第08讲一元二次方程求根公式及解方程综合

第08讲一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式公式引入一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以当时，利用开平方法，得：， 即：当时，这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式．用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．二：一元二次方程解法综合开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或．配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：，再用开平方法求解．公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程，当时，有两个实数根：【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中的值：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）4；（2）17；（3）236；（4）38．【解析】（1），则；，则；方程可化为一般形式为：，，则；，则．【总结】本题主要考查根的判别式的概念及其计算．【变式1】用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则，∴；（2），则，则，∴．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【变式2】用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则，∴；（2），则，则，∴．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【变式3】用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化为：，，则， 则，∴；（2）方程可化为：，则．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解．【变式4】用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化为，，则，则 ，∴两边同时乘以10，方程可化为，，则， 则，∴．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解．【变式5】用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：；，则，则， ∴原方程的解为：．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【变式6】用公式法解方程：．【答案】．【解析】，则，所以，∴原方程的解为：．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．【变式7】当x为何值时，多项式与的值相等？【答案】8或5．【解析】由题意，可得：，整理得：， 因式分解可得：，则． ∴当x为8或5时，多项式与的值相等．【总结】本题主要考查一元二次方程在多项式的值相等时求所含字母的取值中的运用．题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：；；；．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】形如的方程的两个解分别为．【总结】本题主要考查两个因式的乘积为零时，则每一个因式都为零的应用．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）则，开平方得：， ∴原方程的解为：； （2），开平方得：或， ∴原方程的解为：．【总结】本题主要考查利用直接开平方法解一元二次方程．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），提取公因式可得：， ∴原方程的解为：； （2），提取公因式可得：， ∴原方程的解为：．【总结】本题主要考查利用提取公因式法求一元二次方程的解．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）对原方程十字相乘分解可得：，∴原方程的解为：； （2）对原方程整理得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：； （3），整理得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：； （4），提取公因式可得：， 整理得：，∴原方程的解为：．【总结】本题主要考查利用因式分解法求一元二次方程的解，注意（3）和（4）化成一般形式再分解．【变式4】用配方法解下列方程： （1）； （2）．【答案】（1）；（2），．【解析】（1），整理得：，配方得：， ∴原方程的解为：； （2），配方得：， ∴原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方．【变式5】用配方法解下列关于x的方程： （1）； （2）（）．【解析】（1），则，配方得： 当时，， ； 当时，方程无实数根； （2）（），则，整理得：， 配方可得：， 当时，，， 当时，方程无实数根．【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论．【变式6】用公式法解下列方程： （1）； （2）．【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为，则，所以原方程无解； （2）整理可得：，则，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．【变式7】用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）．【答案】（1），； （2），； （3），．【解析】（1）∵，∴，∴， ∴原方程的解为：，；整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，；（3）整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根．【变式8】用公式法解下列关于x的方程： （1）； （2）．【解析】（1）∵，∴当时，，； 当时，原方程无实数根；原方程可化为：，∵， ∴原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．【变式9】用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），．