专题135三角形中的八大经典模型（举一反三）（沪科版）

专题13.5三角形中的八大经典模型【八大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1A字模型】 1【题型28字模型】 4【题型3双垂直模型】 8【题型4飞镖模型】 16【题型5风筝模型】 21【题型6两内角角平分线模型】 24【题型7两外角角平分线模型】 30【题型8内外角角平分线模型】 38【知识点1A字模型】【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°∠A，∠B+C=180°∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【题型1A字模型】【例1】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（

）A．360º B．250º C．180º D．140º【答案】B【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°∠C，∴∠1+∠2=360°110°=250°，故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键．【变式11】（2023春·八年级单元测试）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【详解】解：∵∠DBC和∠ECB是∴∠DBC又∵∠A∴∠DBC【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【变式12】（2023春•常州期中）如图，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度数；（2）判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由．【分析】（1）设∠C的度数为x，根据三角形的内角和列出方程解答即可；（2）根据平行线的判定解答即可．【详解】解：（1）设∠C的度数为x°，则∠A的度数为（x+28）°，△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝68°，可得：x+x+28+68＝180，解得：x＝42，所以∠C＝42°，∠A＝70°，（2）∵∠DEB＝42°，∠C＝42°，∴∠DEB＝∠C，∴DE∥AC．【变式13】（2023春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，已知∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为【答案】280°【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．【详解】∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°∠A=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案为280°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形内角和为180度是解题的关键．【知识点28字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【题型28字模型】【例2】（20152016学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷（带解析））如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28∘，则∠A．62∘ B．152∘ C．208∘【答案】C【详解】∵如图可知∠BED=∠F又∵∠BED∴∠F又∵∠CGE∴∠C又∵∠D∴∠A故选C．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．【变式21】（20132014学年初中数学苏教版八年级上册第一章练习卷（带解析））如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【答案】90°；65°【分析】由ΔABC≅ΔADE，可得∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠【详解】解：∵ΔABC∴∠DAE∴∠∠DGB综上所述：∠DFB=90°，【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，解题的关键是找到相应等量关系的角，做题时要结合图形进行思考．【变式22】（2023·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应（填“增加”【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．【变式23】（2023春·八年级期末）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【详解】解：（1）如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如图②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．【知识点3双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型3双垂直模型】【例3】（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB=∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．①求证EG⊥AF；②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②45°．【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；（2）①想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题；②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（【详解】（1）∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB=90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠CED．（2）①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB∵EH平分∠DEC，∴∠HED=12∠CED∵∠EAB=∠CED，∴∠HED=∠EAG，∴∠HED+∠AEG=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∴∠EGA=90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM=∠CDF=12∠CDE，∠AFM=∠FAB=12∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．【变式31】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：证明：∵AE平分∠CAB∴∠CAE=∠FAB∵∠ACE∴∠CAE+∠CEF∵CD是△ABC∴∠FDA∴∠FAB∴∠CEF=∠AFD（∵∠CFE=∠AFD∴∠CFE=∠CEF【答案】角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【分析】根据角平分线的定义得到∠CAE=∠FAB，根据直角三角形两锐角互余得到∠CAE+∠【详解】解：证明：∵AE平分∠CAB∴∠CAE∵∠ACE∴∠CAE∵CD是△ABC∴∠FDA∴∠FAB∴∠CEF∵∠CFE=∠∴∠CFE故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键，此题难度不大．【变式32】（2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点(1)判断△DBF(2)求证：AD⊥【答案】(1)△DBF(2)证明见解析．【分析】（1）利用等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，证明∠CBA=∠CAB=45°，再利用BF∥AC得到（2）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG＝90°，需证明∠CAG＝∠BCF，只要证明三角形全等，即可．【详解】（1）解：△DBF∵等腰Rt△ABC中，∴∠CBA∵BF∥∴∠ABF∴∠CBA+∠ABF∵DE⊥AB，∴∠BDF∴∠BFD∴△DBF（2）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∴∠BDE＝45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF＝90°．