考研高数二真题及答案97年到12年

考研数学二真题1997年

一、填空题

已知/(%)={(COSX)I2,%#0在x=0处连续，则Q=_______

IQ,X=0

2、

设，=必需豆恻川”。

•

1.二

3，A(4-x)

4、

广也=

Jox2+4x+8

5、

已知向量组6=(1,2,-1,l),a2=(2,03,0),a,=(0,-4,5,-2)的秩为2,则，=

二、选择题

6、

设％―0时,e"*1'-e”与一是同阶无穷小，则〃为

(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.[]

7,

设在闭区间[a,6]上/(%)5>0,/'(工)<0,/B(z)>0.记&=⑸dx,S”f⑹(b-a),

S3=j-[f(a)+f(b)](b-)a),则

(A)S|<S2<S3.(B)S2<S3<S].

(C)S3<Si<S2.(D)S2<s,<s3.[]

8.

已知函数y=f«)对一切x满足工/”(“)+3x[/f(x)]2=1-e\若/'(痂)=0(%KO),

则

(A)/(x0)是人工)的极大值.

(B)/(x0)是的极小值.

(C)(x0/(x0))是曲线y=/(x)的拐点•

]

(D)/(x0)不是7•(£)的极值,(&J(。))也不是曲线y=/(»)的拐点.

9、

设尸(工)=je'Esintd，，则F'(x)

(A)为正常数.(B)为负常数.

(C)恒为零.(D)不为常数.]

10、

设g⑺七:：>>=*'*则g[/(x)]为

一*x>0

2+欠2,x<02-4?，X<0

(A)(B)

,2-%,x02+%,4N0

2-x,x<02+4’，.4<0

(C)(D)】

2-”,*N02+x.4分0

三、解答题

11、

求极限lim+x-1

,―/x2+sinx

12、

设，=火")由｛2,-旷+，=5所确定'

13、

计算卜'(tan%+1)2(lx.

14、

求微分方程(3酎+2xy-/)<k+(x2-2町)dy=0的通解.

15、

2

已知力=xe"+e*,力=xe*+e*,y3=xe'+-e：是某二阶线性非齐次微分方程的三个

解，求此微分方程.

16、

17、

r2xX

x+A2-x3=1

取何值时，方程组，无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出

AAx,-x2+z3=2

X

4%［+5%2-53=-1

方程组的通解.

18、

设曲线L的极坐标方程为r=r（6）,M（r,0）为〃上任一点,4（2,0）为L上一定点,若极径0%、

0M与曲线L所围成的曲线扇形面积值等于L上此.W两点间弧长值一半,求曲线L的方程•

19、

设函数/（工）在闭区间［0,1］上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足工/，《）=/（工）+第2（。

为常数），又曲线y=/（%）与X=l,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=/（工），并问a为何

值时，图形S绕工轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

20、

已知函数/（工）连续,且四竺=2,设令（工）=求/（工），并讨论,（"）的连续性.

21、

就A的不同取值情况，确定方程工-^sinx=k在开区间（0,手）内根的个数，并证明你的结论.

答案：

一、填空题

e±

1,

【命Ml目的】考查不定式极限的计算.

【详细解答）由题设出那工）=/（0）,即

a=lim（cosx）x2=12=-2*=e2.

【易错辨析】察指函数;^尸⑸转换为是解决这类极限的关键.

［延伸拓展】嘉指函数求极限是极限计算问题中的一类较复杂的题目，本题的方法带有普遍性.

2、

3

~T

【命用目的】考查对函数求二阶导数.

【详细解答】由题意得

V=yln(1-x)-yln(1+x),

y2

2(1-x)~I+x'

H________[_]_£

7~~2(x-I)2-(1+x2)21

于是川。=-冬

1x=0Z

【易错辨析】如果直接对原式求导可能较繁琐，容易出错.

【延伸拓展】对原式进行适当的化简后，再求导数可以简化计算.

3、

2arcsin孝+C或arcsin%.

+C.

【命用目的)考查换元积分法在不定积分中的应用.

