2024高考数学二轮专题复习备考训练12概率与统计-大题备考含解析

PAGE备考训练12概率与统计——大题备考1．某市司法局与公安局两个单位联合实行法律学问竞赛，每个单位各选三名成员，分别组成红队与蓝队，竞赛中每人随机在题库中抽取一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知两队队员训练状况如表所示．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示红队的总得分．红队队员1号2号3号练习题目个数200200200正确个数160120100蓝队队员1号2号3号练习题目个数200200200正确个数120120120(1)不妨以频率作为概率，求E(X)；(2)在第(1)问的基础上，若红队与蓝队得分之和不低于5分，则两队就能够获得“团队合作奖”，估计他们获得该奖的概率．2．[2024·山东省试验中学、淄博试验中学、烟台一中、莱芜一中联考]随着科技的发展，网购已渐渐融入了人们的生活．网购是特别便利的购物方式，为了了解网购在某市的普及状况，某调查机构进行了有关网购的调查，并从参加调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，得到如下所示的统计表．常常网购间或网购或不网购合计男性50100女性70100合计(1)完成上表，并依据以上数据推断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购状况与性别有关．(2)①现从所抽取的100位女性市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送实惠券，求选取的3人中至少有2人常常网购的概率；②将频率视为概率，从该市全部参加调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中常常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8283．[2024·山东德州质量检测]某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响．对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α、β、λ、t均为常数，e为自然对数的底数．并得到一些统计量的值．令ui＝xeq\o\al(2,i)，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(v,\s\up6(－))20667724604.20eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))312502153.0814(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？(2)①依据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回来方程；②若下一年销售额y需达到90亿元，预料下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；②参考数据：308＝4×77，eq\r(90)≈9.4868，e4.4998≈90.4．[2024·山东枣庄质量检测]2024年11月河南省三门峡市胜利入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商主动打算投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司打算在2024年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演化的实物见证．现打算投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2024年底每个天坑院盈利的概率为p(0<p<1)，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2024年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种状况发生的概率分别为p和1－p.(1)若投资项目一，记X1为盈利的天坑院的个数，求E(X1)(用p表示)；(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求E(X2)(用p表示)；(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．5．[2024·山东淄博模拟]近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决实行中心扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推动定点扶贫各项工作，取得了主动成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的运用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地运用面积x(单位：亩)12345管理时间y(单位：月)810132524并调查了某村300名村民参加管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：情愿参加管理不情愿参加管理男性村民15050女性村民50(1)求出相关系数r的大小，并推断管理时间y与土地运用面积x是否线性相关？(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参加管理的意愿具有相关性？(3)若以该村的村民的性别与参加管理意愿的状况估计贫困县的状况，则从该贫困县中任取3人，记取到不情愿参加管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，k2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参考数据：eq\r(635)≈25.26．[2024·山东临沂模拟]在某大型公司的赞助下，某高校就业部从该高校2025届已就业的A，B两个专业的高校本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪状况的问卷调查，经统计发觉，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，详细统计数据如下表：月薪/百元[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)人数203644504010将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，月薪低于7000元的毕业生视为“非高薪收入群体”，并将频率视为概率，已知该校2025届高校本科毕业生李阳参加了本次调查问卷，其月薪为3500元．(1)请依据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算推断，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关．非高薪收入群体高薪收入群体合计A专业B专业20110合计(2)经统计发觉，该高校2025届的高校本科毕业生月薪X(单位：百元)近似地听从正态分布N(μ，190)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))(每组数据取区间的中点值作代表)．若X落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)外的左侧，则可认为该本科毕业生属于“就业不志向”的学生，学校将联系本人，询问月薪过低的缘由，为以后的毕业生就业供应更好的指导．①试推断李阳是否属于“就业不志向”的学生；②该大型公司为这次参加调查的高校本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费；月薪不低于μ的获赠一次随机话费．每次赠送的话费Z及对应的概率如下：赠送话费Z/元60120180概率eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)求李阳获得的话费总金额的数学期望．附：P(K2≥k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，eq\r(190)≈14.备考训练12概率与统计——大题备考1．解析：(1)由题中表格可得红队三名队员答对题的概率分别为eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，X的全部可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,25)，P(X＝1)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(13,50)；P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(23,50)；P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(6,25).∴X的分布列为X0123Peq\f(1,25)eq\f(13,50)eq\f(23,50)eq\f(6,25)则E(X)＝0×eq\f(1,25)＋1×eq\f(13,50)＋2×eq\f(23,50)＋3×eq\f(6,25)＝eq\f(19,10).