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文档简介
第12章全等三角形(压轴必刷30题4种题型专项训练)一.全等三角形的判定(共4小题)1.(2022秋•高邮市期中)如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,∠ABC=∠ABD.点E为BC中点,点F为BD中点,连接AE,AF求证:△ABE≌△ABF.2.(2022秋•广州期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动;动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s,两点同时出发并开始计时,当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E,QF⊥l于点F,设运动时间为t秒,则当t=秒时,△PEC与△QFC全等.3.(2022秋•天河区校级期中)如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.4.(2022秋•源城区期中)如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?二.直角三角形全等的判定(共1小题)5.(2022秋•洛龙区期中)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BECF;EF|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).三.全等三角形的判定与性质(共23小题)6.(2022秋•衡阳县期中)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,且AD=CD.(1)求证:△ABD≌△CFD;(2)已知BC=7,AD=5,求AF的长.7.(2022秋•永春县期中)如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点P从点出发,沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以lcm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点A时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t(s).(1)求证:AB∥DE.(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示).(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值.8.(2022秋•新昌县校级期中)如图,已知AD为△ABC的中线,延长AD,分别过点B,C作BE⊥AD,CF⊥AD.(1)求证:△BED≌△CFD.(2)若∠EAC=45°,AF=12,DC=13,求EF的长.9.(2022秋•余庆县期中)已知:如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.(1)求证:△BAD≌△CAE;(2)请判断BD、CE有何大小、位置关系,并证明.10.(2022秋•高邮市期中)如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)若AB=17,AD=9,求AE的长.11.(2022秋•新宾县期中)如图(1)所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD.(1)求证:EG=FG.(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动,变为图(2)时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.12.(2022秋•和平区校级期中)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.13.(2022秋•綦江区期中)(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I,求证:I是EG的中点.14.(2022秋•萨尔图区校级期中)如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上.①如图1,若∠BCA=90°,α=90°,则BECF;②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于α与∠BCA关系的条件,使①中的结论仍然成立,并说明理由;(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,α=∠BCA,请提出关于EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想,并简述理由.15.(2022秋•余杭区校级期中)已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA.(1)AD与CB相等吗?请证明你的结论.(2)若∠BCD=75°,求∠ACE的度数;(3)若∠BCE=α,∠ACE=β,则α、β之间满足一定的数量关系,请直接写出这个结论.16.(2022秋•柘城县期中)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求∠FAE的度数;(3)求证:CD=2BF+DE.17.(2022秋•蓝山县期中)如图,在四边形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D点出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动.(1)证明:AD∥BC.(2)在移动过程中,小明发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,会出现△DEG与△BFG全等的情况.18.(2022秋•玉林期中)已知:如图,D为△ABC外角∠ACP平分线上一点,且DA=DB,DM⊥BP于点M(1)若AC=6,DM=2,求△ACD的面积;(2)求证:AC=BM+CM.19.(2022秋•阳东区期中)如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BD=CD.(1)图中与△BDE全等的三角形是,请加以证明;(2)若AE=8cm,AC=5cm,求BE的长.20.(2022秋•阳新县期中)已知△ABC和△DEF为等腰三角形,AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上,点F在射线AC上.(1)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:AF=AE+AD;(2)如图2,若AD=AB,求证:AF=AE+BC.21.(2022秋•潮安区期中)如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E是BC的中点,连接DE,交AB于点F,且EF⊥AB于点F,AB=DE.(1)求证:△ACB≌△EBD.(2)若DB=10,求AC的长.22.(2022秋•兰溪市期中)如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.23.(2022秋•海淀区校级期中)如图,在△ABC中,已知∠ABC=45°,过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,CD与BM相交于点E,且点E是CD的中点,连接MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N.(1)求证:△DBN≌△DCM;(2)请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系,并证明你的结论.24.(2022秋•上杭县期中)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为△ABC内一点,且BD=AD.(1)求证:CD⊥AB;(2)∠CAD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.①求证:DE平分∠BDC;②若点M在DE上,且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系,并给出证明;③若N为直线AE上一点,且△CEN为等腰三角形,直接写出∠CNE的度数.25.(2022秋•浏阳市期中)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于E,F在AC上,∠B=∠CFD.证明:(1)CF=EB.(2)AB=AF+2EB.26.(2022秋•天门期中)如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF.27.(2022秋•邢台期中)在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在直线AB上,且DE=CE.(1)如图(1),若∠DEC=∠A=90°,BC=3,AD=2,求AB的长;(2)如图(2),若DE交BC于点F,∠DFC=∠AEC,猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系?并加以证明.28.(2022秋•三台县期中)如图,已知:CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线,求证:AC=2AE.四.全等三角形的应用(共2小题)29.(2022秋•卢龙县期中)如图,操场上有两根旗杆间相距12m,小强同学从B点沿BA走向A,一定时间后他到达M点,此时他测得CM和DM的夹角为90°,且CM=DM,已知旗杆AC的高为3m,小强同学行走的速度为0.5m/s,则:(1)请你求出另一旗杆BD的高度;(2)小强从M点到达A点还需要多长时间?30.(2022秋•南康区期中)【问题背景】在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系.【初步探索】小亮同学认为:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是.【探索延
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