数学教材梳理三角函数的图象和性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱丁巧解牛知识·巧学1.三角函数的周期性（1)周期函数定义对于函数f(x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有f（x+T）=f(x),那么函数f(x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由诱导公式可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数,每一个非零常数2kπ（k∈Z，k≠0)都是它们的周期.深化升化周期函数x∈定义域M，则必有x+T∈M,且若T＞0则定义域无上界；T＜0则定义域无下界，且如果一个函数是周期函数,它的周期T往往是多值的(如y=sinx，2π，4π,…,-2π,-4π，…都是周期）.对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x）的最小正周期.例如，2π是正、余弦函数所有周期中的最小正数，则2π是正弦函数和余弦函数的最小正周期.但应注意并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如函数f(x)=1，对于任意实数T都有f（x+T）=f(x）=1，所以只要T是非零常数，则T就是函数f（x）=1的周期，而在实数中并不存在最小的正数，则函数f（x）=1不存在最小正周期。联想发散由正切线可知，正切函数也是周期函数,它的每一个周期为非零常数kπ（k∈Z，k≠0)，它的最小正周期为π.（2)函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos（ωx+φ)（其中A、ω、φ是常数，且A≠0，ω＞0）的最小正周期.一般地，函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）（其中A、ω、φ是常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期T=。误区警示公式T=求周期只适用于函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期且应具有条件“ω＞0”，比如要求y=3sin(—2x+1）的最小正周期,若利用公式T=，所求的最小正周期为T==—π，结论是错误的。其正确结果应为T===π。因此，在求y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ)的周期时还应注意具体问题具体分析，即应注意题目中所给的条件是否有条件“ω＞0”,若有，则它们的最小正周期为T=，否则它们的最小正周期为T=.联想发散函数y=Atan(ωx+φ)及函数y=Acot（ωx+φ）（其中A、ω、φ是常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期为T=。2.三角函数的图象和性质（1)正弦函数的图象对于一类函数，我们主要研究它们的性质，而在三角函数中，正、余弦函数的性质是重点.为了更加直观地研究三角函数的性质,可以先作出它们的图象.由于余弦函数y=cosx=sin（x+），则余弦函数的图象与正弦函数的图象的形状相同,它可由正弦函数的图象经过平移得到，则只要画出正弦函数的图象，就可以得到余弦函数的图象.由上述内容可知,正弦函数y=sinx是以2π为最小正周期的周期函数，则只要画出y=sinx在区间［0，2π］上的图象，就可以得到整个图象,而y=sinx在区间［0,2π］上的图象可由单位圆中的有向线段得到.画y=sinx在区间［0,2π］上的图象的思路如下:①先作单位圆，把⊙O1十二等分(当然分得越细，图象越精确）；②十二等分后得对应于0，，,，…，2π等角，并作出相应的正弦线；③将x轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6。28），若变动比例，今后图象将相应“变形"；④取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合;⑤描图(连结）得y=sinx,x∈［0，2π］.其具体步骤如下：在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点起把⊙O1分成12等份（份数宜取6的倍数,份数越多，图象越精确)。过⊙O1上各分点作x轴的垂线,可以得到对应于0，,，，…,2π等角的正弦线(如图1-3—2，有向线段O1B对应于角的正弦线），相应地,再将x轴从0到2π分为12等份(如图1—3—2，从原点起向右的第四个点就是对应于角的点).把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合(如图1-3-2，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点重合）。再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了y=sinx，x∈［0，2π］的图象(如图1-3-2).图1由终边相同的三角函数性质知y=sinx,x∈[2kπ,2（k+1）π］,k∈Z,k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈［0，2π］图象形状相同，只是位置不同-—每次向左（右)平移2π单位长就得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象,正弦函数的图象叫做正弦曲线（如图1-图1上面是借助正弦线描点来作出正弦曲线，此外，也可以通过列表描点来作出正弦曲线.