专题21等式性质与不等式性质-

专题2.1等式性质与不等式性质【基本知识梳理】知识点1：常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤注意点：(1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致．(2)用适当的不等号连接．(3)多个不等关系用不等式组表示．知识点2：比较大小的基本方法关系方法作差法与0比较作商法与1比较或或知识点3：等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点4：不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【题型1用不等式表示不等关系】【例1】（20232024∙四川眉山∙高一上∙月考）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（）A. B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案.【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为.因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D【变式11】（20232024∙贵州遵义∙高一上∙月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（）．A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．【变式12】（20232024∙四川广元∙高一上∙月考）（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、矩形菱形圆总数A531055B12613125该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意直接列不等式即可求解.【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以.故选：BC.【变式13】（20232024∙四川南充∙高一上∙月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，A.A货箱28节，B货箱22节 B.A货箱29节，B货箱21节C.A货箱31节，B货箱19节 D.A货箱30节，B货箱20节【答案】C【解析】【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可．【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则，A：共50节且，，满足；B：共50节且，，满足；C：共50节且，，不满足；D：共50节且，，满足；故选：C.【题型2由不等式的性质比较数（式）大小】【例2】（20232024∙∙高一上∙福建三明∙月考）若，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A，其余选项可用特殊值验证.【详解】因为，，由不等式的可加性可得，故A正确；当，，，时，，，，故B错误；当，，，时，，，，故C错误；当，，，时，，，，故D错误.故选：A【变式21】（20232024∙贵州遵义∙高一上∙月考）对于任意实数A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,不能得到，比如，故错误，对于B，若，不能得到，比如，故错误，对于C，若，不能得到，比如，故错误，对于D，因为，所以，故正确，故选：D【变式22】（20232024∙内蒙古∙高一上∙期中A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B.【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误；对于B：因为，所以，即，所以，故B正确；对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误；对于D：当时，，故D错误.故选：B【变式23】（20242025∙湖南长沙∙高三上∙联考）（多选）设，则下列不等式中正确是（A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解ABD，利用作差法即可求解C.【详解】由于，故对于A,,故A正确，对于B，由于故，B错误，对于C，故，C正确，对于D，若时，，故D错误，故选;BC【题型3利用作差法比较大小】【例3】（20222023∙内蒙古阿拉善盟∙高一上∙期中）已知,，则,的大小关系是_____．【答案】【解析】【分析】利用作差法直接比较大小.【详解】解：因为,所以所以.故答案为：.【变式31】（20242025∙黑龙江∙高三上∙开学考A.B.C.D.【答案】D.又.【变式32】（20232024∙浙江湖州∙高一上∙期末）（多选）若，，，则下列命题正确的是（A.若且，则 B.若且，则C.若，则 D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值判断A，利用作差法判断B、C、D.【详解】对于A：当，时，满足且，但，故A错误；对于B：因为且，所以，故，故B正确；对于C：因为，所以，即，故C错误；对于D：因为，所以，故D正确．故选：BD．【变式33】（20232024∙浙江杭州∙高二上∙期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买A.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D.丙次购买葡萄的平均价格无法比较【答案】A【解析】【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.【详解】设两次葡萄单价分别为元/千克和元/千克，且，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元．因为，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选：A.【题型4利用作商法比较大小】【例4】（20232024·高一上·北京·阶段练习）设a=7，b=3−3，则a【解答过程】由a、b均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.【解答过程】∵ab=7又∵b>0，∴a>b.故答案为：>.【变式41】（20232024∙湖南长沙∙高三上∙月考）（多选）对于实数，，A.若，则 B.若，则C.若，则， D.若，，则【答案】ABD【解析】对选项A，因为，所以，，所以，故A正确；对选项B，，，所以，因为，所以，即，故B正确；对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误；对选项D，因为，，所以，故D正确.故选：ABD.【变式42】（20222023·安徽六安·高一上·月考）设a>b>0，比较a2−b【答案】a【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【详解】∵a>b>0⇒a+b>0,a−b>0，∴a∴a∴a【变式43】（20232024∙贵州六盘水∙高一上①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【答案】①；②；③；【解析】【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系；②用作差法比较即可；③用作差法或作商法比较即可.【详解】解：①，因为，所以，即；.②，.③方法一（作差法），因为，所以，所以，所以...方法二（作商法）因，所以，所以，所以..【题型5利用不等式的性质求值或取值范围】【例5】（20232024∙山东泰安∙高一上∙期中）已知，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】确定，，得到范围.【详解】，则，，故.【变式51】（20232024∙吉林四平∙高一上∙期中）已知，，则的取值范围是（A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出m，n，再利用不等式的性质求的取值范围.【详解】设，则，所以，解得，于是又，，所以，即.故．故选：D．【变式52】（20232024∙浙江嘉兴∙高一上∙期中）（多选）已知实数x，y满足，，则（A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】实数x，y满足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC选项正确；由，得，B选项错误；由，得，D选项正确.故选：ACD【变式53】（20232024∙四