∴∠BFD＝45°＝∠BDE．∴BF＝DB．又∵D为BC的中点，∴CD＝DB．∴BF＝CD．在△CBF和△ACD中，BF∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF＝∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA＝90°，∴∠CAD+∠GCA＝90°．∴∠AGC=90°，即AD⊥CF．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、垂直的定义、等腰三角形的性质以及判定是解题的关键．【变式33】（2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD（1）如图1，若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC（2）如图2，当点D在线段BC上时，①判断∠EDC与∠②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，【答案】（1）30°；（2）①∠EDC=∠BAD，理由见解析；②∠G的度数不变，理由见解析；（3）不变，45°.【分析】（1）先求出∠ACB=30°，再利用角平分线得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出结论；（2）①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论；②先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF=90°，进而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论；（3）利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=30°∴∠ADC=120°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=∠ADC∠ADE=30°；（2）①相等，在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，∵∠ADE=90°，∴∠EDC+∠ADB=90°，∴∠EDC=∠BAD；②∠G的度数不变，理由：∵EF⊥BC，∴∠EDF+∠DEF=90°，∵∠ADB+∠EDF=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵∠BAD+∠ADB=90°，∴∠BAD+∠DEF=90°，∵∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，∴∠DAG=12∠BAD，∠DEG=12∠∴∠DAG+∠DEG=12（∠BAD+∠DEF）=45°∵∠DAE+∠DEA=90°，∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，∴∠G=45°；（3）∠G的度数不变化，理由：如图3，∵AD⊥DE，∴∠ADB+∠BDE=90°，∵EF⊥BD，∴∠DEF+∠BDE=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵EM是∠DEF的角平分线，∴∠DEM=12∠DEF=12∠∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=12∠BAD，延长DE交AG于N∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，∴∠ENG=∠AEN+∠EAG=90°+∠DAE+∠EAG=90°+∠DAG=90°+12∠BAD∴∠G=180°（∠ENG+∠GEN）=180°（∠ENG+∠DEM），=180°（90°+12∠BAD+12∠=90°12（∠BAD+∠ADB）=45°【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和和外角的性质，解（1）的关键是求出∠ADC=120°，解（2）的关键是求出∠DAG+∠DEG=45°，解（3）的关键是利用三角形的外角的性质．【知识点4飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【题型4飞镖模型】【例4】（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠A．72° B．70° C．65° D．60°【答案】B【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∠OAB∴∠AOB同理得∠∵∠AOB∴∠BOC=360°-(180°-∠=∠B∵∠BED∴∠DEO∴∠DFO=360°-35°-108°-107°=∴∠DFC故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补．【变式41】（2023春·八年级期末）如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在A．90° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°90°=90°∴∠ABD+∠故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．【变式42】（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3=∠B+∠1，方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】方法1如图所示，连接BC.在△ABC中，∠A+∠在△BCD中，∵∠∴∠BDC方法2如图所示，连接AD并延长.∵∠3是△ABD∴∠3=∠1+同理，∠4=∠2+∠ACD∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD即∠BDC方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.∵∠DEC是△∴∠DEC∵∠BDC是△∴∠BDC∴∠BDC【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．【变式43】（2023春·福建南平·八年级统考期中）如图，若∠EOC=115°，则∠【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【知识点5风筝模型】【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【题型5风筝模型】【例5】（2023春·重庆渝北·八年级校考期中）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE【详解】由折叠的性质可知∠∵∠1+∠∴∠∴∠故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.【变式51】（2023春·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（

）．A．14° B．15° C．28° D．30°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【详解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故选：B．【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．【变式52】（2023春·八年级期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，将∠C沿DE翻折，使点C落在△ABC外的点C'【答案】100°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠【详解】解：∵∠A=65°，∴∠C由折叠的性质可知，∠C∴∠3=∠1+∠C∴∠2=∠C故答案是：100°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．【变式53】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°120°=60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．【知识点6两内角角平分线模型】【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.【结论】【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【题型6两内角角平分线模型】【例6】（2023春·江苏苏州·八年级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及反向延长线相交于E、F，在△AEF【答案】（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=