由上面的图1不难发现,函数y=sinx,x∈［0,2π］的图象上起关键作用的点有五个:（0，0),(,1），(π,0)，(，-1)，（2π,0).事实上，描出五点后，函数y=sinx,x∈［0，2π］的图象形状就基本确定了。此种画法称为“五点（画图)法”。这种画法的优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后且在精确度要求不高的情况下才可以用此种方法画正弦函数的图象。作三角函数的图象时，自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数,x、y轴的单位就可以统一了，作图时不要以比较习惯的角度制作为自变量的单位，这一点应引起注意.联想发散利用五点法作正弦函数的图象时,这五个点的选择与函数自变量的取值范围有关，一般地,当自变的取值范围是［0,2π］时，这五个点取（0,0）,（，1)，（π,0）,(,-1),(2π，0）；当自变量的取值范围为［-，］时，这五个点取(-,0）,(0,0)，(,1),(π，0）,(,-1).总之,这五个点的横坐标都使正弦函数值取得最大值、最小值和零值。(2）余弦函数的图象由上面内容可知余弦函数与正弦有如下关系：y=cosx=2sin（x+),所以，只要将正弦函数的图象向左平移个单位就可得到余弦函数的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线(如图1-3图1辨析比较正弦曲线和余弦曲线的共同点：都是波浪状曲线，且都夹在直线y=1和y=—1之间，既是中心对称图形又是轴对称图形。它们的不同点：正弦曲线的对称中心为(kπ，0),k∈Z,对称轴方程为x=kπ+，k∈Z,而余弦曲线的对称中心为（kπ+,0），k∈Z，对称轴方程为x=kπ，k∈Z.(3）正弦函数、余弦函数的性质由正弦函数和余弦函数的图象，可得正弦函数、余弦函数的性质如下:①定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R。②值域由正弦曲线、余弦曲线可以发现：—1≤sinx≤1，—1≤cosx≤1,即|sinx｜≤1,｜cosx｜≤1〔我们把满足条件|f(x)｜≤M的函数f（x）称为有界函数〕.而且sinx,cosx都可以取［—1，1］中的一切值,所以正弦函数和余弦函数的值域都是[—1，1].由正弦函数图象的画法过程可知,角的正弦线最长,它等于单位圆的半径为1，所以，当x=正弦函数取最大值为1，又角2kπ+（k∈Z)与角的终边相同,则角2kπ+（k∈Z)的正弦值也是1，所以正弦函数当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时取得最大值1。同理,当且仅当x=2kπ-（k∈Z)时取得最小值—1.而由单位圆中的有向线段可知当x=0时，余弦函数取最大值为1，又角x=2kπ(k∈Z）与角0的终边相同，所以余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z）时取最大值1。同理,当且仅当x=2kπ+π(k∈Z）时取最小值-1.③周期性由诱导公式一可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期为2π.正、余弦函数的周期性也可以通过它们的图象体现出来，它们的图象都是由在［0，2π]上的图象向左或向右平移2π的整数倍个单位得到的.④奇偶性对于正弦函数y=sinx,x∈R,其图象任意一点(x，y)即（x,sinx)关于原点的对称点是（—x，-y）即(-x，—sinx)，又由诱导公式sin(—x）=-sinx可知，这个对称点就是（-x，sin(-x）），它也在正弦函数的图象上.这就是说将正弦曲线绕原点旋转180°后,曲线与原来的曲线重合，所以正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称。对于余弦函数y=cosx,x∈R,其图象任意一点（x，y）即（x,cosx)关于y轴的对称点是(—x,y）即(—x，cosx），又由诱导公式cos（—x)=cosx可知，这个对称点就是（-x，cos(-x）)，它也在余弦函数的图象上.这说明，将余弦函数沿y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合，所以,余弦函数是偶函数,余弦曲线关于y轴对称.⑤单调性由正弦曲线可以看出，当x由-增大到时,曲线逐渐上升，sinx的值由—1增大到1;当x由增大到时，曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到—1,由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［—+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从—1增大到1；在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1。所以,每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ］（k∈R)是正弦函数的增区间，每一个闭区间［+2kπ,+2kπ](k∈Z）是正弦函数的减区间。