[详细解答1]f-"-=[—"一；=arcsin"2+C,

J/x(4-x)'&-(4-2)’2

[洋细解答2][-,也=[,>———=2[,6«=2arcsing+C.

J7x(4-x)：力…卬)J4_©2

[易错辨析】正确的使用配方、换元及基本积分公式是解题关键所在.

【延伸拓展】计算不定积分时往往方法较多，应注重平时的训练和理解，但不管怎样基本积分公

4、

TT

【命双目的】考查广义积分的计算方法.

dx______f+-d(4+2)1x+2I+B

[详细解答)/+4工+8=4+(工+2尸=5arctan—|°=yIT-

[易错辨析】将分母正确地配方,熟练地运用公式并求出原函数在无穷远的极限值是解题关键.

【延伸拓展】广义积分的计算方法并不困难，只要理解细心,就可以解决.

5、

3.

【用用目的】考查向量组的秩的概念与性质.

2-1】、

[祖用解答1]由于秩=2,则矩阵2010的任一个三阶子阵的行列

<0-45-2/

式的值为零，即

12-1

20t=0,

0-45

解得t=3.

口2-12-10、

[*<»*»«­2]20t。卜-41+3-2,

、0-45-2)lo-45-2>

秩r(at,a2,a3)=2=t+3=5,即c=3.

【易错辨析】矩阵4经初等变换化为B应写作4-8,而不是4=8.

【延伸拓展】一般地向量组的秩等于从它们为行(列)向量的矩阵的秩.

二、选择题

6、C

又tanx=x+-^-x3+o(x5),

e'*"-e*=yx5+o(x5).

从而-e■与x3为同阶非等价无穷小.

应取n=3.故选(C).

【易错辨析】对儿个常用函数的马克劳林展式必须熟悉•

【延伸拓展】函数的寡级数展开是解决许多题目的桥梁，此题就是将泰勒公式、等阶无穷小和洛

必达法则结合起来的一个例子.

7、B

【命双目的】考查定积分的几何意义.

【洋3解答】由题设条件，易知f(x)在％轴上方、单调下降且向上

凹，如图所示,E、Sz和S3分别为图中所示区域的面积，显然<S]

<Sy

【易错辨析】由所给条件和定积分的几何意义可从几何图形中

选出正确选项.

【延伸拓展】此题既可从性质入手比较图形面积，也可直接计算

出找出答案

8、B

【6m目的】考查极值、拐点的判定.

【详®都答)由/'(工°)=o知所是/(%)的驻点，将％=加代入微分方程

x/*(x)+3x[f,(x)]2=1-e-\

”-1

得fHM=

M)e*0

可见无论飞(K0)为何值，都有/”(3)>0,

所以工=3是函数/U)的极小值点.

【易错辨析】充分利用所给条件及x0点一阶或二阶导数的性质.

【延伸拓展】极值问题一般用定义或第一、第一充分条件判定.

9、A

【命皿目的】考杳周期函数的积分性质和分步积分法.

【详细解答】由于函数e'%in£以2”为周期，

因此F(x)=「5iM

^sin/dl=£\Sin4d4(为常数)

=-(e""dcost=。+[cos2te5l,udt>0.

【易错辨析】利用周期函数的积分性质可简化积分运算，利用积分保号性判定可以F(x)的符

号.

【延伸拓展】一般地，若f(x)是以7为周期的连续函数,则必有「7(%)也=p(x)dx.

10、D

【命题目的】考查考生对分段函数的理解和领会.

【详细解答】根据g(工)的定义知，复合函数

g[f(x)]=/(工)*0,

UV(x)+2,/(x)>0.

而兀<0时/(%)=x2>0；zN0时J(4)=-%W0.

X<0,

故gg)]叱:2

欠N0.

【易错辨析】由复合函数的定义，分段确定g[/(x)]的表达式.

[延伸拓展】与分段函数有关的题目是常见题型,应予以重视.

三、解答题

11、

【"双目的)考查极限的四则运算.

本题为“史”型未定式.

