1.31.4特殊角的三角函数及其运算（A卷基础巩固）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

1.3—1.4特殊角的三角函数及其运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、单选题1．（2021·阳谷县九年级月考）的值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据特殊角三角函数值计算即可．【详解】解：原式．故选：B【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2021·重庆实外九年级入学考试）在中，，若，则sinC=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角三角形的性质求出∠C，根据60°的正弦值是解答．【详解】解：∵，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3．在平面直角坐标系内点的坐标（，），则点关于轴对称点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得点P的横纵坐标，进而得到横坐标不变，纵坐标互为相反数的坐标即可．【详解】解：∵点P的横坐标cos30°=，纵坐标tan45°=1，

∴点P1的横坐标为，纵坐标为1．

选项C符合．故选：C．【点睛】考查点的坐标的相关知识；熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键；用到的知识点为：两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．4．（2021·山东青岛市九年级期末）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质可知∠MON＝90°，OB＝0C，又知点M、N分别为OB、OC的中点，可知ON＝OM，从而得到△OMN为等腰直角三角形，求出∠OMN＝45°，据此即可得到sin∠OMN的值．【详解】解：在正方形ABCD中，OB＝OC，∠MON＝90°，又∵点M、N分别为OB、OC的中点，∴ON＝OM，∴∠OMN＝45°，∴sin∠OMN＝sin45°＝．故选：C．【点睛】此题结合正方形的性质考查了特殊角的三角函数值，要注意等腰直角三角形的判定和性质．5．（2021·山东青岛市中考一模）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】连接DB，四边形ABCD为菱形，∠BCD=60°，可得△ABD为等边三角形，求出AF的长度，再证明△AEF≌△DEF，即可求出DF的长度．【详解】如图：连接DB∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=60°，∴∠BCD=∠BAD=60°，∴AB=AD，∠DAC=∠BAC=∠DAB=30°，即△ABD为等边三角形，又E为AD的中点，∴BE⊥AD，∴AE=AD=AB=3，cos∠EAF==cos30°=，即AF=2又在△AEF和△DEF中，∠AEF=∠DEF=90°，AE=DE，EF=EF，∴△AEF≌△DEF，∴DF=AF=2，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及特殊锐角三角函数值，熟悉并灵活运用以上性质式解题的关键．6．（2021·辽宁沈阳市九年级二模）如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，于点，则的长为（）A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】利用菱形的性质求出CD=8，∠ODC=30°，在Rt△DOC中，利用锐角三角函数求出OD，在Rt△DOE中，利用锐角三角函数求出OE即可【详解】解：连接OC，∵四边形是菱形，点O为对角线的中点，∴OC⊥BD，AB=AD=DC=8，DC∥AB，∵∠BAD=120°，∴∠ADB=∠ABD=，∴∠CDB=∠ABD=30°，在Rt△DOC中，∴OD=CDcos30°=，∵，∴△DCE是直角三角形，∴OE=ODsin30°=．故选择：A．【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数是解题关键．7．（2021·浙江宁波市中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。【详解】解：因为AD垂直BC，则△ABD和△ACD都是直角三角形，又因为所以AD=，因为sin∠C=，所以AC=2，因为EF为△ABC的中位线，所以EF==1，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．二、填空题8．（2021·福州市九年级月考）________．【答案】1【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：．故答案为1【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数、二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．9．化简：__________．【答案】【分析】先根据特殊三角函数值求值，再根据二次根式的性质化简即可求解.【详解】解：，=，=，因为，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查特殊三角函数值和二次根式的性质，解决本题的关键是要熟练掌握特殊三角函数值和二次根式的性质.10．（2021·贵州黔东南州九年级二模）在中，，则为________三角形．【答案】直角【分析】根据两个非负数的和为0，则它们都为0，可得，，因而可求得∠A、∠B的度数，由此可判断△ABC的形状．【详解】∵，，且∴，∴，∴∠A=60゜，∠B=30゜∵∠A+∠B=90゜∴△ABC是直角三角形故答案为：直角．【点睛】本题考查了几个非负数的和为0则它们都为0的性质，已知三角函数值求角，直角三角形的判定等知识，关键是根据非负数和为0的性质求得∠A、∠B的三角函数值．11．（2021·山东泰安市九年级月考）在中，，，，则___________，___________，__________．【答案】3【分析】利用含30度角的直角三角形的性质和三角函数进行求解即可．【详解】解：如图所示，∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴，，∴，故答案为：；；3．