误区警示正弦函数在第一象限是增函数这种说法是错误的，这是因为第一象限中终边相同的角的正弦值是相等的，而终边相同的角具有大小关系,所以这并不满足单调性的定义.正确的说法是:正弦函数在每一个区间（2kπ，+2kπ）(k∈Z）上是增函数。类似地,由余弦曲线可以看出，当x由0增大到π时,曲线逐渐下降，cosx的值由1减小到—1;当x由π增大到2π时，曲线逐渐上升,cosx的值由-1增大到1，由余弦函数的周期性可知：余弦函数在每一个闭区间［2kπ,π+2kπ](k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到—1;在每一个闭区间［π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1。所以，每一个闭区间［2kπ,π+2kπ］(k∈Z)是余弦函数的减区间，每一个闭区间［π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z)是余弦函数的增区间。利用正、余弦函数的单调性,可以比较三角函数的大小,可以求三角函数的单调区间，还可以借助三角函数的图象解简单的三角不等式.辨析比较函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，而函数的单调性是相对于函数定义域内某个区间来说，从这个意义上说,函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体"性质.深化升华奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.记忆要诀对于正、余弦函数的性质，要结合它们的图象进行记忆。（4）正切函数的图象同正弦函数的图象的画法相同，画正切函数的图象也利用单位圆的有向线段.画它的图象可分以下几步进行：①首先考虑定义域:不论是研究函数的性质还是画函数的图象都应首先考虑它的定义域，由正切函数的定义可知，正切函数的定义域为｛x｜x≠kπ+(k∈Z)}.②为了研究方便，再考虑一下它的周期:∵tan（x+π)===tanx（x∈R,且x≠kπ+，k∈Z），∴y=tanx（x∈R,且x≠kπ+，k∈Z）的周期为T=π（最小正周期）。③选择(-,)的区间作出它的图象（如图1-3—图1根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且x≠+kπ（k∈Z）的图象,并把它称为正切曲线(如图1—3图1正切曲线是被互相平行的直线x=kπ+,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，且正切曲线是中心对称图形，它的对称中心为(，0），其中k∈Z。深化升化正切函数的定义域是{x｜x≠kπ+（k∈Z)}，所以正切曲线被x=±,±，…等与y轴平行的直线隔开，且这些直线成为正切曲线的渐近线,在每两条这样的相邻直线之间，曲线是连续变化的，并且从左向右看是上升的.辨析比较作正弦函数的图象可以利用“五点法”作图.而作正切函数的图象可用“三点两线法"，“三点”即为(kπ,0),（kπ+，1），(kπ-，—1)，其中k∈Z，“两线”指的是直线x=kπ±，k∈Z.（5）正切函数的性质由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下:①定义域由正切函数的定义不难得出正切函数的定义域为｛x｜x∈R且x≠+kπ，k∈Z}.②值域由图象可观察到：当x从小于kπ+（k∈Z）趋向于kπ+时，tanx趋于+∞。当x从大于kπ+（k∈Z)趋向于kπ+时,tanx趋于—∞.所以，正切函数的值域为实数集R.③周期性由正切函数的图象可知,正切函数是以π为周期的周期函数。此外,正切函数的周期性也可由诱导公式得出。④奇偶性由诱导公式可得tan（—x）=—tanx，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称.⑤单调性由正函数的图象可知在每一个开区间(—+kπ，+kπ）,k∈Z内都是增函数，即每一个开区间(-+kπ，+kπ），k∈Z都是正切函数的单调增区间.利用正切函数的单调性可以解决以下问题:①比较不同角的三角函数值的大小;②求三角函数的单调区间；③解三角不等式.记忆要诀充分利用正切函数的图象来掌握正切函数的性质。误区警示虽然正切函数在每一个开区间（-+kπ,+kπ）,k∈Z内都是增函数.但正切函数在它的定义域内是增函数是错误的，比如和都在正切函数的定义域内,且＜，但tan＞tan,与单调增函数的定义不符。所以，不能说正切函数在其定义域内是增函数.辨析比较正切函数y=tanx，x≠kπ+,k∈Z的定义域不是R，又正切函数与正、余弦函数的对应法则不同,因此一些性质与正、余弦函数的性质有较大的差别.如正、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数;正、余弦函数是连续曲线，反映在图象是连续无间断点的,而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线，它的图象被这些渐近线分割开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数只有单调增区间.它们也有大量的共同性质。比如它们都是周期函数，它们的图象都是中心对称图形等。