什么是数学建模

PAGEPAGE2数学模型与数学建模1、数学模型的概念数学模型其实是每个人都十分熟悉的．早在学习初等代数的时候我们就已经用建立数学模型的方法来解决实际问题了．当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的．例如所谓“航行问题”：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各若干?用x、y分别代表船速和水速，可以列出方程(x+y)*30=750，(x-y)*50=750实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型．列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题．方程的解x=20(公里／小时)，v=5(公里／小时)，最终给出了航行问题的答案．当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了，那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设(航行中设船速和水速为常数)；用字母表示待求的未知量(x、y代表船速和水速)；利用相应的物理或其它规律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)，列出数学式子(二元一次方程)；求出数学上的解答(x=20，y=5)；用这个答案解释原问题(船速和水速分别为20公里／小时和5公里／小时；最后还要用实际现象来验证上述结果．一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构．2、数学建模的概念需要指出，问题的重点往往不在于一个数学模型(MathematicalModel)是什么样子，而在于建立这个数学模型(MathematicalModelling)的全过程．数学模型和建立数学模型常简称为模型和建模．建立数学模型的全过程前面的航行问题大致描述了用建模方法解决实际问题的途径．一般说来这一过程可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如图1—1所示．图1—1表述(Fomulation)是指根据建模的目的和掌握的信息(如数据、现象)，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来。求解(Solution)即选择适当的数学方法求得数学模型的解答．解释(Interpretation)是指把数学语言表述的解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答．验证(Verification)是指用现实对象的信息检验得到的解答，以确认结果的正确性．图1—1揭示了现实对象和数学模型的关系．数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于现实，因为它用精确的语言表述了对象的内在特性．数学模型经过求解、演绎，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、预报、决策、控制的结果．最后，这些结果必须经受实际的检验，完成实践一理论一实践这一循环．如果检验结果正确或基本正确，就可以用来指导实际，否则应重复上述过程．3、学习数学建模的重要意义数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学，它的产生和许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其它相应学科的需要密切相关的．同时，数学作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展．17世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发明了近代数学最重要的成果之一——微积分，并以微积分为工具推导了著名的力学定律——万有引力定律．这一成就是科学发展史上成功地建立数学模型的范例．数学的特点不仅在于它的概念的抽象性、逻辑的严密性和结论的确定性，而且在于它的应用的广泛性．进入20世纪以来，数学的应用不仅在它的传统领域——所谓物理领域(诸如力学、电学等学科及机电、土木、冶金等工程技术)继续取得许多重要进展，而且迅速进入了一些新领域——所谓非物理领域(诸如经济、交通、人口、生态、医学、社会等领域)，产生了如数量经济学、数学生态学等边缘学科．随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中：●电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模型对控制装置作出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制．●气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型．●生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药．●城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学根据．●厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，可以获得更大的经济效益．…………就是在日常活动如访友、采购当中，人们也会谈论找一个数学模型，优化一下出行的路线．对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。可以认为数学在各门科学中被应用的水平，标志着这门科学发展的水平．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．数学模型、数学方法、数值方法和电子计算机相结合常常在许多高新技术中发挥核心的作用，这是高新技术的新的特征之一，这也将数学在现实世界的应用推向一个新的阶段．国际上已形成了“数学是一种关键性的，普遍的、能够实行的技术”的共识，还提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点．数学模型在使数学成为重要技术的过程中起着关键作用．●数学引起了产品设计的革命性变化．通过建立合适的数学模型，进行数学的分析和数值模拟，在新产品的设计阶段无需经过大量昂贵的试验就可准确地预知产品的性能．波音767飞机成功的设计就是一个绝好的例子．应用数学家成功地建立了跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计出防激波的飞机翼型；飞机的强度也是在建立了数学模型之后用有限元法计算的；先进的飞机自动导航和自动降落系统完全是基于新的数学模型设计成功的．在涡轮机、压气机、内燃机，发电机、数据存储磁盘或光盘、大规模集成电路、汽车车身、船体等的设计中都用到了类似的方法．●数学模型和最优控制软件是生产过程最优控制系统的核心．工商经营管理主要应用运筹学模型。运筹学模型在选择合理的运输路线、生产设备和人力资源的最佳使用、判定合理的生产计划等方面发挥了重要的作用，大大地提高了管理水平并促成了管理科学的诞生．●人们建立了分子结构的数学模型，在人工合成一种有机化合物之前就可以预先给出其结构并预测它的化学性质；许多复杂的化学反应过程已经建立了数学模型，可以用电子计算机模拟反应的全过程．●在和国民经济有密切关系的气象预报方面，建立数学模型之后，利用大型电子计算机进行数值模拟已成为中长期天气预报、台风预报的主要手段．在高速电子通讯中，在信息的传输、压缩、安全保密等方面，数学模型和方法也起着关键的作用．●由于统计模型的应用和遗传数学模型及肌肉、神经、血管和多种人体器官数学模型的建立和完善，以前几乎不用高等数学的生物医学，已经有了很大的改观．X射线断层扫描仪(CT)和核磁共振(NMR)等以数学模型和数学方法为基础的先进仪器的采用就是一个明显的例子．