【解析】（1）直接开平方可得：，∴原方程的解为：，； （2）化简得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：，； （3），平方差因式分解得：， 整理得：，∴ 原方程的解为：，； （4），提取公因式可得：， 整理得：，∴原方程的解为：，； （5）∵方程，， ∴原方程的解为：，； （6），整理可得， 十字相乘分解得：， ∴原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：．【答案】，．【解析】方程可整理成：， 十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：，； 公式法：，∴， ∴原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解．【变式11】如果对于任意两个实数，定义：．试解方程：．【答案】．【解析】由题意可得：，利用完全平方公式可得：．【总结】本题主要考查对新定义的理解和运用．【变式12】．已知，求代数式的值．【答案】1．【解析】 ， ∵，∴， ∴原式．【总结】本题主要考查代数式的化简求值，不要去解方程，而是用整体代入思想求值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x+1）（x﹣3）＝5的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣4，x2＝2【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝5，x2﹣2x﹣3﹣5＝0，x2﹣2x﹣8＝0，化为（x﹣4）（x+2）＝0，∴x1＝4，x2＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．2．（2023春•浦东新区期末）方程2x2﹣2＝0的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1．【分析】首先把已知方程变形为x2＝1，再根据直接开平方即可得到原方程的解．【解答】解：2x2﹣2＝0，2x2＝2，x2＝1，解得x＝±1．故选：D．【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．3．（2022春•上海期中）下列关于x的方程一定有实数根的是（）A．ax+1＝0 B．ax2+1＝0 C．x+a＝0 D．x2+a＝0【分析】分类讨论a的范围确定出各方程的解，确定出一定有实数根的即可．【解答】解：A、方程ax+1＝0，整理得：ax＝﹣1，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，方程解为x＝﹣，不符合题意；B、方程ax2+1＝0，整理得：ax2＝﹣1，当a＝0时，方程无解；当a＞0时，方程无解；当a＜0时，方程的解为x＝±，不符合题意；C、方程x+a＝0，解得：x＝﹣a，符合题意；D、方程x2+a＝0，整理得：x2＝﹣a，当a≤0，即﹣a≥0时，方程解为x＝±；当a＞0时，方程无解，不符合题意．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．4．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x2+5x+2＝0时，下列变形正确的是（）A． B． C． D．【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项．【解答】解：x2+5x+2＝0，x2+5x＝﹣2，x2+5x+＝﹣2+，（x+）2＝，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax2+b＝0有实数根，则条件是（）A．a≠0，b＞0 B．a≠0，b＜0 C．a≠0，a，b异号或b＝0 D．a≠0，b≤0【分析】由于ax2+b＝0可以变为ax2＝﹣b，若方程有解，那么a≠0，并且ab≤0，由此即可确定方程ax2+b＝0有实数根的条件．【解答】解：∵ax2+b＝0，∴ax2＝﹣b，若方程有解，∴a≠0，并且ab≤0，∴a≠0，a，b异号或b＝0．故选：C．【点评】此题这样考查了方程是否有解的问题，结合方程的形式和非负数的性质即可解决问题．6．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x）2﹣2015•2017x﹣1＝0较大的根为m，方程x2+2015x﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016 B．2017 C． D．【分析】先用分组分解法因式分解求出第一个方程的两个根，确定m的值；再用十字相乘法因式分解求出第二个方程的两个根，确定n的值，然后代入即可求出代数式的值．【解答】解：∵（2016x）2﹣2015•2017x﹣1＝0，∴（2016x）2﹣（2016﹣1）（2016+1）x﹣1＝0，（2016x）2﹣20162x+x﹣1＝0，20162x（x﹣1）+（x﹣1）＝0（x﹣1）（20162x+1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣，∴m＝1，又∵x2+2015x﹣2016＝0，∴（x﹣1）（x+2016）＝0，故x1＝1，x2＝﹣2016，∴n＝﹣2016，∴m﹣n＝1﹣（﹣2016）＝2017，故选：B．【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程．注意根据方程的特点，灵活选取解法．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是x1＝，x2＝﹣．【分析】把方程两边开方即可．【解答】解：x2＝3，x＝±，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为：x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是x1＝0，x2＝2．【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，提公因式得，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是x1＝x2＝2．【分析】本题直接开平方即可．【解答】解：（x﹣2）2＝0∴x﹣2＝0∴x1＝x2＝2．【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是x1＝，x2＝．【分析】先把给出的方程进行整理，找出a，b，c的值，再代入求根公式进行计算即可．【解答】解：∵x2﹣5x＝4，∴x2﹣5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根据公式x＝是本题的关键．