3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)A、ω、φ的物理意义当函数y=Asin（ωx+φ），x∈［0,+∞)(其中A＞0,ω＞0)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间T=,称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f=，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时,相位φ称为初相。（2)函数y=sin(x+φ)和y=sinx的图象的关系在前面内容的学习过程中我们研究过函数y=2x和函数y=2x+a图象之间的关系，我们知道函数y=2x+a的图象是由函数y=2x左右平移得到的.那么函数y=sin(x+φ)和y=sinx的图象的关系又是怎样的呢？下面就以实例来说明.画出函数y=sin(x+）（x∈R）；y=sin(x-)(x∈R)的简图。画上面两个函数的简图同画正弦函数的简图相同，可以利用五点作图。其步骤如下：列表:x+0π2ππsin（x+)010—10x-0π2ππsin（x—）010-10作图：由图1—3-7不难发现，函数y=sin（x+)的图象是由函数y=sinx的图象向左平移了个单位得到的；函数y=sin(x—)的图象是由函数y=sinx的图象向右平移了个单位得到的。图1由此我们可以得到一般结论如下:一般地,函数y=sin(x+φ）的图象可以看作将函数y=sinx的图象上所有的点向左（φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位长度而得到的.深化升华在利用五点法作函数y=sin（x+φ)的图象时，需要将x+φ看成一个整体，使x+φ分别取0、、π、、2π，解出相应的x，然后描点,连线即可。联想发散函数y=f（x+a)的图象，可以看作是把y=f（x)图象向左（a＞0)或向右（a＜0）平移｜a｜个单位得到的.记忆要诀对于左右的平移,可简记为“加左减右"，即当自变量x加上一个正数向左平移,减去一个正数向右平移.(3）函数y=Asinx和y=sinx的图象间的关系画出函数y=2sinx,x∈R；y=sinx,x∈R的图象(简图）。由于这两个函数的周期T=2π，所以不妨在［0,2π］上作它们的简图，方法还是利用五点法.步骤如下：列表：x0π2πsinx010-102sinx020-20sinx00—0作图：由图1-3-8可以看出，函数y=2sinx的图象上横坐标为t的点的纵坐标等于函数y=sinx的图象上横坐标为t的点的纵坐标的2倍；而函数y=sinx的图象上横坐标为t的点的纵坐标等于函数y=sinx的图象上横坐标为t的点的纵坐标的倍。所以，函数y=2sinx的图象可以看作函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变)而得到的；而函数y=sinx的图象可以看作函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变）而得到的。图1由此可得一般结论如下：一般地,函数y=Asinx(A＞0且A≠1）的图象，可以看作将函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变）而得到的.此外，由上面的图象还不难发现，函数y=Asinx(A＞0且A≠1）的值域［-A，A]，最大值是A，最小值是-A。它是一个周期函数,周期T=2π。它也是一个奇函数，图象关于原点对称.在每一个闭区间[—+2kπ，+2kπ］（k∈Z)上都是增函数，其值从-A增大到A；在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ］(k∈Z）上都是减函数，其值从A减小到-A.所以，每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ］（k∈Z)是它的增区间，每一个闭区间［+2kπ,+2kπ]（k∈Z）是它的减区间。若A＜0，可先作y=—Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折即可.联想发散函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象，可以看作是把y=f（x)图象上点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍(横坐标不变）而得到的。(4)函数y=sinωx和函数y=sinx的图象的关系画出函数y=sin2x，x∈R；y=sinx，x∈R的图象（简图）.函数y=sin2x的周期T=π,∴在[0，π］上利用五点法作其简图。令X=2x，则x=，从而sinX=sin2x。列表:X=2x0π2πx0πsin2x010-10函数y=sin的周期T=4π，∴在[0,4π］上利用五点法作其简图。列表：X=0π2πx0π2π3π4πsin010-10作图：由图1-3—9可以看出，函数y=sin2x的图象上横坐标为的点的纵坐标等于函数y=sinx的图象上横坐标为t的点的纵坐标;而函数y=sinx的图象上横坐标为2t的点的纵坐标等于函数y=sinx的图象上横坐标为t的点的纵坐标。所以,函数y=2sinx的图象可以看作函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到的;而函数y=sinx的图象可以看作函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.