人教A版2019高二年级选修2《导数在函数的单调性中的应用》教学设计

人教A版2019高二年级选修2《导数在函数的单调性中的应用》教学设计课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容是《人教A版2019高二年级选修2》中的《导数在函数的单调性中的应用》。具体内容包括导数的基本概念，导数与函数单调性的关系，以及如何利用导数判断函数的单调区间。

2.教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念、图像以及求导法则等知识。本节课将引导学生运用已学的导数知识，探讨导数与函数单调性之间的关系，从而加深对函数单调性的理解，并学会利用导数解决实际问题。教材中涉及到具体的函数实例，如一次函数、二次函数和指数函数等。二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标在于培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。通过探究导数与函数单调性的关系，学生将学会如何运用数学知识解决实际问题，发展其数学抽象思维和数据分析能力。同时，通过具体函数的单调性分析，学生将增强对数学概念的理解和运用，提升数学建模和数学推理的能力，为后续学习打下坚实的基础。三、重点难点及解决办法重点：理解导数与函数单调性的关系，掌握利用导数判断函数单调区间的步骤。

难点：1.对于导数概念的理解和应用；2.函数单调性判断中复杂函数的处理；3.理论应用到具体函数实例时的转换。

解决办法与突破策略：

1.强化导数概念：通过实例讲解和练习，让学生深入理解导数的几何和物理意义，以及导数与函数单调性之间的内在联系。

2.逐步引导：从简单的一次函数和二次函数入手，让学生逐步掌握判断单调性的方法，再逐渐过渡到更复杂的函数。

3.实例演示：通过具体函数的例题演示，让学生看到如何一步步利用导数判断单调区间，强调解题步骤的条理性和逻辑性。

4.练习巩固：布置适量的练习题，让学生在实际操作中巩固知识，同时教师通过批改作业发现学生的常见错误，及时进行针对性讲解。

5.互动讨论：鼓励学生提问和参与讨论，通过小组合作学习，让学生相互学习，共同解决问题，提高解决问题的能力。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都配备了《人教A版2019高二年级选修2》教材。

2.辅助材料：准备含有所需函数图像的PPT，以及相关的数学软件，如GeoGebra，用于动态展示函数的单调性变化。

3.教学工具：准备好白板、粉笔、投影仪等基本教学工具，以及计算器供学生使用。

4.教室布置：将教室座位调整为小组合作模式，以便学生讨论和分享，同时保证投影屏幕清晰可见。五、教学过程1.导入新课

-（我）同学们，大家好。上一节课我们学习了导数的基本概念和计算方法，那么大家思考一下，导数除了表示函数在某点的瞬时变化率之外，还有没有其他的作用呢？

-（学生）老师，导数还能帮助我们判断函数的单调性。

-（我）非常好，今天我们就来学习导数在函数单调性中的应用。

2.教学新课

-（我）首先，请大家翻开教材第X页，我们一起来看一下导数与函数单调性的关系。这里有一个重要的定理，请大家读一下定理的内容。

-（学生）定理：如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，那么f(x)在(a,b)内是单调递增的；如果f'(x)<0，那么f(x)在(a,b)内是单调递减的。

-（我）很好，现在我们通过几个例题来具体应用这个定理。首先来看第一个例题，判断函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)内的单调性。

3.例题讲解

-（我）请大家先独立思考一下，如何利用导数来判断这个函数的单调性。

-（学生）老师，我需要求出f(x)的导数，然后判断导数的正负。

-（我）正确。现在我们一起求出f(x)的导数。f(x)=x^3-3x，那么f'(x)=3x^2-3。接下来，我们要找出f'(x)的正负区间。

-（学生）老师，f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)，所以f'(x)>0的区间是(-1,1)，f'(x)<0的区间是(-∞,-1)和(1,+∞)。

-（我）很好，那么根据定理，我们可以得出结论：f(x)在(-1,1)内单调递增，在(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递减。

4.练习与讨论

-（我）现在请大家来做一道练习题，判断函数g(x)=x^2-2x+1在区间(-∞,+∞)内的单调性。大家可以先自己尝试，然后和小组内的同学讨论一下。

-（学生）（独立完成练习，小组讨论）

-（我）好的，现在我们来分享一下各个小组的讨论结果。哪位同学愿意分享一下你们的答案？

-（学生）老师，我们小组认为g(x)在(-∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增。

5.总结提升

-（我）非常好，这位同学总结得非常准确。通过今天的课程，我们学习了如何利用导数来判断函数的单调性。这个方法不仅适用于简单的一次函数、二次函数，还可以应用于更复杂的函数。希望大家能够通过今天的练习，加深对导数在函数单调性中应用的理解。

6.课堂小结

-（我）下面我们来总结一下今天的主要内容。首先，我们学习了导数与函数单调性的关系，掌握了一个重要的定理。其次，我们通过例题和练习，学会了如何利用导数来判断函数的单调性。最后，我们强调了导数在数学分析中的重要作用。