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝8．【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣7）＝8，然后利用因式分解法解方程求得t的值即可．【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则：t（t﹣7）＝8，整理，得（t﹣8）（t+1）＝0．所以t＝8或t＝﹣1（舍去）．所以x2+y2＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝6．【分析】设t＝m2+n2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣1）＝30，然后利用因式分解法解方程求得t的值即可．【解答】解：设t＝m2+n2（t≥0），则：t（t﹣1）＝30．整理，得（t﹣6）（t+5）＝0．解得t＝6或t＝﹣5（舍去）．所以m2+n2＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是x﹣4y＝0和x+2y＝0．【分析】把x2﹣2xy﹣8y2＝0看作是关于x的一元二次方程，方程左边进行因式分解得到（x﹣4y）（x+2y）＝0，于是得到两个一次方程：x﹣4y＝0或x+2y＝0．【解答】解：∵x2﹣2xy﹣8y2＝0，∴（x﹣4y）（x+2y）＝0，∴x﹣4y＝0或x+2y＝0．故答案为x﹣4y＝0；x+2y＝0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是x1＝6，x2＝﹣．【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．【解答】解：原方程移项得，x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0，∴（3x+2）（x﹣6）＝0，解得x1＝6，x2＝﹣．故答案为：x1＝6，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是m＜0．【分析】根据负数没有平方根，即可解答．【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，故答案为：m＜0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为x1＝3，x2＝2．【分析】先移项，然后对方程左边因式分解，然后利用因式分解法解答即可．【解答】解：2（x﹣3）＝x（x﹣3）移项得，2（x﹣3）﹣x（x﹣3）＝0因式分解得，（x﹣3）（2﹣x）＝0解得，x1＝3，x2＝2．故答案为：x1＝3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为+2或﹣2．【分析】分为两种情况：①当x＞﹣x时，得出方程x2﹣2＝x，②当﹣x＞x时，得出方程x2﹣2＝﹣x，求出方程的解即可．【解答】解：分为两种情况：①当x＞﹣x，即x＞0时，x2﹣2＝x，解得：x1＝2，x2＝﹣1，x＝﹣1舍去；②当﹣x＞x，即x＜0时，x2﹣2＝﹣x，解得：x1＝﹣2，x2＝1，x＝1舍去；所以方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为2或﹣2，故答案为：2或﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1∴b2﹣4ac＝5＞0∴x＝﹣．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．【分析】先求出“△”的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0，分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，k2﹣4≠0，Δ＝[﹣（5k﹣2）]2﹣4（k2﹣4）•6＝（k﹣10）2，x＝，x1＝，x2＝；②当方程是一元一次方程时，k2﹣4＝0且﹣（5k﹣2）≠0，解得k＝±2，当k＝2时，方程为﹣8x+6＝0，解得x＝；当k＝﹣2时，方程为12x+6＝0，解得x＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．【分析】先方程化为一般式为y2﹣2y﹣2＝0，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：方程化为一般式为y2﹣2y﹣2＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，y＝＝＝1±，所以y1＝1+，y2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝2【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，判断b2﹣4ac的值是否大于0，若大于0，则x＝，由此即可得到答案．【解答】解：x2+3x＝2，x2+3x﹣2＝0，∵a＝，b＝3，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝32﹣4××（﹣）＝25＞0，∴x＝，∴＝；＝﹣．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握利用公式法解方程的步骤，属于中考常考题型．22．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．【分析】先把原方程转化为一般式方程，然后利用公式法求解即可．【解答】解：由原方程，得x2+2x﹣9＝0，a＝1，b＝2，c＝﹣9，Δ＝22﹣4×1×（﹣9）＝40＞0，x＝＝﹣1±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：方程化为一般式为3x2+4x﹣15＝0，a＝3，b＝4，c＝﹣15，Δ＝42﹣4×3×（﹣15）＝4×49＞0，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．【分析】根据配方法解出方程即可．【解答】解：x2﹣4x＝9996，x2﹣4x+4＝10000，（x﹣2）2＝10000，x﹣2＝±100，∴x1＝102，x2＝﹣98．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝12＞0，∴y＝＝±，∴y1＝+，y2＝﹣．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．【分析】分三种情况讨论：当a＝0时，则为一次方程，解得即可；当a≠0，且Δ＝42﹣4a•（﹣6）＝16+24a≥0时，利用公式法即可求解；当a≠0，且Δ＝42﹣4a•（﹣6）＝16+24a＜0时，方程无解．【解答】解：当a＝0