图1由此我们可以得到一般结论如下：函数y=sinωx,x∈R（ω＞0且ω≠1）的图象，可看作将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得到的.此外，由上图我们还不难发现，函数y=sinωx，x∈R(ω＞0且ω≠1）具有以下性质:①值域为［—1，1］；②它是一个周期函数，周期T=；③它是一个奇函数，图象关于原点对称;④在每一个闭区间［-+,+］（k∈Z)上都是增函数，其值从—1增大到1；在每一个闭区间［+，+］(k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到—1。所以,每一个闭区间［-+,+］(k∈Z）是它的增区间,每一个闭区间[+,+］(k∈Z)是它的减区间.若ω＜0，则可用诱导公式将符号“提出”再作图.联想发散函数y=f(ωx)(ω＞0,ω≠1)的图象，可以看作是把y=f(x）图象上点的横坐标缩短(ω＞1）或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.(5)函数y=sinωx和y=sin(ωx+φ）（ω＞0，φ≠0）的图象的关系.画出函数y=sin(2x+）(x∈R）的简图.列表：2x+0π2πx-sin(2x+）010-10作图:由图1-3-10可知，函数y=sin（2x+）的图象是由函数y=sin2x的图象上所有的点向左平移个单位而得到的.类似地，将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平移个单位就可以得到函数y=sin（2x-）的图象.图1一般地，函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0，φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sinωx的图象上所有的点向左（φ＞0时）或向右（φ＜0时)平移||个单位而得到的。联想发散函数y=f(ax+b）（a＞0,a≠1)的图象是由函数y=f（ax)的图象向左(b＞0)或向右(b＜0）平移｜|个单位得到的.(6)函数y=sinx和y=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0)的图象的关系一般地，函数y=Asin（ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0),x∈R的图象,可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0）或向右(φ＜0）平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（ω＞1)或伸长（0＜ω＜1)到原来的倍（纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1）或缩短(0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）。此外，y=Asin(ωx+φ）(其中A＞0，ω＞0），x∈R的图象也可通过下面的方法而得到:先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左（φ＞0)或向右(φ＜0）平移个单位长度,再把所得各点的纵坐标伸长（A＞1)或缩短（0＜A＜1)到原来的A倍（横坐标不变）.其示意图如下：误区警示横坐标的伸缩变换，实际是变换自变量x的系数，与自变量x后的常数无关，如将函数y=sin(x+1）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）所得图象对应的解析式应为y=sin(2x+1)而不是y=sin2（x+1）。4.三角函数的应用三角函数能够模拟许多周期现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究许多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”。通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题。实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或计算器。解答应用题的关键在于审题上，而要准确理解题意必须过好三关:事理关,通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；文理关,将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.数理关，在构建数学模型的过程中,对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型完成由实际问题向数学问题的转化.典题·热题知识点1三角函数的周期例1求下列三角函数的周期：（1)y=sin(x+）；(2)y=3sin(+)。思路分析:利用函数的定义及函数周期性。解：(1)令z=x+，而sin（2π+z)=sinz.即f（2π+z）=f（z）.所以有f［（2π+x+］=f（x+）。∴周期T=2π.(2)令z=+，则有f(x）=3sinz=3sin（z+2π)=3sin（++2π)=3sin(+)=f(x+4π）。∴T=4π。方法归纳求函数的最小正周期或证明一个函数是周期函数通常利用周期函数的定义，即利用式子f（x+T）=f（x)，此式子的意思是：将函数解析式中的自变量x用x+T替代后，函数的解析式不变。例2(1)设f(x)是定义在R上的函数，其最小正周期为,若f（x）=求f(—)的值。