1.3二次根式的乘除法（原卷版）

专题1.3二次根式乘除运算【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.理解并应用积的算术平方根和商的算术平方根的性质进行简单运算3.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：①多个二次根式相乘时二次根式的乘法法则也适用，即a∙b∙c……k=a∙b∙c……k（a≥0,b②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即ma⋅nb=mna∙b  （a≥0,b≥0)2.积的算术平方根:

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：归纳化简步骤①把被开方数分解因式(或因数)②把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积③如果因式中有平方式(或平方数)，应用a2=|a|，把这个因式(或因数)开出来,将二次根式化简知识点二、最简二次根式把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化（1）二次根式中被开方数不含有分母；（2）二次根式中被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.知识点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。要点诠释：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得2.商的算术平方根的性质:

（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

【典型例题】类型一、最简二次根式1.下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【变式】化简（1）（2）2.已知0<<,化简.类型二、二次根式的乘除法3．计算(1)；(2)×；(3)3×÷2；(4)；【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)；(2)×=4××=4×=4=8.4.计算：（1）4÷（﹣）×．（2）计算：÷×．5．小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：=是正确的．（1）你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；（2）说明成立的条件；（3）问是否成立，如果成立，说明成立的条件．【变式】．已知：（1）求和的值（2）若，求x的值（3）若，求a的值二次根式的乘除运算（专项练习）一、选择题1.下列计算正确的是（）A．×= B．x8÷x2=x4 C．（2a）3=6a3 D．3a5•2a3=6a62.当<0,<0时，化简得（）A．B.C.D.3.在中，最简二次根式有（）A．1个B.2个C.3个D.4个4.化简二次根式的正确结果是（）．A．B．C．D．5.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6.已知，化简二次根式的正确结果为（）.A.B.C.D.7．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（

）A．6 B． C．12 D．8．如图．从一个大正方形中裁去面积为m2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm29．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．若，则代数式的值为（

）A．7 B．4 C．3 D．11．估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间12．已知x=1+，y=1，则代数式的值为（）A．2 B．±2 C．4 D．二.填空题13.计算：=．14.等式成立的条件是．15．计算：(1)=_______；(2)=________.16.化简：（1）=_________,(2)=___________.17.若=0，则=_______________.18.有如下判断：（1）(2)=1(3)(4)（5）（6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.19．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是___________．20．化简；（1）_____________；（2）___________；（3）_____________；三、综合题21.先化简，再求值：，其中.22．已知，求的值．23．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；(3)当时，求的值．24．若最简二次根式与可以合并．(1)求的值；(2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值．25．先阅读，后解答：，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子