2024高考数学专项复习：均值不等式及不等式综合（含答案）

2024高考数学专项均值不等式及不等式综合含答

案

构值系等式及系等蚁稼合

题型一:公式直接用

题型二:公式成立条件

题型三:对勾型凑配

题型四：“1”的代换:基础代换型

题型五:“1”的代换:有和有积无常数型

题型六:“1”的代换:有和有积有常数型

题型七:分母构造型：分母和定无条件型

题型八:分母构造型:分离型型

题型九:分母构造型:一个分母构造型

题型十：分母构造型:两个分母构造型

题型十一:分离常数构造型

题型十二:换元构造型

题型十三:分母拆解凑配型

题型十四：万能“K”型

题型十五:均值不等式应用比大小

题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型

题型十七:因式分解型

题型十八:三元型不等式

题型一:公式直接用

二（22—23高三・北京•阶段练习）若a>6>0,且a+b=l,则在下列四个选项中，最大的是（）

B.a^+b2D.2ab

2（22—23高三・全国•课后作业）若a>0,6>0,则下列不等式中不成立的是（）

A.a2+fe2^2abB.a+b>2Va6C.a2+b?>—(a+b)2D.---F—<C------—(aWb)

3（22—23高一下•黑龙江佳木斯•开学考试）设力>0,g>0,且g/=9,则c+g的最小值为（）

A.18B.9C.6D.3•••

题目4(23—24高一下.河南.开学考试)设a>l,b<0,则()

A.>2B.a+b>abC.ab<-1D.bVab

ab

题目E（2024・重庆•模拟预测）设为,g>0且力+2g=1,则log2J：+log22?/的最大值为

题型二:公式成立条件

题目（23-24高三.辽宁本溪•开学考试）下列函数中，最小值为2的是

X_x_

A.y^x+—B.g=62+e2

X

X2+3

C.y=sini+—r—fo<x<D.n=

smx'f)Va；2+2

a+b

题目（23-24高三・安徽六安•开学考试）设a>0,b>0,则>6”是“<^>6”的

r2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题目I（23-24高三.西藏林芝•期中）下列命题中正确的是（

A.若a>0,b>0,且a+b=16,则ab464

B.若aW0,则a+>2yla•二4

C.若a,beR,则ab>

D.对任意a,bGR,ciA-b1^2a+b>2Vab均成立.

题目（多选）（23—24高三•四川眉山•期中）下列结论正确的是)

A.若力V0,则力+--4—2B.若力GR,则《+2》2

x川+1

C.若力eR且力W0,则卜D.若Q>1,则(1+廿(1+!)>6

题目E（多选）（23-24高三.重庆南岸•期中）下列说法正确的是（)

A.函数9=c+2（,<0）的最大值是一4B.函数9=毕丝的最小值是2

x川+9

C.函数夕——（a:>-2）的最小值是6D.若;c+v=4,则/+才的最小值是8

x+2

题目（多选）（23-24高三.贵州贵阳•阶段练习）下列命题中正确的是（)

A.当时，帅《红手

B.若：r>0,则函数/（,）=x2+—的最小值等于4府

X

C.若2，+2,=1,则立+沙的取值范围是（一00,—2]

D.V（3-a）（a+6）（-6<a<3）的最大值是今

题型三:对勾型凑配

题目（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知函数/（乃=3—2—2,则当，<0时，于⑸有

X

A.最大值3+22B.最小值3+22C.最大值3—2其D.最小值3—22

题目2（23—24高三•陕西西安•阶段练习）函数沙=/+-—（">5）的最小值为（）

x—5

A.2B.5C.6D.7

题目3（21-22高二上•陕西咸阳•期中）已知函数/㈤=4c—2+的定义域为（一乱言），则/⑸的

4/-5'47

最大值为（）

A.5B.-5C.1D.-1

2

题目4（23-24高三・吉林•阶段练习）已知3,则沙+2力的最小值是)