（2)已知函数f(x)的最小正周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时，f（x)=2x，求f（)的值。思路分析：对于(1）由于T=，则有f(x+）=f（x），多次利用周期函数定义进行化简,即获得结果.对于(2）可利用f(x+2）=f（x)及f（-x)=—f（x)，将转化到开区间（0，1)上，再利用f（x)=2x求值.解：（1)由于T=，则k·T=k·(k∈Z,k≠0)都是函数的周期.所以f（—)=f［(—3）×+］=f（）=sin=sin=.(2)∵24＜23＜25,∴4＜log223＜5，则0＜log223-4＜1。又∵2为f(x）的周期，∴2k(k∈Z)也是f(x）的周期。∴f（)=f（—log223）=—f(log223）=-f（log223—4)==·2—4=-.方法归纳若T为一个函数的最小正周期，则kT(k为非零整数)也是函数的周期.深化升华周期性不是三角函数的专有性质，只要一个函数的性质满足周期函数的定义,则它就是一个周期函数.如：y=（x—2k）2，x∈［2k—1，2k+1］.（k∈Z)就是一个以2为最小正周期的周期函数.知识点2三角函数的图象与性质例3画出下列函数的简图:(1）y=1+sinx，x∈［0,2π］；(2)y=—cosx,x∈［0，2π］.思路分析：利用五点法作出它们的图象。解：（1)按五个关键点列表:x0π2πsinx010—101+sinx12101利用正弦函数的性质描点画图（如图1—图1（2）按五个关键点列表：x0π2πcosx10—101-cosx-1010-1利用余弦函数的性质描点画图（如图1—图1方法归纳利用五点法作正、余弦函数图角的关键是找出五个关键的点，一般地，对于正弦函数应取一个最大值点和一个最小值点及三个与x轴的交点；对于余弦函数应取两个最大值点、一个最小值点及两个与x轴的交点。例4求使下列函数取最大值的x的集合:（1)y=1-cos2x，x∈R；(2)y=2sin(2x+)，x∈R。思路分析：应用正、余弦函数的性质.解题时（1)中将2x看成一个整体；(2）中将2x+看成一个整体.解：(1)若函数y=1-cos2x,x∈R取最大值，则函数y=cos2x,x∈R取最小值，令z=2x，由于x∈R，则z∈R，且使函数y=cosz，z∈R取得最小值的z的集合是{z｜z=π+2kπ,k∈Z｝。由2x=π+2kπ,k∈Z，得x=+kπ，k∈Z.这就是说使函数y=1—cos2x,x∈R取最大值的x的集合是{x｜x=+kπ，k∈Z}。(2)令z=2x+，由于x∈R,则z∈R,且使函数y=sinz,z∈R取得最大值的z的集合是｛z｜z=+2kπ,k∈Z｝。由2x+=+2kπ，k∈Z,得x=+kπ，k∈Z.这就是说使函数y=2sin(2x+)，x∈R取最大值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}。深化升华函数y=Asin（ωx+φ）+b(A＞0）的最大值为A+b，最小值为-A+b，取最大值时ωx+φ=2kπ+（k∈Z)，取最小值时ωx+φ=2kπ—(k∈Z)；函数y=Acos（ωx+φ)+b（A＞0)的最大值为A+b，最小值为—A+b，取最大值时ωx+φ=2kπ(k∈Z)，取最小值时ωx+φ=2kπ+π(k∈Z).例5不求值，该如何判断下列各式的符号？(1)sin500°—sin134°；(2）cos(）—cos（）;(3)tan138°—tan143°；(4）tan()-tan(）。思路分析：应用三角函数的单调性,解题时首先利用诱导公式将角化到各三角函数的同一个单调区间内，再利用单调性比较大小,从而得出差与0的大小关系。解:(1)由于sin500°=sin140°，又90°＜134°＜140°＜180°，由正弦函数的性质,可知在90°—180°范围内，正弦值随自变量的增大而减小，所以sin500°＜sin134°，从而sin500°—sin134°＜0.(2）由于cos()=cos,cos（)=cos。又0＜＜＜π，由于［0,π］是余弦函数的单调减区间，则有cos（)＞cos（).从而cos()-cos（）＞0.（3）由于tan138°—tan143°=tan(180°-42°）-tan(180°-37°）=tan37°—tan42°.又37°角的终边和42°角的终边都在第二象限,根据正切函数的单调性，可知tan37°＜tan42°.所以，tan37°—tan42°＜0，即tan138°-tan143°＜0。（2)由于tan(）—tan(）=tan—tan=tan(3π+)—tan(3π+）=tan—tan,由于0＜＜＜,根据正切函数的单调性，可知tan＞tan。所以tan—tan＞0,即tan()-tan(）＞0.方法归纳在比较几个角同名三角函值的大小时，一定要注意将这些角利用诱导公式转化到同一个单调区间内，再进行比较.在比较的过程中也要注意不等式基本性质的应用.例6写出下列函数的单调增区间：（1）y=3sin(2x—）；（2)y=2cos（2x+）；（3)y=logi[sin（2x+）]。思路分析:应用正、余弦函数的单调性。(1)设z=2x—，则y=sinz在［—+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上是增函数，即2x—∈［—+2kπ，+2kπ]（k∈Z)。由此可写出x的范围;(2）与(1）类似；（3)根据复合函数同增异减的原则进行求解。解:(1）设z=2x-，则y=sinz在［-+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上是增函数,即2x—∈[-+2kπ,+2kπ］(k∈Z）。