(2)易知蓝队三名队员答对题的概率都为eq\f(3,5)，两队要想获得该奖，则得分之和为5分或6分，得分为6分的概率为eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(162,3125)，得分为5分的概率为eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\f(2,5)＝eq\f(1269,6250)，∴获得该奖的概率P＝eq\f(162,3125)＋eq\f(1269,6250)＝eq\f(1593,6250).故两队能获得“团队合作奖”的概率为eq\f(1593,6250).2．解析：(1)完成列联表如下所示．常常网购间或网购或不网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得K2＝eq\f(200×50×30－50×702,120×80×100×100)＝eq\f(25,3)≈8.333>6.635，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购状况与性别有关．(2)①由题意知所抽取的10位女性市民中，常常网购的有10×eq\f(70,100)＝7(人)，间或网购或不网购的有10×eq\f(30,100)＝3(人)，∴选取的3人中至少有2人常常网购的概率P＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,3)＋C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).②由2×2列联表可知，抽到常常网购的市民的频率为eq\f(120,200)＝0.6，将频率视为概率∴从该市全部参加调查的市民中随意抽取一人，抽到常常网购的市民的概率为0.6，∴由题意知X～B(10,0.6)∴随机变量X的数学期望E(X)＝10×0.6＝6，方差D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.3．解析：(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，由题意，r1＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up12(－))yi－\o(y,\s\up12(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up12(－))2\i\su(i＝1,12,)yi－\o(y,\s\up12(－))2))＝eq\f(215,\r(31250×2))＝eq\f(43,50)＝0.86，r2＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))vi－\o(v,\s\up12(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))2\i\su(i＝1,12,)vi－\o(v,\s\up12(－))2))＝eq\f(14,\r(77×3.08))＝eq\f(10,11)≈0.91，则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好；(2)①先建立v关于x的线性回来方程，由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，即v＝t＋λx；由于λ＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))vi－\o(v,\s\up12(－)),\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))2)＝eq\f(2,11)≈0.182，t＝eq\o(v,\s\up12(－))－λeq\o(x,\s\up12(－))＝4.20－eq\f(2,11)×20≈0.56，所以v关于x的线性回来方程为eq\o(v,\s\up12(^))＝0.18x＋0.56，所以lneq\o(y,\s\up12(^))＝0.18x＋0.56，则eq\o(y,\s\up12(^))＝e0.18x＋0.56；②下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，代入eq\o(y,\s\up12(^))＝e0.18x＋0.56，得90＝e0.18x＋0.56，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.18x＋0.56，所以x≈eq\f(4.4998－0.56,0.18)≈21.89，所以预料下一年的研发资金投入量约是21.89亿元．4．解析：(1)由题意X1～B(20，p)则盈利的天坑院数的均值E(X1)＝20p.(2)若投资项目二，则X2的分布列为X22－1.2Pp1－p盈利的均值E(X2)＝2p－1.2(1－p)＝3.2p－1.2.(3)若盈利，则每个天坑院盈利0.2×40%＝0.08(百万元)，所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为E(0.08X1)＝0.08E(X1)＝0.08×20p＝1.6p(百万元)．D(0.08X1)＝0.082D(X1)＝0.082×20p(1－p)＝0.128p(1－p)D(X2)＝(2－3.2p＋1.2)2p＋(－1.2－3.2p＋1.2)2(1－p)＝10.24p(1－p)①当E(0.08X1)＝E(X2)时，1.6p＝3.2p－1.2，解得p＝eq\f(3,4).D(0.08X1)<D(X2)．故选择项目一．②当E(0.08X1)>E(X2)时，1.6p>3.2p－1.2，解得0<p<eq\f(3,4).此时选择项目一．③当E(0.08X1)<E(X2)时，1.6p<3.2p－1.2，解得p>eq\f(3,4).此时选择项目二．5．解析：(1)依题意：eq\o(x,\s\up12(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\o(y,\s\up12(－))＝eq\f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16故eq\i\su(i＝1,5,)(x－eq\o(x,\s\up12(－)))(y－eq\o(y,\s\up12(－)))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47eq\i\su(i＝1,5,)(x－eq\o(x,\s\up12(－)))2＝4＋1＋1＋4＝10，eq\i\su(i＝1,5,)(y－eq\o(y,\s\up12(－)))2＝64＋36＋9＋81＋64＝254.则r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up12(－))yi－\o(y,\s\up12(－)),\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up12(－))2)\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up12(－))2))＝eq\f(47,\r(10)×\r(254))＝eq\f(47,2\r(635))≈0.933，故管理时间y与土地运用面积x线性相关．(2)依题意，完善表格如下：情愿参加管理不情愿参加管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得k2的观测值为k2＝eq\f(300×150×50－50×502,200×100×200×100)＝eq\f(300×5000×5000,200×100×200×100)＝18.75>10.828故有99.9%的把握认为村民的性别与参加管理的意愿具有相关性．(3)依题意，x的可能取值为0,1,2,3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不情愿参加管理的男性村民的概率为eq\f(1,6)，故P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3＝eq\f(125,216)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(25,72)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2＝eq\f(5,72)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3＝eq\f(1,216)故x的分布列为X0123Peq\f(125,216)eq\f(25,72)eq\f(5,72)eq\f(1,216)则数学期望为E(X)＝0×eq\f(125,216)＋1×eq\f(25,72)＋2×eq\f(5,72)＋3×eq\f(1,216)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或由X～B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,6)))，得EX＝3×\f(1,6)＝\f(1,2))).6．解析：(1)2×2列联表如下：非高薪收入群体高薪收入群体合计A专业603090B专业9020110合计