专题5.3平行线中的常见模型（压轴题专项讲练）（人教版）

专题5.3平行线中的常见模型【典例1】如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE//（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．【思路点拨】（1）过P作PE//（2）①过P作PE//AB②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案．【解题过程】解：（1）如图2，过P作PE∵AB//∴PE//∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）①∠APC=∠α+∠β，理由：如图3，过P作PE//∵AB//∴AB//∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；②∠APC=∠α−∠β如备用图1，当P在BD延长线上时，∠APC=∠α−∠β；理由：如备用图1，过P作PG//∵AB//∴AB//∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β；如备用图2所示，当P在DB延长线上时，∠APC=∠β−∠α；理由：如备用图2，过P作PG//∵AB//∴AB//∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α；综上所述，∠APC=∠α−∠β1．（2021·全国·九年级专题练习）在图中，若AB//CD，又得到什么结论？【思路点拨】根据图①可得∠E=∠B+∠D，根据图②可得∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，即可根据规律得出题目的结论．【解题过程】解：①如图：过点E作EF//∵AB//CD，EF//∴AB//∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∴∠E=∠B+∠D；②如图，过E点作EH//AB，过F点作FJ//AB∵EH//∴AB//∴∠ABE=∠BEH，∠HEF=∠EFJ，∠JFG=∠FGI，∠IGD=∠GDC，∴∠ABE+∠EFJ+∠JFG+∠GDC=∠BEH+∠HEF+∠FGI+∠IGD，即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G;③如图：，根据以上规律可得：∠B+∠F2．（2021春·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．【思路点拨】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．【解题过程】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n1）×180°，故答案为：（n1）×180°．3．（2021春·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【思路点拨】（1）过点P作PE//l1，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE//l1//（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线l1上方时；②当点P在直线l2下方时，同理（1）可得∠PAC=∠APE、【解题过程】解：（1）∠PAC+∠PBD=∠APB．过点P作PE//l∵PE//l1，∴PE//l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠PAC+∠PBD=∠APB．（2）结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE//∵PE//l1，∴PE//l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠BPE−∠APE，∴∠PBD−∠PAC=∠APB．②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE//∵PE//l1，∴PE//l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE−∠BPE，∴∠PAC−∠PBD=∠APB．4．（2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得【解题过程】（1）解：如图：过点M作MN∥∴MN∥∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，∵∠M=∠GMN+∠HMN，∴∠M=（2）解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：如图：过点M作MN∥由（1）知∠M=∵HM平分∠GHC，∴∠CHM=∠GHM，∵∠AGM＝∠HGQ，∴∠M=∠HGQ+∠GHM，∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，∴∠GQH=180°−∠M．5．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）求证：EG⊥FG；（2）填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为．②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．【思路点拨】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．【解题过程】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEB=12∠BEF∴∠GEB+∠GFD=1在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，∴EG⊥FG；（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=1∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，故答案为：45°；②结论：∠EOF=2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，∴∠EOF=2∠EPF，故答案为：∠EOF=2∠EPF．6．（2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【思路点拨】（1）如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH//EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12【解题过程】（1）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案为：90°；（2）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如图2，过点F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°∵FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，∴∠P=15°．7．（2021春·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．【思路点拨】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到∠α=∠DPE，②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【解题过程】解：（1）作PQ∥EF，如图：∵EF//∴EF//∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β；理由如下：如图，过P作PE//AD交CD于∵AD//∴AD//∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；②当点P在BA延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=β，∠EPD=α，∴∠CPD=∠β−∠α；当P在BO之间时，如备用图2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=α，∠CPE=β，∴∠CPD=∠α−∠β．8．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；（2）如图2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，请直接写出∠M与∠【思路点拨】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；（3）先由已知得到∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【解题过程】解：（1）如图1，作EG//AB，FH//AB，∵AB∥∴EG∥∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°，∴∠ABE+∠CDE=260°，∵∠ABE的角平分线和∠CDE的角平分线相交于F，∴∠ABF+∠CDF=130°，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°，∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，∴∠MBF=12∠ABF∴∠MBF+∠MDF=65°，∴∠BMD=130°−65°=65°；（2）如图2，∵∠ABM=13∠ABF∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°，∵∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴6∠BMD+∠BED=360°，∴∠BMD=360°−α°（3）∵∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠∴∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE=2n∠ABM，∠CDE=2n∠CDM，∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°，∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴2n∠M+∠BED=360°．9．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND【思路点拨】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）先证明∠NOD=12∠PAB，∠ODN=12∠【解题过程】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°∠CDP，∵∠APD=∠APQ∠DPQ，∴∠APD=∠PAB(180°∠CDP)=∠PAB+∠CDP180°；∴∠PAB+∠CDP∠APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+12∠PAB=∠APD，即∠PAN+12∠又∵∠POA+∠PAN=180°∠APO=90°，∴∠POA=12∠PAB∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=12∠PAB∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=12∠PDC∴∠AND=180°∠NOD∠ODN=180°12(∠PAB+∠PDC由(2)得∠PAB+∠CDP∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°12(∠PAB+∠PDC=180°12(180°+∠APD=180°12=45°，即∠AND=45°．10．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝．【思路点拨】（1）根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案；（2）①由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形外角性质可得答案；②利用三角形外角性质列出方程，通过解方程即可得到问题的答案．【解题过程】解：（1）如图1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE+∠AMP＝150°；（2）如图2，①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时，运动时间t＝3010＝3（秒），此时ME∴∠AEM＝3×10°＝30°，∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；PN继续运动至PF时，返回时，当PN平分∠EPF时，运动时间至6010+30∴∠AEM＝9×10°＝90°，∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；当第二次PE运动至PF时，当PN平分∠EPF时，运动了6010∴∠AEM＝15×10°＝150°，∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合题意；综上所述，∠MEP的度数为60°或120°；②如图3，当0≤t≤6时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，当150°﹣20t＝120°时，t＝32当150°﹣20t＝60°时，t＝92当6＜t≤12时，此时∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝30°，不成立，当12＜t≤15时，此时∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝270°﹣20t，∠PHE＝270°﹣20t＝60°时，t＝212（不合题意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝15故答案为：32或911．（2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．【思路点拨】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【解题过程】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．12．（2021春·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．【思路点拨】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．【解题过程】解：（1）AB∥DE，理由是：如下图，过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF=50°，∵∠BCD=75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下图，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°25°=60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°25°=60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=120°；如图6，∵∠C=85°，∠D=25°，∴∠CFD=180°85°25°=70°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°，综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．13．（2022春·广东珠海·七年级统考期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．【思路点拨】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解题过程】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴BG//∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．14．（2021春·浙江杭州·七年级统考期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【思路点拨】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12∠BME【解题过程】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝1215．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．【思路点拨】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．【解题过程】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝12∠AFE即12解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．16．（2021春·浙江宁波·七年级统考期中）如图，AB//CD，