由-+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z)，得—+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z),即-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z)。所以，函数y=3sin（2x—)的单调增区间为［-+kπ，+kπ］（k∈Z).（2)由-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z)，得—+2kπ≤2x≤—+2kπ(k∈Z），即-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z)。所以，函数y=2cos(2x+)的单调增区间为［-+kπ，—+kπ]（k∈Z）.(3)设u=sin(2x+）,由y=log2u是增函数,可知y=log2［sin（2x+）］的增区间就是u=sin（2x+)（u＞0)的增区间.由y=sinx（y＞0）的图象,可知y=sinx(y＞0）的增区间为（2kπ，2kπ+］(k∈Z），因此,对于u=sin（2x+)（u＞0)有2kπ＜2x+≤2kπ+(k∈Z)，即—+2kπ＜2x≤2kπ+（k∈Z）。所以—+kπ＜x≤kπ+（k∈Z）.所以，函数y=log2［sin（2x+）]的单调增区间为(-+kπ，kπ+］(k∈Z）。方法归纳本题的关键在于转化思想的应用，使用了整体换元法。函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，因此，要求函数的单调区间，应首先求函数的定义域。此外，函数的单调区间应写成区间的形式.例7讨论函数y=tan（x+)的性质。思路分析:本题主要应用正切函数的性质,只需设z=x+即可.解：设u=x+，由于y=tanu的定义域为(x++kπ)，则有x+≠+kπ,k∈Z，由此可得函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+，k∈Z}，又函数y=tanu的值域为R，所以函数y=tan(x+)的值域也是R。又tan（—x+)≠tan(x+）且tan（—x+)≠-tan(x+)，所以函数y=tan（x+）是非奇非偶函数.又y=tanu的单调区间为开区间（—+kπ,+kπ)(k∈Z），则由—+kπ＜x+＜+kπ,k∈Z可得：函数y=tan（x+)在（kπ—，kπ+)上是增函数。由于tan（x+π+)=tan（x+)，所以函数y=tan(x+)是以π为周期的周期函数。函数y=tan(x+)的图象可看作是函数y=tanx的图象向左平移了个单位。方法归纳一般地，函数y=Atan（ωx+φ）(A＞0，ω＞0）的单调区间由不等式kπ-＜ωx+φ＜kπ+(k∈Z）得出.知识点3函数y=Asin（ωx+φ）的图象例8（1)函数y=sin(2x—)的图象可以由函数y=sin2x的图象经过下列哪种变换得到？()A。向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D。向左平移个单位（2）已知函数y=f(x)，f（x)的图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的2倍，然后将整个图象向左平移个单位,得到函数y=sinx的图象,则函数y=f（x)的表达式为(）A。y=sin(—）B。y=sin（+）C.y=sin(x+)D。y=sin(2x-）思路解析：（1）由函数y=sin2x的图象得到y=sin（2x-)的图象，由变化规律可知，需将函数y=sin2x的图象向右平移个单位；A项向右平移个单位得到的函数的解析式应为y=sin2(x-)=sin（2x-），B项中若向左平移个单位得到的函数的解析式应为y=sin2(x+）=sin(2x+)，D项若向左平移个单位得到的函数的解析式应为y=sin2（x+）=sin(2x+).(2）是一个由复杂函数y=sin（ωx+φ）的图象得到一个简单函数y=sinx图象的问题,可逆过来从简单函数的图象出发实施相反的变换过程即可得y=f（x）的解析式。根据题意，将y=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=sin(x-）的图象，再将此函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数y=sin(2x-），此即为函数y=f(x)的解析式。答案:(1）C(2）D方法归纳处理三角函数图象变换的问题一定要熟记三角函数图象的变换规律.当由复杂函数的解析式通过图象变换推导简单函数的解析式时，可利用其逆过程。例9不画图写出下列函数的周期、频率、振幅和初相。这些函数的图象是由正弦曲线经过怎样的变换得出的？(1）y=8sin（-）；(2）y=sin(3x+）。思路分析：由三角函数周期的计算公式、频率的计算公式、振幅和初相的定义解出.解:(1)由三角函数周期的计算公式、频率的计算公式、振幅和初相的定义可知：周期为4π，频率为，振幅为8,初相为—.变换过程是:将正弦曲线上所有的点向右平移，得函数y=sin（x—）的图象,将函数y=sin(x-)图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变)，得到函数y=sin（—）的图象，再将函数y=sin（-)图象上点的纵坐标变为原来的8倍（横坐标不变）即可得到函数y=8sin（-）的图象.