00

［详细解答1］原式=litnTT；

…-sinz

<-♦*JIl-产1

【弹独解存2】先进行有理化，再计算.

•Jx+sinx(\/4x2+x-1-x-1)

J__2

-2

［易错辨析］应特别注意:当“—8时，将一提出根号外时应为-乂

【延伸拓展】对巴型不定式，基本方法是分子、分母同除以最大的“项”，此题中注意到工T-8,

00

为了避免出错，故可令，=-x.

12、

【,见目的】考查参数方程及隐函数求导.

【.■通一坟】y=r(x)由参数方程和隐函数方程联合确定，求今须先分别求出招和笔而求富

应按隐函数求导法计算.也可以将，=tanx代入方程2y-9+e'=5中，两边对工求导便可解出

叱

dx-

得业

因*=)(，./).

dx2(1-ty)

［详演都答2】由欠=arctanf,得l=tanx,将其代入题目中第二式有2y-y2tanx+e”"=5,

两边对“求导得

dyAy.22.un*2

o2,-oZy••tan%-y••secx+e•secx=A0,

axax

解得

dy_(y2e'g)(1+lar?%)

dx2(1-ytanz)

［易错辨析】求用须先分别求出华及今，而今的计算又要按隐函数求导法计算.

【延伸拓展】参数方程求导和隐函数求导是考研的重点，应多练习.

13、

【命用目的】考查不定积分的分步积分法.

帖点拨】被积函数为两个不同类型的函数之积，应考虑采用分步积分法.

222

［洋加a答】原式=-^-e*(tanx+1)-je〃(tanx+1)secxdx

=y-e2*(tanx+1)2-Je2jftanxsec2zdx-卜2*se—dx

=-^e2*(tanx+1)2--^-e2xlan2x+Je2xtan2%dx一/e2tsec24dx

=-^-e2,(2tanx+1)-Je^dx

="^~e"(2tanx+1)-=+C

=e^tanx+C.

【易错辨析】熟练应用分步积分法，选择一个凑微分的函数是分步积分的关键.

【延伸拓展】在积分时，往往会出现某些复杂积分重复出现的情况,这时我们不必苛求每一部分

都能积出，常常是可以将其消去或其即为所求积分.

14、

【命题目的】考查一阶微分方程的解法.

(4跄点拨】由于也,dy前的系数是关于x,y的二次式，方程为齐次方程，可引入变换y=8,将

原方程化为可分离变量的方程再求解.

【洋答】易知此方程为齐次方程，令y=ux,则

代人原方程有

皿=_3(u2-M-1)

Ax2u-1'

此为可分离变量方程，解得

u2-u-1=C”，即/-町--=Cx~l.

【易错辨析】正确地判断方程的类型，是解题关键.

【延伸拓展】求解一阶微分方程，应先确定方程的类型,再选择适当的方法.

15、

【•"目的】考查线性方程的解的结构及常系数线性齐次方程的特征方程法.

【电路点报】由解与特征根的对应关系得特征方程，由特征方程与齐次线性微分方程的对应关

系得齐次线性微分方程,然后再得非齐次项.

由题设，并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知*-h=e-是齐次方程的

解，而力-e-=%/仍为非齐次方程的特解,进而得力-加，=e〃为齐次方程的解，即有e”与e-"

是相应齐次方程的两个线性无关的解，且“不是非齐次方程的一个特解，故

y=xe'+Ge"+C,e'x

是所求方程的通解，由

1u1

y'=e*+xe+2Cte—^e',

x

y"=2e*+xe*+4。产+C2e-

消去GG得所求方程为

y*--2y=e*-2xe,.

［易储辨析］熟悉掌握并运用线性方程解的结构是解题的关键所在.

［延伸拓虑］此题为求解微分方程的反问题,解题的依据是线性方程解的结构以及解常系数线

性齐次方程的特征方程法.

16、

【命班目的】考查矩阵方程的解法.

【，电路点拨)先利用A的可逆性将原矩阵方程化简，再求氏

【详如对谷)因IAIK0,在A?-4Z?=七两边左乘A-、得

A-B=A'1,即3=A-A-1.

