第03讲绝对值（4种题型）

第03讲绝对值（4种题型）【知识梳理】1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．【考点剖析】题型一、绝对值的概念例1．求下列各数的绝对值．，0.3，0，【思路点拨】，0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．因为0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．因为到原点的距离是个单位长度，所以．解法二：因为，所以．因为0.3＜0，所以|0.3|＝(0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．因为，所以．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．【变式1】计算：（1）（2）|4|+|3|+|0|（3）|+(8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1)，(2)|4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)|+(8)|＝[(8)]＝8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．例2．下列说法正确的是（）A.一个数的绝对值一定比0大B.一个数的相反数一定比它本身小C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.最小的正整数是1【答案】D．【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D、最小的正整数是1，正确．【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有3、2、1、0、1、2、3．【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是．【答案】±4.【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．【答案】6或6例3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和6的绝对值都等于6，4和4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案与解析】解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝4；由于x＜y，故x只能是6，因此x＝6，y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝6，y＝±4，就是x＝6，y＝4或x＝6，y＝4.【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或6；1或3；或【变式3】已知|a|＝3，|b|＝4，若a，b同号，则|a+b|＝_________；若a，b异号，则|a+b|＝________．据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b|.题型二、含有字母的绝对值的化简例4.把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a4|(a≥4)；(2)|5b|(b＞5)．【答案与解析】(1)∵a≥4，∴a4≥0，∴|a4|＝a4．(2)∵b＞5，∴5b＜0，∴|5b|＝(5b)＝b5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.题型三、绝对值非负性的应用例5.已知|2m|+|n3|＝0，试求m2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2m｜≥0，｜n3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2m｜＝0，|n3|＝0．因此，2m＝0，n3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2m|+|n3|＝0且|2m|≥0，|n3|≥0所以|2m|＝0，|n3|＝0即2m＝0，n3＝0所以m＝2，n＝3故m2n＝22×3＝4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．题型四、绝对值的实际应用 例6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：25，+10，20，+30，+15，40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜20｜＜｜25｜＜｜+30｜＜｜40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：+0.00180.0023+0.00250.0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，3，+10，8，6，+12，10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|3|+|+10|+|8|+|6|+|+12|+|10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）－2022的绝对值是（

）A． B． C．2022 D．【答案】C【分析】利用绝对值的定义判断．【详解】．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是（