（2)由三角函数周期的计算公式、频率的计算公式、振幅和初相的定义可知：周期为，频率为，振幅为，初相为.将正弦曲线上所有的点向左平移，得到函数y=sin（x+)的图象,将函数y=sin（x+)图象上点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变），得到函数y=sin(3x+)的图象，再将函数y=sin（3x+）图象上点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变)，即可得到函数y=sin（3x+)的图象.方法归纳在进行三角函数的图象的变换时，一般是先进行图象的左右平移变换，再进行自变量x的系数变换。例10函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0｜φ｜＜）的最小值是-2,其图象最高点与最低点横坐标的差是3π，又图象过点(0，1），求函数解析式。思路分析：利用函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0,ω＞0）的图象和性质.以同一周期内相邻的两个取最值的横坐标差的绝对值为周期的一半.解：易知A=2,半周期=3π，∴T=6π，即=6π,从而ω=.则y=2sin(x+φ),令x=0,有2sinφ=1.又｜φ｜＜,∴φ=.∴所求函数解析式为y=2sin(x+）.方法归纳由函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的图象，可得函数的最值、周期、对称轴和对称中心等信息.深化升华函数y=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0,｜φ｜＜）的图象夹在直线y=±A之间,它既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。它的对称轴方程由方程ωx+φ=kπ+,k∈Z得出，它的对称中心的横坐标由方程ωx+φ=kπ，k∈Z得到,纵坐标为0.相邻的两个对称轴之间的距离或相邻的两个对称中心之间的距离为其周期的一半.知识点4三角函数的应用例11已知某城市一年中12个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述.已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低,为8℃。则这个三角函数的表达式是什么?思路分析：可设出解析式利用已知条件和函数y=Asin(ωx+φ)+b（A＞0，ω＞0）的性质求出系数即可。解：设函数的解析式为y=Asin(ωx+φ）+b（A＞0,ω＞0,—π≤φ＜π），则由已知可得解得又由已知函数周期的一半为12-6=6，所以函数的周期为12，即12=。所以ω=。又当x=6时，函数有最大值为28。所以，有28=10sin(×6+φ）+18,即sin(φ+π)=1，得sinφ=—1。又—π≤φ＜π，所以φ=-.所以，函数的解析式为y=10sin(x—)+18.方法归纳在利用待定系数法求y=Asin(ωx+φ)+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ＜π)时，如果有最值点的坐标,一般是利用最值点来确定解析式中的φ值.例12如图1—图1思路分析:根据右图，太阳高度角为θ、楼高为h、楼在地面的投影长l与h之间有如下关系：l=。根据地理知识，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长。因此为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应考虑太阳直射南回归线时的情况。解：如图1-图1根据太阳高度角的定义，有∠C=90°—｜40°-（-23°26′)｜=26°34′，所以MC=≈2.000h,即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.方法归纳实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此，在应用数学知识解决实际问题时，应注意从复杂的背景中抽取基本数学关系，还要调动相关学科来帮助解决问题。问题·探究思想方法探究问题怎样求方程sinx=解的个数?探究过程：根据我们所学的知识，还不能解出这个方程.这时不妨采用数形结合的方法，把求方程根的个数的问题转化为求函数y=sinx与y=的交点个数的问题。此外，解题时还应注意两个函数的奇偶性及图象的特性。具体方法是:作出当x≥0时，y=sinx与y=的图象，由图可知它们有4个交点(包括原点）。又因为y=sinx与y=都是奇函数，它的图象关于原点对称，所以,当x＜0时,两图象有3个交点。所以，函数y=sinx与y=共有7个交点，即方程sinx=有7个根。探究结论：方程sinx=是一个超越方程，用代数的方法是无法求解的,对于超越方程我们只能利用数形结合的方法求其近似解和其解的个数。具体方法是:首先将方程化为f(x）=g(x）的形式，其中f（x)、g（x）的图象可以画出.然后画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们交点的横坐标为方程的解，而交点的个数为方程解的个数。思维发散探究问题已知函数f（x）=sin（ωx+φ）(ω＞0,0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于