力一3

A.6B.8C.10D.12

1

题目g（23—24高三・广东佛山•模拟）函数〃力）=力+,X>1的最小值为（）

x—1

A.1B.2C.3D.5

题型四：“1”的代换:基础代换型

题目1（2022高三上.全国.专题练习）若a,6CR,帅>0且a+b=2,则工+g的最小值为（）

ab

A.2B.3C.4D.5

题目2（23—24高三.贵州黔南•阶段练习）己知心V>0且，+旬=1,则工+工的最小值为（）

xy

A.4V2B.8C.9D.10

题目3（23—24高三.河南南阳.阶段练习）若a>0,b>0,a+3b=l,则的工+与最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8•••

题目4（22—23高一下•湖南邵阳•阶段练习）设a>0,b>0,若2a+6=2,则？+”的最小值为（）

ab

LQ

A.3V2B.4C.9D.y

题目5（22-23高三•内蒙古呼和浩特•期中）已知2,V为正实数，且2+2=2,则c+2沙的最小值是

Xy

）

A.2B.4C.8D.16

题型五:“1”的代换:有和有积无常数型

题目（23一24高三上•江苏连云港•阶段练习）若白>0,6>0,且&+6=帅,则2&+6的最小值为（

A.3+2V2B.2+2A/2C.6D.3-2V2

题目2（23—24高二上•陕西西安・期中）已知a>0,6>0且2ab=a+2b,则a+8b的最小值为（）

A.4V2B.10C.9D.今

题目3（2022・四川乐山•一模）已知①>0,夕>0,且4a;+2。—g/=0,则2。+v的最小值为（）

A.16B.8+4V2C.12D.6+472

题目4⑵—22高三.山西太原.阶段练习）已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为（）

A.2B.3C.2+V2D.2+V3

题目E（23—24高一下•广西•开学考试）已知Q>0,6>0,且a+b=ab,则2ab—a+7b的最小值是

A.6B.9C.16D.19

题型六:“1”的代换:有和有积有常数型

题目（23-24高三.广西.模拟）已知a2+fe2=ab+4,则a+6的最大值为

A.2B.4C.8D.2V2

题目2（23—24高三・甘肃•模拟）若正数a,6满足ab=a+6+3,则ab的取值范围是（）

A.（—8,6]B.[6,9]C.[9,+oo）D.[9,12]

题目2（23—24高三.江苏.模拟）已知正实数a,b满足曲+&+6=8,则&+6的最小值是（）

MS

A.8B.6C.4D.2

题目E（23-24高三・安徽阜阳•模拟）已知正实数劣，。满足2力+g+6=吗,记ay的最小值为a；若m,n>

。且满足m+n=l,记上+旦的最小值为b.则a+b的值为（）

mn

A.30B.32C.34D.36

题目（23—24高三・福建莆田•模拟）已知力>2,y>l,g/=/+2g+2,则力的最小值是)

A.1B.4C.7D.3+V17

题型七:分母构造型:分母和定无条件型

（2020高三.全国・专题练习）的最小值为（）

sinacosa

A.2B.16C.8D.12

⑵—22高三.福建莆田.期末）当0<，<l时，工+彳工的最小值为（）

X1—X

A.0B.9C.6D.10

（2024•山西临汾・三模）若0Vc<l,则工+彳工一的最小值是（）

X1—X

A.1B.4C.2+2V2D.3+2V2

［题目*（22-23高三.江苏南通.模拟）函数/⑸=+胃*（T<a：<4）的最小值是（

力+15-227

A.4-B.4C.2

,6,7.8,5

（23—24高三•四川成都•期中）若0<。<春,则9+的最小值为（）

32x1—6x

A.12B.6+4V3C.9+V6D.孕

题型八:分母构造型：分离型型

题目1（21-22高三•辽宁沈阳•模拟）若不等式24+中>a在区间［0,1］上有解,则实数a的取值范围

2%+1

是（）

A.a<CA/2^—B.aVlC.aD.a2^/2^—•~••

题目2（23-24高三・海南海口•阶段练习）若函数/Q）=在zC[0,+8）是增函数,则实数a的

力+1

取值范围是（）

A.（-oo,2]B.[0,1]C.（-oo,l]D.[1,2]

3（2020高三•河北石家庄平介段练习）已知，<3,则夕="—3.4的最大值是（）

题目

X—6

A.—1B.—2C.2D.7

题目4（20-21高三・辽宁大连•模拟）％>4”是“关于，的不等式三WaQ>l）有解”的（）

X—1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

a?2—2c+2

题目（20—21高三・浙江绍兴•期中）若—IV,VI,则9)