）A．0 B．正数 C．非正数 D．非负数【答案】D【分析】正数和0的绝对值等于本身，由此可解．【详解】解：根据正数和0的绝对值等于本身，可知一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是非负数，故选D．【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数和0的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数．3．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）、、、四个点在数轴上的位置如图所示，则这四个点表示的四个数中绝对值最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】绝对值的几何意义是指数轴上表示这个数的点与原点的距离，由图可知，点与原点的距离最大，则表示的数的绝对值最大．【详解】由图可知表示数的点到原点的距离最远，∴这四个点表示的四个数中绝对值最大的是故选：A【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键．4．（2023春·浙江·七年级期末）方程的整数解共有（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2022【答案】C【详解】根据绝对值的意义，方程表示整数到与的距离和等于到与的距离的和，进而得出为与2022之间的整数，据此即可求解．【分析】解：方程的整数解是1011至2022之间的所有整数，共有1012个．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，理解绝对值的意义是解题的关键．5．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）如果一个有理数的绝对值是3，那么这个数是（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【分析】根据绝对值的性质，即可求出这个数．【详解】解：根据绝对值的定义，得．故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的知识，注意绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．6．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）若时，化简（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案．【详解】解：，，，．故答案为：B．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用a的取值范围化简是解题关键．二、填空题7．（2022秋·浙江·七年级专题练习）（1）若，则__；（2）若，则__；（3）若，则__，__；（4）若，则__，__；（5）若，则__，__；（6）若，则__，__．【答案】01001003【分析】根据绝对值的非负性分别计算即可．【详解】（1）若，则；故答案为：0；（2）若，则，解得；故答案为：1；（3）若，则，；故答案为：0，0；（4）若，则，，解得，；故答案为：1，0；（5）若，则，，解得，；故答案为：0，；（6）若，则，，解得，．故答案为：3，．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．8．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）写出一个负数，使这个数的绝对值小于2.5：___________．【答案】2.3（答案不唯一）【分析】根据绝对值的意义写出一个小于2.5，且小于的数即可求解．【点睛】本题考查了绝对值的意义，负数的定义，理解题意是解题的关键．9．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）若，化简______.【答案】【分析】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【详解】解：∵，∴，∴原式故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．10．（2021秋·浙江湖州·七年级统考期末）如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是___________．【答案】【分析】根据一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数计算即可．【详解】解：由题意可得，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数的关系，解题关键是掌握绝对值的定义．11．（2022秋·浙江·七年级专题练习）若，则__，__，__．【答案】/1【分析】直接根据绝对值的非负性求解即可.【详解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，，，故答案为：，1，．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）若，则__，__，__．【答案】20【分析】先根据绝对值的非负性求出，，，再计算即可．【详解】∵，∴，，，解得，，．故答案为：，2，0．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．13．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是______号排球．排球编号一号二号三号四号五号检测结果【答案】五【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断．【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准，故答案为：五．【点睛】本题考查了绝对值的实际运用，关键要掌握绝对值的含义，以及在误差判断中运用．14．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上一个点到的距离是，那么这个点表示的数是_____．【答案】或【分析】根据数轴上一个点到的距离为，可知这个数与的差的绝对值等于，从而可以解答本题．【详解】解：∵数轴上一个点到的距离为，∴设这个点表示的数为，依题意得：，解得：或．故答案为：或．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的应用．解题的关键是明确数轴上两点间的距离是这两个点对应的数的差的绝对值．三、解答题15．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）把下列各数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）．，，0，．【答案】见解析，【分析】在数轴上找出对应的点，根据数轴上右边的数总比左边的数大，按从小到大的顺序用“”连接即可．【详解】解：把各数在数轴上表示为：从小到大的顺序用“”连接起来为：．【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，以及有理数的大小，准确将各数表示在数轴上是解本题的关键．16．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的大括号中:，，0，，，0.25，，正数集合{…}；整数集合{…}分数集合{…}．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类、绝对值的意义可进行求解．【详解】解：∵，，∴正数集合{，0.25，…}；整数集合{0，，，…}分数集合{，，，0.25…}．【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．17．（2022秋·浙江台州·七年级台州市书生中学校考期中）将下列各数：，表示在数轴上，并用“<”连接各数．【答案】数轴表示见解析，【分析】先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上右边的数大于左边的数用小于号将各数连接起来即可．【详解】解：，数轴表示如下：∴．【点睛】本题主要考查了化简多重符号和绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键．18．（2022秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．【答案】(1)3，5，1或(2)6(3)当时，式子的值最小，最小值是9，理由见解析【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；（2）先确定a+4、a2的正负，然后再化简绝对值，最后再合并同类项即可；（3）根据表示一点到5，1，4三点的距离的和．即可求解．【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是41=3；表示3和2两点之间的距离是2（3）=5；依题意有|a（2）|=3，∴a（2）=3或a（2）=3解得a=1或5．故答案为：3，5，1或5．（2）解：∵数a的点位于4与2之间，∴a+4＞0，a2＜0∴|a+4|+|a2|=a+4a+2=6．（3）解：∵表示一点到5，1，4三点的距离的和．∴当a=1时，式子的值最小，∴的最小值是9．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．19．（2022秋·浙江·七年级专题练习）探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：(1)观察数轴，填空：点A与点B的距离是；点C与点B的距离是；点E与点F的距离是；点D与点G的距离是．我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离可表示为（用m、n表示）．(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝．(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：①，则x＝．②，则x＝．【答案】(1)2；5；1；5；(2)5或﹣1(3)①7或；②或【分析】（1）直接根据数轴上两点间距离的定义解答即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．（3）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．【详解】（1）解：由数轴可得：点A与点B的距离是2，点C与点B的距离是5，点E与点F的距离是1，点D与点G的距离是5．点M与点N