线段上，时，，，，，，∴点E的运动时间为（秒）；②当E在上，时，，，，，∴点E的运动时间为（秒）；③当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在上，时，，，点E的运动时间为（秒），故答案为：0，4，8，12．23．或【分析】本题考查了勾股定理，翻折变换，全等三角形的判定和性质；分两种情况讨论，利用直角三角形全等的判定和性质以及勾股定理求解即可．解：①当点在直线下方，且时，如图．

又，点，，三点共线在和中，，，，设，则，，在中，由勾股定理，得，即，解得，故②当点在直线上方，且时，点与点重合，此时点与点重合，故．故答案为：或．24．2【分析】先判断为直角三角形，再证明,由全等性质求得BF=8，再相减可得解：，，为直角三角形，，∵CF⊥BE，，又，，是以B为圆心，BC长为半径的圆弧的半径，，在和中，，（AAS），，，故答案为：2．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性质，找对应边和找对应角是解题关键．25．6【分析】先证为等边三角形，再根据为等边三角形，，证，在中，，根据的角对的直角边是斜边的一半，即可得答案．解：由题意可知：，为等边三角形，，为等边三角形，，，，，，，在中，，，解得：，，故答案为：6．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是证明．26．（1）；（2）2；（3），理由见分析【分析】（1）过作轴于点，由“”证明，可得出，，即可求点坐标；（2）如图2，过作于点，根据坐标可得，，即，由“”可明，可得，即可得结论；（3）如图3，过点分别作轴于点，轴于点，可知，，由点坐标可得，利用平行线和角的互余关系可得，由“”证明，可得，再根据，表示出，，即可求得的值．（1）解：过作轴于点，如图1，

∵为等腰三角形。∴，，∵，，则，∴，，则，在和中，，∴∴，，则，∴点的坐标为；（2）如图2，过作于点，

∵，，∴，，则，，∴，∵为等腰三角形。∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3），理由如下：如图3，过点分别作轴于点，轴于点，则，，

∵点坐标为，∴，∵，∴，∵，轴，∴，∴，则，在和中，，∴∴，又∵，，点坐标为，∴，，，∴，，∴，∴．【点拨】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线利用角的互余关系构造全等三角形是本题的关键．27．（1）作图见分析；（2），理由见分析；（3）【分析】（1）根据要求作图即可；（2）证明，得，由，可得，即得，根据将边沿折叠，点的对应点落在上，有，故，可得结论；（3）由平分，将边沿折叠，点的对应点落在上，可得，，，得是等腰直角三角形，即得，，然后在中利用勾股定理即可求解．（1）解：作图如下：（2）．理由如下：∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵将边沿折叠，点的对应点落在上，∴，∴，∴，∴；（3）∵平分，∴，∵将边沿折叠，点的对应点落在上，，，，，∴，，，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．∴的长．【点拨】本题是直角三角形中的翻折变换，考查了尺规作图—作一个角的角平分线、作一线段等于已知线段，角平分线的定义，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握尺规作图、翻折的性质和勾股定理．28．（1）①是等边三角形，理由见分析；②，理由见分析；；（2）【分析】（1）①根据轴对称的性质可得，，，，从而得到，，即可作出判断；②当时，根据①的结论可得，继而得出G、、在同一直线上，，即可得出结论；（2）过作的对称点，连接，交于点，连接，可确定的最小值为的长，根据直角三角形的两锐角互余可得，由角的直角三角形可得，从而有，根据轴对称的性质可推出，证明是等边三角形，即可得出答案．（1）解：①是等边三角形．理由如下：∵点关于射线、的对称点分别是、，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，②．理由如下：当时，，∴G、、在同一直线上，，∴；（2）过作的对称点，连接，交于点，连接，∴，此时的值最小，最小值为的长，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵点与关于对称，∴，∴，∴是等边三角形，∴，即的最小值为．

【点拨】本题是轴对称—最短路线问题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，两点之间线段最短等知识点．理解轴对称的性质及作出点关于某