E2x—2

A.最大值—1B.最小值—1C.最大值1D.最小值1

题型九:分母构造型：一个分母构造型

题目1（23—24高三・浙江温州・模拟）已知非负实数⑨沙满足，+g=L则工+丁'的最小值为（）

x1+g

7Q4

A.jB.2C.3D.去

353

题目2(23-24高一下•福建南平•期中)已知a>0,b>0,2a+b—3=0,则—^―+5的最小值为

2a+1b

)

A.2B.1C.-f-D.4

24

］的最小值

题目（23-24高三下•江苏扬州•开学考试）已知实数a>1,b>0,满足a+b=3,则-2~j-+

Ea—1b

为（）

3+2V2口3+2A/2c3+n3+42

A.B•，—

4-2~~4

题目（23-24高三浙江.模拟）已知a>l,9。,且a+/2,则吉+6的最小值为

A.4B.6C.8D.9

题目（23—24高三.广东肇庆.模拟）已知aAO'bALa+J—测小+b的最小值为)

•M

A.15B.16C.17D.18

题型十:分母构造型:两个分母构造型

题目（2024•全国•模拟预测）设正实数a,6满足a+6=2,则的最小值为（)

a+1b+2

题目2（23—24高三・浙江•期中）已知a>Lb>5,且2a+b=3,则'^+小一的最小值为（）

2a—12b—1

Q1

A.1B.yC.9D.y

题目3（23-24高三・江苏徐州•阶段练习）已知正实数Q,b满足-4r+TTT=1，不等式m<a+2b恒成

a+oo+l

立,则实数M的取值范围是（）

A.771W6B.5C.9D.m48

题目鱼（23—24高三上・江苏南京•阶段练习）已知非负实数,"满足*+—=L则”+夕的最小

值为（）

题目E（23-24高三•湖北•阶段练习）若2>0,沙>0,且上+-=1,则3.+夕的最小值为（

A.3B.2V5C.y+V5D.4+275

题型十一:分离常数构造型

题目（23-24高三广东佛山.阶段练习）已知正数“满足…=2,则以+标的最小值是

R13D考

11R16

A1616

a2+l2&2+1

题目（23-24高三上•广东东莞•期中）已知a,b为正实数，且a+2b=1,则的最小值为

rab

A.1+2V2B.2+2V2C.3+2V2D.4+2V2

•M

（高三・全国•期末）已知〉。，“〉。,且，+沙=则且也+宜坦的最小值为（）

题目323—24re4,

/y

A.4B.二C.孕D.5

44

（高三・湖北武汉•模拟）已知且夕=则-^―+-^―的最小值为（）

题目423-24c>0,9>0c+1,

T+1y+2

A-|B-fClD-J

题目5（22-23高一下•云南•阶段练习）已知a>-2,b>O,a+2b=3,则2a+”4+A的最小值为

a+2b

）

A.4B.6C.8D.10

题型十二:换元构造型

题目1（23-24高三上•四川巴中•开学考试）已知必>沙>0且4/+3y=1,则——+，的最小值

2x—y力+2g

为（）

A.10B.9C.8D.7

题目2（23—24高三上•山东•阶段练习）已知实数2，夕满足力>夕>0,且3c—沙=2,则一一+的最

x+yx-y

小值为（）

A.3B.4C.5D.6

题目3⑵-22高三,河南洛阳,阶段练习）已知正数如V满足，3+8——=2,则7V的最小值

（x+2y）y（36+2功力

是（）

R5

A—C。—3D

8-1

题目4（22-23高三上•江西南昌•阶段练习）己知正数力”满足--+——=1,则xy的最小

（力+2切V（3力+2g）力

值是（）

21

题目,（2022.安徽合肥.模拟预测）已知正数力，"满足力+3g+3x+y=1,则力+g的最小值

A3+2四T33+A/2c3+2A/^3+2

C，8~~

48

题型十三:分母拆解凑配型

题目1（22-23高三上•河北保定•阶段练习）不等式/2—4力+m＜0的解集为{/5W力46},其中0＜砧＜

11

4测+的最小值为（）

10Q+2b4b—4a

AX

，c.JD

A26-f

49

题目I（22—23高三・河北承德・期末）已知正实数a,b满足a+仁・，则十的最小值为

Oa+2b2(z+6

A.6B.5C.12D.10

2

题目3（19-20高三上•陕西榆林•阶段练习）己知y=log2（z-2a；+17）的值域为［m,+oo）,当正数a,6满足

扁+f二利时，则7a+4b的最小值为（）

Qc5+22

A.4B.1。D.2

44

小=1'则a+b的最小值为

题目E（2024.四川成都.模拟预测）若a,6是正实数，且3a+b+)