【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12．（2021·江苏盐城市九年级期末）锐角满足，则_____．【答案】【分析】根据特殊锐角三角函数值可得答案．【详解】解：，，又，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．13．（2021·吉林长春市中考模拟）如图，是一个直角三角形纸片，，，，点、分别为边、的中点.将纸片沿剪开，用剪开后的两部分纸片拼成一个不重叠无缝隙的矩形，则矩形的周长为________________．【答案】【分析】根据锐角三角函数解出AB的长度，根据拼接的性质以及矩形性质计算即可．【详解】解：在中，，，，，由题意，四边形CBDF为矩形，且由拼接而成，，矩形BDFC周长为；．故答案为：．【点睛】本题主要考查锐角三角函数、矩形的性质等知识点，根据题意找出拼接前后对应边对应角的关系是解题的关键．14．（2021·江苏泰兴市九年级期末）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为________．【答案】3或【分析】过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案．【详解】解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝．在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，∴∴BC＝BD+DC＝；如图2，同理可得，AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝，，∴BC＝BD﹣DC＝．综上所述，BC的长为或；故答案为：3或．【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.三、计算题15．计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）1；（2）2，；（3）．【分析】（1）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（2）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（3）把被开方数化为完全平方的性质，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】（1）；（2）（3）【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．16．（2021·昆明市九年级月考）计算：（1）；（2）．【答案】（1）5；（2）．【分析】（1）首先利用零次幂的性质、绝对值的代数意义、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可．（2）首先利用乘方的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可．【详解】解：（1）===5；（2）====．【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．四、解答题17．（2021·济宁市九年级月考）如图，是的高，，，，求的长．【答案】【分析】在中，利用锐角三角函数可得：，然后在中，由，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：∵是的高，∴AD⊥BC，在中，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值是解题的关键．18．如图，物华大厦离小伟家，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角（angleofelevation）是，而大厦底部的俯角（angleofdepression）是，求该大厦的高度（结果精确到）．（sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754）【答案】【分析】先用证明表示小伟家为A，物华大厦为CD，过A作AB⊥CD，根据等腰直角三角形可得AB=CB=60m，利用正切三角函数求出DB，再求和即可．【详解】解：设小伟家为A，物华大厦为CD，过A作AB⊥CD，∵测得大厦顶部的仰角是，∠CAB=45°，大厦底部的俯角是，∠BAD=37°，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=CB=60m，在Rt△ABD中，∠BAD=37°，∴tan∠BAD=，∴m，∴CD=BC+BD≈60+45.24=105.24≈105.2m．该大厦的高度约105.2m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角与俯角，等腰直角三角形判定与性质，掌握解直角三角形的应用解决问题能力，仰角与俯角的区分，等腰直角三角形判定与性质是解题关键．19．（2021·北京市九年级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先利用两组对边分别平行AE∥BC，CE∥AD，证四边形ADCE是平行四边形．利用直角三角形斜边中线性质AD=BD=CD．可证四边形ADCE是菱形．（2）过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．在Rt△ABC中，由30°直角三角形性质可求BC，利用勾股定理可求AB．进而可求AD，由四边形ADCE是菱形与AE//BC，可求∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，由三角函数EH=1，AH．HB．在Rt△BEH中，BE．【详解】（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∴AD=BD=CD．∴四边形ADCE是菱形．（2）解：过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2，∴BC，AB．∴ADBC2，∵四边形ADCE是菱形，∴AEAD2，∵AE//BC，∴∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，EH，AH．∴HBAH＋AB．在Rt△BEH中，BE．【点睛】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，30°角直角三角形性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，通过引辅助线构造直角三角形，用勾股定理解决问题是关键．20．（2021·安徽豪州市九年级月考）在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝AE，连接DC，点M、N分别为DE、BC的中点．（1）如图①，若点P为DC的中点，连接MN、PM、PN．①求证：PM＝PN；②求证：△ADE∽△PNM；（2）如图②，若点D在BA的延长线上，点P为EC的中点，求的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．【分析】（1）①根据中位线的性质可证得，，再证明BD=CE即可得到结论；②根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余证明△PMN是等腰直角三角形即可证明结论；（2）连接BE，根据SAS证明≌，利用全等三角形及中位线的性质证得MP=NP，再利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余证得