(11-n/I-1-2A

又由A=011得内=011,

<00-1>、00-1>

’11-n(\-1~2\(021、

从而3=011-011=000

<00-1>、oo-1Jlo00>

【易错辨析】可以利用等式444=E来验证4的计算是否正确.

【延伸拓展】设4,B是n阶矩阵，若4B=&则4,8均可逆且互为逆矩阵

17、

【“双目的】考查含参数线性方程组的解法.

［*«■*«.］考虑到方程的个数与未知量的个数一致，可用克莱姆法则求解，当系数矩阵行列式

IAI#0时有唯一解;而当IAI=0时，可确定参数人,最后转化为不含参数的线性方程组求解.

【洋看M番】原方程组的系数行列式

2A—1

A-11=5A2-A-4=(A-1)(5A+4),

45-5

故当A#1且4K-义时，方程组有唯一解.

rlOxj-4X2-5X3=5,

<4xj+5X2-5X3=-10,

4xj+5X2-5X3=-1,

对其增广矩阵的施行初等变换：

(10-4-5：5\(10-4-5：5、

45-5：-10P45-5：-10,

、45-5：-1JV000：9;

1•

可见当A=-*时,原方程组无解.

［易错辨析】对线性方程组的增广矩阵作初等行变换相当于对方程组进行同解变形•

【延伸拓展】方程个数与未知量个数相同的线性方程组就=0,当141#0时有唯一解；当I4

I=0时,无解或有无穷多解.在后一情况下，通常要对增广矩阵施行初等行变换进一步讨论并求

解.

18、

♦■目的】考查极坐标系下求面积和弧长的方法及微分方程的解法.

【息珞点拨】在极坐标系中，由曲线r(0)及射线8=a,6=B围成的曲边剧形的面积为

曲线弧r=r(0)(aW6W0)的长度为［，产(/)+尸(夕)曲

【洋加N甘】由题设，有

/司。=X〃+产她

两边对。求导，得

r2=，r2+r”,即/=±rJ¥-1,

从而严一=上此，

r/r2-1

因为/---=—arcsin—+C,

1rr

所以-arcsin十+C=±ft

由条件r(0)=2^C=尢

故所求曲线L的方程为

rsin(菅干。)=1,即r=csc(1•干。)，

oo

亦即直线方程为

x+V§y=2.

【易错辨析】利用极坐标下的面积及弧长建立微分方程并解此微分方程是关键.

【延伸拓展】本题由几何问题建立微分方程，所以要求我们熟悉极坐标下面积及弧长的计算方

法.

19、

【命双目的)考查定积分的几何应用、微分方程求解及函数极值.

【,，珞点拨】先由微分方程

xf'(x)=/(x)+y?

求得/(x)为参数a及任意常数C的函数，再由题设S的面积为2,定出a、C的关系式，最后得体积

U为a的函数*a),对Ma)求最值即可.

[•**»«*]由题设知，当x*0时，

=.，即；*)]=芸

据此并由/(外在点工=0处的连续性，得

f(x)=—ax2+Cx,xe[0,1].

又由已知条件得

2=((yax2+Cx)dx=(yax3+yx2)|：=ya+yC.EPC=4-a.

因此/(x)=yax2+(4-a)x.

旋转体的体积为

V(a)=irjf/(x)<k=[yax2+(4-a)x]2dx=脸a?+~a+y)?r.

由V*(a)=(=a+-1-)7r=0得a=-5.

又因片(a)=">0,故a=-5时，旋转体体积最小.

[易错辨析】在这类综合题目的解题过程中，应注意对问题进行分解，以简化计算.

【延伸拓展】这是一道涉及定积分几何应用、微分方程求解和求函数极值的综合题，要求平时加

强训练和积累.

20、

【中处目的】考查导数、变上限函数求导及连续的知识.

【路点拨】题设条件lim以垃=A隐含着/(0)=0,/70)=4,在解题时应特别注意这类隐含

x-0X

条件.被积函数中G不是积分变量，为了对Mx)求导，必须作变换u=xt.

【洋细H答】由题设，知/(0)=0,^(0)=0.

f/(u)du

令得6(x)=-------(x#0),

即即公.”0,

=0,

从而”(工)(xK0).

由导数定义有

f/(u)du

/(0)=lim----j---加华=A

…xi2x2，

xf(x)-[/(u)du

由于lim“(4)=lim

*--Ox-OxT)XlOx

=-4-y-y="(°),

从而知d(工)在工=0处连续.

【易错辨析】已知条件1而n垃=4隐含着f(0)=0及/(0)=4、对r(x)求导作变换“=也是

*l0X

这一题目中应当注意的两点.

【延伸拓展】此题中在计算lim”(工)时不可直接用洛必达法则，因为此时lim”(x)不知道是否

X-0«-*)

存在，故不满足洛必达法则的条件.

21、

【命用目的)考查导数的应用.

(,0路•点拨】令/(z)=l-&inx,讨论方程f(x)=人在开区间(。,手)内根的个数，实质上只需

研究函数/(*)在(0,年)上图形的特点J(z)=A在开区间(0,半)内根的个数即为直线y=人与

曲线y=/(%)在(0宁)区间内交点的个数.

【评•ia"答】设f(x)=x-y-sinx,

则/(4)在［0号］上连续.

由广⑴=1-Tcosx=。，得人工)在(0,子)内的唯一驻点/=arccos—.

由于当工e(O,xo)时，广⑴<0,当工e5子)时,广⑷>0,

所以/(功在［0,%］上单调减少，在［工。,m］上单调增加.

因此乙是f(x)在(0号)内的唯一最小值点，最小值为%=/(%)=xQ-y-siru:0.

又因/(0)=/(f)=0,故在(0手)内/(x)的取值范围为［%,0).

故当A任［九,0),即左<%或CO时,原方程在(0号)内没有根；

当k=%时,原方程在(0,占)内有唯一根与；

当心(兀,0)时，原方程在(0,%)和(g号)内各恰有一根，即原方程在(0号)内恰有两个不同

的根.

【易错辨析】熟练运用导数判断函数的增减、极值是解题的关键.

【延伸拓展】讨论方程的根、函数零点、曲线的交点属于同类题型，是涉及导数应用的综合题，应

予以重视.

考研数学二真题1998年

一、填空题

1、

2、

曲线y=-P♦/+2x与x轴所圉成的图形的面积4=.

3、

CInsinx.

I-r■心=________•

Jsinx

4、

设/(*)连续，则奈-/)山=________；

5、

曲线y=xln(e+L)(x>0)的渐近线方程为

X--------

二、选择题

6、

设数列X,与九满足则JIJ・=0.则下列断言正确的是

(A)若凡发散,则y.J发故(B)若x.无界,则y.必有界.

(C)若x.有界，则以必为无穷小.(D)若上为无穷小,则力必为无穷小.【]

7、

函数f(x)=(?-x-2)l-xl的不可导点的个数为

(A)0.(B)l.(C)2.(1))3.[]

8、

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量好=产4+a,其中a是比加(*-0)高阶的无

穷小，且式0)=*则式1)=

(A)7ref.(B)2m(C)ir.(D)ef.[]

9、

设函数/(a)在*=a的某个领域内连续，且/(a)为其极大值.则存在6>0,当xe(a-S,

a+5)时，必有

(A)(x-a)[/(x)-/(a)]N0.(B)(x-a)[f{x]-〃a)]W0.

(C)】im〃?一甲*0("a).(口)1加华」等在0"/。).[]

~(t-X)i(i-x)

10、

设A是任一N3)阶方阵./V是其伴随咫阵.又左为常数,且*#0.土1,则必有(心厂

(A)W.(B)4-'4*.(C)r4*.(D)*-'A*.[]

三、解答题

11.

.

求函数/(*)-(1+x)J•小在区间(0,2")内的间断点，并判断其类型.

12、

确定常数aAc的值，使lim;、今、=c(c^0).

…C〔Ml+>

13、

利用代换y=篇将方程/cow-2y,sinx+3yco<sx=e*化荷，并求出原方程的通解.

14、

计算枳^瞪方

15、

从船上向海中沉放某种探潮仪器,按探阕票求，需确定仪帮的下沉深度"从海平面算起)与下沉

速度。之间的函数关系,设仪器在重力作用下,从海平面由粉止开始铅直卜沉，在下沉过程中还受到阻

力和浮力的作用设仪器的质量为m.体积为8.海水比重为仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比

例系数为>0).试建立》与"所懵足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).

16、

17、

设有曲线丫=".过原点作其切线，求由此曲畿.切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周

所得到的旋转体的表面积.

18、

设yhy(t)是一向上凸的连续曲线,其匕任意一点(“，)处的曲率为与=在且此曲线上点

，…y

(0,1)处的切线方程为)-x♦1,求该曲线的方程,并求函数，=>(“)的极值.

19、

设二£(0,1),证明：

，<

⑴(1r)*(1+*)</；(2)i^-l<ln(1+xj-7f-

20、

设(2E-C")4T=C",其中E是4阶单位矩阵.4T是4阶矩阵4的转置哥阵,

fl2-3-2](120八

012-30120

B=・C-

00120012,

0001J©00\)

求A

21、

已知，=”,4,0,2)',■=(2,7,1,3)1叼=(0.1.-I,a)r,j3»(3,10力,4)\问：

(l)a6取何值时f不能由a,,a2,外线性衣示？

(2)*4取何值时£可由5,a,线性表示?并写出此表示式.

答案：

一、填空题

1、

.L

4,

・目的）号琮•型不定式极限的计算.

［答I）用洛必达法则,博

I________1

原式31加Ui三_工上三.ii（n上I三三

-2.1I4x/i♦./i-x

i.-2x1

=lim------,~r—,----------二«——•

-4x/iT7/T^7（y/i^7>/TT7）4

（火・N*2）将分子中的JE和/FT：分别按皮亚诺余项的泰勒公式展开,博

I♦右?-于♦（>（/）4I--~x23♦c（』）-2

原式slim----------------------------------:---------------------------------

ix

«lim（一；♦彳12）二一；.

I4U4

（5■辨析】等价无穷小代换只限于函数间是乘积关系时运用.本M中若分子为（/T77-1）

♦（/E-I）.用等价无穷小代换如JE・i-l-x,/nr7-i~会就会得出极限为。的

情误缙果.

【砥伸拓展】生型不定式求极隈可用洛必达法则和泰勒公式求解.

2、

37

五

（9用目的】考查定积分的几何应用.

（弊如期枳因武-；）=-春,，⑴=2.

/O

所以工=f一（-J+/>2x）dx♦（（—‘+2x）dx

45

（xx'八A/x,x2KP37

=（彳-17）|_「（-7+予+*）I。=五・

［易错辨析】确定图形与X轴间的位置关系非常关键.

（延伸拓展】这类题目是常规题型•

3、

—co切・Insinx-cotx-x+C.

【中♦目的】考查不定积分法.

【惮・M音】用分步积分法，有

Insinx=-Jlnsinzd(cotx)=-cotx•Insinx♦Jcot2zdz

sin2x

s-coU-Insinx+J(csc2x-1)dx

=-cotx・Insinx-coU-4+C.

【易错解析】熟练运用分步积分公式.

【延伸拓展】此题中因为」rYx=-dcotx所以可采用分步积分.

sinx

4、

xf(x2).

［♦*■»］考查含参量枳分的舁Jt

(评荐】令“«X2-n-2，dx■当rs0时="气当t=x时.u=0.故

H贝*'山'K=必/).

【・修蟒析】?■「不是枳分变量,故应先作变换.再对变限积分求导.

【熊伸拓展】一般地.若被租函数中含有与乂有关的中间变量,则应先作变量代换•然后再求导.

此种8［型是常见题目,应引起重视.

5、

【〜用目的】考行曲线渐近线的计算.

.1、

xln(ze+-)

【注答】a=lim-----------------=limln(e-)=I,

4―♦・xx

b=lim(y-ax)=limx[ln(e+-)-1]

•・一・4»X

XX

故此曲线的渐近线方程为y=x+L

e

【易皆辨析】按定义求极限得出"J,才能确定渐近线的类型.

［延伸拓JR)求曲线的渐近线是常考的题型.一般应通过极限确定垂直、水平及斜渐近线.

二、选择题

6、D

7、C

【■■国目的】考查对函数分段点处可导性的讨论.

[**"**«•]一般来说函数IX-XoI在#=*0点不可导，但(X-X。)I工-&I在X=和点可

导,而本题中

/(«)=(xl-x-2)I-xI=(x-2)(x+1)Ix(*-1)(*+1)I,

可能的不可导点为x=0,x=i,x=-1,但在绝对值符号外有因子x+I,所以x=-1应为可导

点.故最终不可导点应为2个，把/(外用分段函数表示后可确定/(外在x=-1可导,但在x=0.

X»1处不可导.

【易错辨析】分段函数与含有绝对值的函数的可导性的讨论方法类似，分段点是可能的不可导

点.

【延伸拓展】若爪X)在点x=方处连续,则/(X)=1x-*013(力在工=与可导的充要条件

是r(*o)=0.

8、A

目的】考查导数微分的微念.

由题[设r=产?”+也因啊呆=0,由读分的定义,知〃x)在任意点可微,

旦

v'=_2—

、7T7

此方程为一可分离变量的方程,分离变量得

曲-也

y-1+/'

解得InI,I=arclanx♦G.即y=Ce-

由y(0)=n•知C=17,

于是yQ)-ire--,

所以>(l)=k-i"'HkJ.

【8・M番2】由Ay«•法y+a.两边除以再令dx-o取极限，得y'•，以下解法同

详解一.

(IMt耕析】只有熟练掌握微分的概念及微分方程的求解方法才可解决好此趣

【延伸拓展】该题将可微的概念与微分方程结合起*，既基础乂俅合・

9、C

考查极值的定义.

[评由题设，存在邻域(a-6,a+6).使当工e(a-5,a+5)时，有/(幻W/(a)

所以

当a-6<x<a时,(x-a)[/(x)-/(a)]N0;

当a<x<a+50^,(*~a)[/(x)-/(<*)]SO.

因此(A)、(B)不成立.

考虑到(C)、(D)两项中分母均大于零，而分子部分有

limg)-X*)]=—<»)・〃*)>0,

t-M

所以必有(C)成立.

[易错辨析]熟练利用极大值的定义是解决问题的关键.

【延伸拓展】有时一道题目中涉及的不仅是一个知识点，此题对极大值、连续的概念都有涉及.

10、B

[力网目岭]考查伴随矩阵的概念与性质.

["箭I]采用加强条件的技巧，设A可逆•则由

AA*=A*A=I4IE

知A-=1AIA-1,

于是(")•=1Ml•(AA)**=4*I4I-yA'1=4-'-IAlA'=—

所以应选(B).

施设及射0,±I,n,3.主要是为了做到4个选项只有1个是正确的.

【用番2】由/C的定义，设4=(%).…其元素勾的代数余子式记作仆，则矩阵S=

…若其元素的代数余子式记作A/iJ=12,…,n),由行列式性质有金==1,

2,…/).从而(■)'=f.

【易错辨析】应熟悉隹随矩阵的定义与基本性质:融•==141E.

【延伸拓展】对任意Mn2s2)阶方阵4与任意常数及都有CM1二/-'〃.

三、解答题

11、

【♦・"«»)考查间断点的确定与分类.

[<»AM]初等函数无定义的点即为要找的间断点，问题转化为求——J一无定义的点•

【♦-X一】——上一在区间(0.2k)内不存在的点为*-手号各点JQ)在区间

Un(x--^)4444

4

(0.2k)内的间断点是一!——不存在的点.即XH手岑.匕号各点.

un(x-f)4444

4

在x=子■处.lirn/(x)=+8,在**?处，lim/(x)■+«,

4i料41%.