42

A.凸B.4C.1D.2

53

题目5（23-24高三下.河北.开学考试）已知a,b均为正实数,且满足工+号=2,则-^―+—^―的最

ab2a—12b—3

小值为（）

A.2B.2V2C.2V3D.2V6

题型十四：万能“K”型

题目|1（22—23高三上•江苏南京•模拟）已知正实数以少满足c+工+旬+^=^^则立+包的最大值为

xy

（）

A.4B.1C.2D.9

9

题目2（2022.全国•高一课时练习）已知a,b为正实数，且a+b=6+工+?,则a+b的最小值为（）

a0

A.6B.8C.9D.12

•••

题目3（2022秋.四川成都.高一成都外国语学校校考期中）已知正数a,b满足a+b+工+\=16,则a+b

ab

的最大值是.

题目4（21-22高三上•湖北襄阳•期中）若正数①"满足2c+29+里+旦=9,则，+沙的最小值是

xy

（）

A.yB.JC.yD.2

题型十五:均值不等式应用比大小

题目(23—24高三下.全国•阶段练习)已知a=；,b=ln~1",c=(log67—l)ln5,贝！J(

oo

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

题目2（2023•河南洛阳•一模）下列结论正确的是（)

姐

A.log20212022<log20222023<Iog2o222023<CIog2o2i2022V2022

C.|^||<log20222023<log20212022D.|^||<log20212022<log20222023

题目(22—23高三•江苏常州.模拟)若a>£>7>1且ayV£2,设。=>g,,b=log.,c=log#，则

A.aVbVcB.bVaVcC.b<c<aD.cVaVb

题目（2022•全国•模拟预测）已知20。=22,226=23,a0=b,则a,b,c的大小关系为)

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

题目（23—24高三・浙江温州•模拟）已知宏产log32,力2=log56,^3—ylog25，则)

