第二十四章 圆 能力提升卷（B卷）（解析版）-A4

第页2023-2024学年九年级上册第四单元圆B卷•能力提升卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．（2023•芝罘区一模）如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直径长为​（）A．5 B．10 C． D．【答案】C【解答】解：设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，由题意知O、C、D共线，∵AB＝8，∴AC＝AB＝4，∵高CD＝3，∴OC＝r﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴弓形所在圆的直径长2r＝．故选：C．2．（2023春•招远市期中）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝15cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．7.5cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（15﹣2r）cm，根据题意得，解得，所以．故选：D．3．（2023•东莞市校级二模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝20°，∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，∴这个正多边形的边数＝＝9．故选：C．4．（2023•二七区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，1） D．（1，）【答案】C【解答】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点0重合，AB∥x轴，∴AP＝1，AO＝2．∠OPA＝90°，：OP﹣＝＝．第1次旋转结束时，点A的坐标为（．﹣1）；第2次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（﹣，1）；第4次旋转结束时，点A的坐标为（1.），∵4次一个循环，∴2023÷4＝5053．第2023次旋转结束时，点A的坐标为（﹣，1）．故选：C．5．（2023•市北区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（）A．130° B．100° C．120° D．110°【答案】A【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，故选：A．6．（2023•金东区三模）如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，则线段OM的最小值是（）A．+1 B．﹣1 C．2 D．【答案】B【解答】解：如图，∵直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，∴A（6，0），B（0，6），∴OA＝OB＝6，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD＝OA＝6，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，∴BD＝6，∴CD＝6﹣2．∴OM＝CD＝3﹣1．即OM的最小值为：3﹣1．故选：B．7．（2023•阜新）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，C1循环，当OA＝1时，点C2023的坐标是（）A．（﹣1，﹣2022）B．（﹣2023，1）C．（﹣1，﹣2023） D．（2022，0）【答案】A【解答】解：由图得C1（0，1），C2（1，0），C3（﹣1，﹣2），C4（﹣4，0），C5（0，5），C6（5，0），C7（﹣1，﹣5），…点C的位置每4个一循环，2023＝505×4+3，∴C2023在第三象限，与C3，C7，C11，…符合规律（﹣1，﹣n+1），∴C2023坐标为（﹣1，﹣2022）．故选：A．8．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B． C．10 D．34【答案】C【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，∵PG2+PF2＝2PN2+2FN2，∴当PN最小时，PF2+PG2的值最小，此时点P在MN上，∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝DE＝2，∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．故选：C．9．（2023•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝，故选：D．10．（2023•岱岳区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是（）A． B． C．3 D．【答案】D【解答】解：连接PB，∵抛物线关于y轴对称，∴OA＝OB，∵PQ＝AQ，∴OQ是△APB的中位线，∴OQ＝PB，∴当PB长最大时，OQ长最大，当PB过圆心C时，PB长最大，当＝0时，∴x＝±4，∴B的坐标是（4，0），∴OB＝4，∵C的坐标是（0，3），∴OC＝3，∴BC＝＝5，∵⊙C的半径是2，∴PC＝2，∴PB＝PC+BC＝7，∴OQ＝，∴OQ的最大值是．故选：D．二．填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。11.（2023•凤凰县三模）已知一个扇形的半径为5，圆心角是120°，则该扇形的弧长是π．【答案】π．【解答】解：由题意得，扇形的弧长＝＝π．故答案为：π．12．（2023•安顺模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解，现已知弦AB＝6米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．【答案】．【解答】解：∵弦AB＝6米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝AB＝3米，∴OD＝＝4米，∴OA﹣OD＝5﹣4＝1（米），∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（6×1+12）＝（平方米）．故答案为：．13．（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于6步（注：“步”为长度单位）．【答案】6．【解答】解：根据勾股定理得：斜边为＝17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，故答案为：6．14．（2023春•铜梁区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中点E，连接BE、CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是﹣1．​【答案】﹣1．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AB＝1，AD＝2，E是AD中点，∴ED＝AE＝1，AD∥BC，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠GBE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝1，BE＝，∴图中阴影部分的面积＝2S扇形BEG﹣S△BEC＝2×﹣×1×2＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（2023春•北林区期末）如图已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运行，当⊙P与y轴相切时，圆心P的坐标为（3，2）或（﹣3，2）．【答案】（3，2）或（﹣3，2）．【解答】解：∵⊙P与y轴相切，⊙P的半径为3，∴P到y轴的距离等于半径3，∴点P的横坐标为3或﹣3，当x＝3时，代入可得，此时P点坐标为（3，2）；当x＝﹣3时，代入可得，此时P点坐标为（﹣3，2）；综上可知P点坐标为（3，2）或（﹣3，2），故答案为：（3，2）或（﹣3，2）．16．（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，则∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，∵以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC＝＝＝，∵，∴∠APD＝∠ACB＝45°，∵AD⊥AP，∴∠DAP＝90°，∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，∴点D在点O′为圆心，AO′为半径的上运动，在等腰直角△ABO′中，O′B＝＝＝3，在Rt△BO′C中，CO′＝＝＝，∴O′D＝O′B＝3，∵CD≥CO′﹣O′D∴当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D＝﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题（本题共5题，共52分）。17．（10分）（2023•高州市一模）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．18．（10分）（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．19．（10分）（2022春•定远县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A＝25°，求的度数；（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．【答案】（1）40°；（2）．【解答】解：（1）连接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴∠DCE＝40°，∴的度数为40°；（2）延长AC交⊙C与点F，∵∠BCA＝90°，CF＝BC＝9，AC＝12，∴AB＝，AE＝12﹣9＝3．AF＝AC+CF＝12+9＝21，∵AB与AF均是⊙C的割线，∴AD•AB＝AE•AF，即15AD＝3×21，解得AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣＝．29．（10分）（2023•古丈县一模）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．（1）求这个扇形的半径；（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．【答案】（1）3；（2）．【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等边三角形，∴，AB＝BC＝AC，∴这个扇形的半径为3．（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得，解得．故圆锥底面圆的半径为．21．（12分）（2023•夹江县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．（1）求证：CD