故x=方?处■，)为第二类间断点•

在X・¥处・1叫〃工)=I.在X=£处，hm7U)-I.

441场J

但相应的函数在上两点处无定义.故x=亨•普为〃x)的可去间断点.

(•解析】间数点的确定是先决条件.其次极限的计算也很关区.

【延伸拓展】间断点的确定有规律可循,而间断点的类型也是较易掌握的，只需要保证极限计算

的正确性.

12、

［♦皿日g）考直被限逆问圈的计算.

（点K】利用极限存任，确定极限式中的常数.由于含有变限枳分,应注意应用洛必达法则.

fix—sinx

当x―►0时.ax—eimr♦。,毁3存在而不为事.

故或叫d

=0.囚此6必为0.

内若&>0,则在（0,6］内,ln（l：Q>O；

若b<0,则在出0）内卜（丁）>0.

利用洛必达法则有

..ax-sinxa-co&x.•a-cosx

lim-7;,.r;-=hm---------r-=lim;.

i工ln（l+1）&iln（1+丁）…x2

若aQl,则上式为8.与条件不符.故a=1,

从而再用洛必达法则（或等价无穷小代换）,得c口-1-.

因此a=1,6=0,c=/*.

【易告辨析】正确分析出分母的极限值从而确定常数4是关键.

［延伸拓展】本题属极限的逆问题,不仅是要求综合运用相关知识,而且要有较好的分析能力.

13、

【体•用目的】考杳常系数线性微分方程的化筒及求解.

先利用代换将原方程化为关于u的方程.再求解.

［许番1］在“二ycosx两端对x求导,得

y'cosx-ysinx,

y^cosx-2,'sinz-ycosx.

于是原方程化为

uw*4u=e",

其通解为

u=C|Cu»2z+C2sin2x♦］"（G、G为任意常数）.

从而原方程的通解为

-CCM2X..一.e,

y■G.-------♦C^inx♦z--------,

cosx5coax

[怦*M*2]

y二usecx,

y*=〃'secx+usccx,tanx,

y9=u^secx+2u'secx•tanx+usecx•tan3%+usec3x,

代入原方程得

u*+4u=e*.

以下同详解一.

［易错辨析】正确将原方程化为关于u的方程，要注意与原方程结构的关系.

［延伸拓展】此题化简方程的过程其实是对观察能力的考查・

14、

的】考查定积分的计算.

被枳函数中含有绝对值，一般应先将IX-写成分段表达式

.2.[X-X1»0CX<1

HL-,

再将所给枳分写成两个积分之和.注意此处两个积分均为广义积分.

4

f-^=dxslimarcain(2x-1)|^«-y,

=limln[(x-—)♦

1・2

因此于=孑j（2♦⑸♦

【易错婵析】去掉分母中的绝对值及配方是关犍.

【延伸拓展】被枳函数中含有/ax'+任时,一般都先配方，再积分.

15、

[H的】考查微分方程在物理中的应用.

首先建立坐标系,再根据牛顿第二定律建立微分方程,最后求解.

【洋・刈答】取沉放点为原点0,y轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得

d2y

md?Smg-Bp-kv、

这是y时，的二阶可降阶的微分方程,其中。-冬，按典型的降阶办法,有

QI

dt'd-dtdydtdy*

从而原始化为

mv'=mg-Bp-kv,

按分离变量办法解之:

mv,dv,y=--爪吗；物!ln(mg-Bp-kv)+C.

mg-Bp-kv>Aft

初始条件为d=0,求出

'f«0

C=>%J坳）ln（%・即）.

m(mg-Bp)、mg.Bp-ku

故所求的函数关系式为：y=-十mg・Bp.

【易错辨析】由于参数较多，在计算时应特别仔细.

【延伸拓展】这类问题的关键是建立微分方程及其初始条件.

16、

【命的】考查罗尔定理、变限积分及单调性.

【44点”)由定积分的几何意义，相当于要求证明存在一点工。e(