A.Xi<x2<gB.61＜力3〈劣2C.力3＜力1〈62D.63V力2<劣1

题型十六:利用均值不等式求恒成立参数型

题目1（22-23高三•福建厦门•阶段练习）己知不等式［+加＞1+冷—/对满足4a+6（l-a）=0的所

有正实数a,b都成立，则正数c的最小值为（）

13

A.yB.1C.yD.2•••

（高三・甘肃兰州•期末）对任意实数x>l,y>不等式恒成

题目2I23—24—+,旬？、>1

2。2（2g一1）1）

立,则实数。的最大值（）

A.2B.4C.D.2V2

题目2（23-24高三上.河北邢台•阶段练习）不等式力（、@+次）W"+2沙对所有的正实数心夕恒成立,

则力的最大值为（）

V2

A.2B.V2D.1

题目4（22-23高三上•河南郑州・模拟）已知正数a,b满足a+6=3,若a5+b5>Aab恒成立，则实数4的取

值范围为（）

A.（-8*]B.（-8,用C.（-8,用D.（-8,用

题型十七:因式分解型

题目（2023•全国•高三专题练习）已知正数Q,b满足质+2a+b=7,则ab+3a+2b的最小值是

题目2（22—23IWJ二上•江西吉安,模拟）已知实数x9g满足力>0,g>0,且/+义~+,+2=5,则2x+y

2xy

的最大值为（）

A.10B.8C.4D.2

题目3（2023高三・全国・专题练习）已知（0,+<»）,且口+6+L+）=5,则a+b的取值范围是

ab

（）

A.[1,4]B.[2,+<»）C.（1,4）D.（4,+a））

题目Jl（2023•全国•模拟预测）已知实数a、b、c满足a+b-2c=2（6-a）（c-a）-2,则|3a—b-2cl的最

小值为（）

A.0B.1C.2D.3

题目5（22-23高三上•吉林•开学考试）已知4，+9/靖+2/=4,则5/+3才的最小值是（）

A.2B.y-C.D.4

题型十八:三元型不等式•M

题目1（20-21高三上•北京・强基计划）已知，，y,z是非负实数，且c+：y+z=2,则^y^y^+^+xyz

的最大值为（）

A.1B.2C.4D.以上答案都不对

4

题目F(21—22高三•浙江温州•模拟)已知a,b,cE(0,+oo)且a>b>c,a+b+c12,ab+be+ca=45,

则。的最小值为

A.5B.10C.15D.20

题目E（2023•安徽滁州•二模）若a,b,c均为正数,且满足a'+Bab+3ac+9bc=18,则2a+3b+3c的最小

值是（）

A.6B.4A/6C.6A/2D.6V3

题目E（22-23高三•江苏常州•阶段练习）实数a,b,c旃足a+b>0,b>0,Q?—oh+2fe2—c=0,则

c的最小值为（

ab+b2

A.—2B.1「3D-l

题目5（22-23高三上•江苏宿迁•阶段练习）已知实数a、b、c满足a2+62+c2=1,则2ab+3c的最大值为

（）

A.3B.单C.2D.5

•M

衲值茶易虱&茶$式除含

目录

题型一:公式直接用

题型二:公式成立条件

题型三:对勾型凑配

题型四：“1”的代换:基础代换型

题型五:“1”的代换:有和有积无常数型

题型六:“1”的代换:有和有积有常数型

题型七:分母构造型:分母和定无条件型

题型八:分母构造型:分离型型

题型九:分母构造型:一个分母构造型

题型十:分母构造型:两个分母构造型

题型十一:分离常数构造型

题型十二:换元构造型

题型十三:分母拆解凑配型

题型十四：万能“K”型

题型十五:均值不等式应用比大小

题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型

题型十七:因式分解型

题型十八:三元型不等式

题型一:公式直接用

题目（22-23高三・北京•阶段练习）若a>b>0,且a+6=1,则在下列四个选项中，最大的是

A.B.C.aD.2ab

【答案】。

【分析】⑴先判断a>1~>b>0,可得2b<1,所以2abVa,排除4。，再用作差法比较8、C的大小，可

得答案.

（2）也可以令a,b取特殊值进行验证排除.

【详解】方法一Ta〉?)>。且a+b=l,工。,方>b>0,可排除4;又2bV1n2abVa,排除D\

**a2+b2—a—(Q+b)?—2Gb—a=1—2ab—a=a+b—2ab—a=b—2ab=6(1—2a)V0,

即/+62<©排除R

故选：a

方法二：因为a>b>0且a+b=l,可取a=b—

oo

则：a2+fe2=1,2ab=左因为]>焉>]>今

yyoyzy

故选：c.

题目2（22-23高三•全国•课后作业）若a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是（）

A.a'+b?)2abB.a+b>2〃abC./十/〉《(a+&)2D.--—I—gV--((iWb)

2aba—b

【答案】。

【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.

【详解】因为(a—b)2>0,显然有/+62>2而,故A正确；

而a>0,b>0,所以a+b>2Vab，故8正确；

又a2+62―^-(a+b)--^-a2-h-^-b2—ab=-^-(a—b)>0,所以a2+fe2^-^-(a+b)2,故C正确；

不妨令a=2,b=l,则—+4~——、-=l(aWb),故。错误.

ab2a-b

故选：D

题目E（22-23高一下•黑龙江佳木斯•开学考试）设c>0,?/>0,且砂=9,则土+沙的最小值为（

A.18B.9C.6D.3

【答案】。

【分析】根据基本不等式，即可求解.

【详解】：a;>0,y>0

x+y^2y/xy=6,（当且仅当x=y=3,取''="）

故选：C.

题目4（23—24高一下.河南.开学考试）设&>1]<0,则（）

A.a>qB.a+b>abC.ab<—1D.b<ab

ab

【答案】B

【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确.

【详解】因为a>l,bV0,所以abVO,则"匕<0,则力选项错误；

ab

因为a>l,所以1—QVO,又bVO,则（1—a）b>0,即b—ab>0,所以a+b—ab>0,即a+b>ab,则_8

选项正确；

当a—2,b——；时，ab=—1,则。选项错误；

因为a>l,b