7.作业布置

-（我）今天的作业是：教材第X页的练习题1-4题，请大家回家后认真完成，明天交给我。同时，希望大家能够复习今天的内容，加深对导数在函数单调性中应用的理解。

8.结束语

-（我）好了，今天的课就到这里，希望大家能够有所收获。下课！六、教学资源拓展1.拓展资源：

-拓展资源一：导数在实际生活中的应用，如物理中的速度与加速度、经济学中的边际分析等。

-拓展资源二：函数的单调性与实际问题的联系，例如在优化问题中如何利用单调性找到最值。

-拓展资源三：导数与函数图像的关系，通过图像直观理解导数与函数单调性的联系。

-拓展资源四：高阶导数及其应用，如二阶导数与函数凹凸性的关系，以及高阶导数在物理中的应用。

2.拓展建议：

-建议一：鼓励学生阅读有关导数在自然科学和社会科学中的应用案例，加深对导数重要性的认识。学生可以通过阅读科普书籍、学术论文或参加相关讲座来获取这些信息。

-建议二：引导学生利用数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）进行探究学习，通过动态演示函数图像和导数的关系，直观感受导数对函数单调性的影响。

-建议三：布置一些实际问题，让学生尝试利用导数解决问题，如最优化问题、物理运动问题等。这可以帮助学生将理论知识应用到实际情境中，提高解决问题的能力。

-建议四：组织课堂讨论或小组研究，让学生探讨导数与函数单调性之间的关系，以及如何利用导数研究函数的性质。通过同伴学习，学生可以相互启发，共同进步。

-建议五：推荐学生阅读《高等数学》相关章节，了解导数的更深入内容，如导数的定义、性质、求导法则等，为后续学习打下坚实的基础。

-建议六：鼓励学生参加数学竞赛或数学建模活动，通过解决实际问题来锻炼自己的数学应用能力，同时也能加深对导数在函数单调性中应用的理解。

-建议七：指导学生进行定期的复习和总结，将所学知识系统化，形成自己的知识体系。同时，鼓励学生将所学知识与其他学科相结合，如物理、化学、经济学等，以拓宽知识视野。

-建议八：提供一些在线教育资源，如视频讲座、在线课程、互动式学习平台等，让学生在课后能够自主学习和巩固知识。这些资源应该与教材内容紧密相关，以确保学习的连贯性和深入性。七、作业布置与反馈作业布置：

1.请同学们完成教材第X页的练习题1-5题，这些题目旨在巩固我们对导数与函数单调性关系的理解。

2.选择两道题目进行深入探究，分析函数的单调性如何影响函数的图像，并尝试绘制出函数的大致图像。

3.编写一道关于导数与函数单调性的应用题，与同学们分享并在下节课进行讨论。

具体作业内容如下：

-练习题1：判断函数f(x)=x^2-4x+4在区间(-∞,+∞)内的单调性。

-练习题2：求函数g(x)=x^3-3x^2+4的单调递增区间。

-练习题3：已知函数h(x)在区间(0,3)内单调递增，且h'(x)=2x-5，求h(x)的表达式。

-练习题4：讨论函数k(x)=e^x-x在区间(-∞,+∞)内的单调性。

-练习题5：若函数p(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极大值，求a、b、c、d的关系。

作业反馈：

1.我会在下节课前批改完所有同学的作业，并将作业批改情况反馈给大家。对于共性错误，我会在课堂上集中讲解。

2.每位同学的作业我都会给出评分，并在作业旁边标注出错误的原因和可能的解决方法。

3.对于作业中的优秀解答，我会给予表扬，并邀请解答者分享其解题思路，以供大家学习。

4.针对每位同学的作业，我会提供个性化的改进建议。如果同学们在完成作业时有任何疑问，可以在下节课前找我进行一对一的辅导。

5.我会鼓励同学们相互学习，对于作业中的疑问，可以相互讨论，共同进步。八、重点题型整理题型一：求函数的单调区间

题目：求函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)内的单调区间。

解答：首先求出f(x)的导数，f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=-1和x=1。当x<-1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。

题型二：利用导数判断函数的单调性

题目：判断函数g(x)=x^2-2x+1在区间(-∞,+∞)内的单调性。

解答：求出g(x)的导数，g'(x)=2x-2。g'(x)=0的解为x=1。当x<1时，g'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，g'(x)>0，函数单调递增。因此，g(x)在(-∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增。

题型三：求函数的最值

题目：求函数h(x)=x^3-3x^2+4在区间[-2,3]内的最大值和最小值。

解答：求出h(x)的导数，h'(x)=3x^2-6x。令h'(x)=0，解得x=0和x=2。计算h(-2)=-4，h(0)=4，h(2)=2，h(3)=2。比较这些值，得到h(x)在区间[-2,3]内的最大值为4，最小值为-4。

题型四：实际应用题

题目：一辆汽车从静止开始加速，其速度v（单位：米/秒）与时间t（单位：秒）的关系为v=3t^2。求汽车在0到5秒内的加速度变化，并讨论其单调性。

解答：加速度a是速度v的导数，a=dv/dt=6t。在0到5秒内，t的取值范围为[0,5]。当t>0时，a>0，因此加速度在整个区间内