第三章圆（单元测试）

圆单元测试参考答案与试题解析一、单选题1．（2022·广东·开平市忠源纪念中学八年级期中）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（

）A．三条中线的交点 B．三条高线交点 C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点【答案】D【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可求解．【详解】解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线交点，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．2．（2022·江苏宿迁·九年级阶段练习）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，综上所述，四个说法中正确的只有1个，故选：A．【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键．3．（2022·河北邯郸·九年级期末）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm【答案】C【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED=10cm，AB=8cm，由垂径定理知：点M为AB中点，∴AM=4cm，∵半径OA=5cm，∴OM2=OA2AM2=2516=9，∴OM=3cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．4．（2022·陕西·宁陕县蒲河九年制学校九年级期中）已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，∴圆的半径应该大于4．故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．5．（2022·北京·北大附中九年级阶段练习）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断即可得出．【详解】解：于C，∴以点P为圆心，PC为半径的圆与直线l相切．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系:设的半径为r，圆心O到直线1的距离为d，若直线1和相交直线1和相切直线1和相离6．（2022·浙江·杭州市文晖中学九年级期中）如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（

）.A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3,故选：D.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．7．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用切线的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，结合圆周角定理得出答案．【详解】解：PA切⊙O于点A，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查切线的性质以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键．8．（2022·北京市第九十六中学九年级期中）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5即可得到△ABC的周长．【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BE+CE=BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．9．（2021·新疆·乌鲁木齐市第九中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．【详解】解：设AB与CD交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∴∠OCE=30°，∴，∴，又∵，即∴，在△OCE和△BDE中，，∴△OCE≌△BDE（AAS），∴∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，故选D．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．【详解】如图，由题意知，，在以为直径的的上（不含点、可含点，最短时，即为连接与的交点（图中点点），在中，，，则．，长度的最小值，故选：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．二、填空题11．（2021·全国·九年级单元测试）已知⊙O和⊙O＇的半径分别为5cm和7cm，且⊙O和⊙O＇相切，则圆心距OO＇为__________【答案】2cm或12cm【分析】分⊙O和⊙O'相外切、内切两种情况，根据圆心距d与两圆的半径r、R之间的关系计算，即可得到答案．【详解】根据题意，当⊙O和⊙O'相外切时，OO'=5+7=12cm；当⊙O和⊙O'相内切时，OO'=75=2cm故答案为：2cm或12cm．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系；熟练掌握两圆外切时d=r+R，内切时d=Rr（R＞r），是解此题的关键．12．（2022·云南红河·九年级期末）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为_____（结果保留π）．【答案】2π【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝120°，根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BOC＝120°，∴弧BC的长＝＝2π，故答案为：2π．【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．13．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______．【答案】1【分析】由题意易得，根据勾股定理可求OE的长，然后问题可求解．【详解】解：∵是的直径，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为1．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．14．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在中，，以C为圆心，以为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为________．【答案】【分析】根据直角三角形两锐角和是90°，可以求出∠A的度数，在△ACD中由三内角和为180°，可以求出∠ACD的度数，由∠ACB＝90°，求出∠BCD．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°．在△ACD中，∵CD＝CA，∴∠A＝∠CDA＝65°∴∠ACD＝180°−65°−65°＝50°．∴∠DCB＝90°−50°＝40°．故答案是：40°．【点睛】本题考查的是对圆的认识，由圆中半径都相等和直角三角形两锐角互余，以及三角形三内角和为180°，可以求出圆心角∠DCE的度数．15．（2022·山东·曲阜师范大学附属实验学校九年级期中）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是_____．【答案】【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD=CD=OC=2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．【详解】解：如图所示，∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC=∠CPB，∴，∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵EF是△ABC的中位线，∴；∴OC⊥EF，OD=OC=2．连接OE，根据勾股定理，得：DE==，∴EF=2ED=，故答案为：．【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．16．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在中，，，，将绕顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是________．【答案】【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积－扇形DEF的面积计算即可得到答案．【详解】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，∴，由旋转得△EOF≌△BOA，∴∠OAB=∠EFO，∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°，∴∠EFO=∠HED，∴∠HED=∠OAB，∵∠DHE=∠AOB=90°，，∴△DHE≌△BOA（AAS），∴DH=OB=1，，∴阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积－扇形DEF的面积，故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．三、解答题17．（2022·浙江·舟山市定海区第五中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD＝，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接OC，由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC//AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连接BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．（1）连接OC，如图，∵，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC//AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=，∴AC=2CD=，在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，即（）2+（AB）2=AB2，∴AB=8，∴⊙O的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系，熟练掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．18．（2022·天津二十五中九年级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，过点D作BC的垂线，垂足为E．(1)求证：CD平分∠ACE．(2)若AC＝9，CE＝3，则CD的长为．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和同角的补角相等可得：∠BAD=∠DCE，再根据可得：∠BAD=∠ACD，即可证得结论；（2）证明，根据相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠BAD=∠DCE，∵，∴∠BAD=∠ACD，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∵∴∵AC是⊙O的直径∴∴由（1）知CD平分∠ACE∴∴∴∴∴（负值舍去）故答案为：【点睛】本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质等知识，正确识别图形是解答本题的关键．19．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知AB是⊙O的直径，．（1）求的度数；（2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长．【答案】（1）60°；（2）【分析】（1）连结，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数；（2）首先根据角所对的直角边是斜边的一半求得，然后根据勾股定理求出BD的长度，利用面积法求出DE的长度，最后根据垂径定理即可求出EF的长度．【详解】解：（1）如图所示，连结，∵，∴，∵是的直径，∴，∴．（2）∵，，，∴，∵，即，∴，∵，且是直径，∴．【点睛】此题考查了勾股定理，垂径定理的运用，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是连接BD，得到．20．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．求证：（1）DB＝DF；（2）四边形AEFD是平行四边形．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）先证∠DBE=∠ACB，结合∠BDC=∠BAC，可得，进而即可得到答案；（2）先证∠F=∠ACB，结合∠AEB=∠ACB，可得AE∥DF，进而即可得到结论．【详解】解：（1）∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠DBE=∠ACB，∵∠BDC=∠BAC，∴，∵AB＝AC，∴DB＝DF；（2）∵DB＝DF，AB＝AC，，∠F=∠ACB，∵∠AEB=∠ACB，∴∠F=∠AEB，∴AE∥DF，又∵BE∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握弧，弦，圆周角之间的等量关系是解题的关键．21．（2021·全国·九年级课时练习）已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF