解一元二次方程（直接开平方法）（教学设计）-九年级数学上册同步备课系列

21.2.1解一元二次方程（直接开平方法）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.2.1配方法第1课时，内容包括：利用直接开平方法解一元二次方程。2.内容解析教材通过引入实际问题，利用方程的思想建立数学模型，结合我们已学平方根的相关知识，介绍求解形如x2＝p(p≥0方程的方法。再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。求解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的实质是将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用直接开平方法解一元二次方程。二、目标和目标解析1.目标通过平方根的意义，解形如x2＝p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，提高学生转化的能力，从而完成新知识的学习。2.目标解析本节课我们用到之前所学平方根的知识，通过平方根的意义，尝试求解形如x2＝p(p≥0)的方程。在此基础上，我们想要求解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，就需要借助数学转化的思想，将未知内容转化为已知知识，加以解决。利用转化的思想，在解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)方程的过程中，我们可以令mx+n=t，将方程转化为t2＝p(p≥0)，则t=±p，所以mx＋n=±p，即解(mx＋n)2＝达成目标的标志是：熟练运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。三、教学问题诊断分析对于直接开平方法解一元二次方程的探索，教材中通过具体问题，利用方程的思想建立数学模型，再经历观察、探索、归纳小结等过程，结合平方根的意义，得到求解形如x2＝p(p≥0)方程的方法。再通过转化的思想，将解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)方程转化为解两个一元一次方程的过程。解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)方程如何“降次”，成了求解此类方程的关键，首先需要判断p的取值范围。一般地，对于方程(mx＋n)2＝p②，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个不相等的实数根x1＝p−n

m,x2＝2)当p＝0时方程②有两个相等实数根x1＝x2＝−n3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2≥0，所以方程②≥实数根。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：如何通过“降次”的方法求解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)方程。四、教学过程设计（一）复习旧知，引入新课1.如果x2=a,则x叫做a的.2.如果x2=a(a≥0),则x=.3.任何数都有平方根吗？答案：平方根；±a；负数没有平方根【提问】求下列各数的平方根1）169

2）4253）0.364）2答案：(1)因为(±13)2=169，所以169的平方根是±13．(2)因为(±25)2=425

，所以425(3)因为(±0.6)2=0.36，所以0.36的平方根是±0.6．(4)因为(±32)2=214，所以21师生活动：师生共同回顾平方根的相关知识，从而引出本节课所学内容。【设计意图】先回顾平方根的知识，为本节课的学习利用直接开平方的方法解一元二次方程做好铺垫。通过问题引入课题，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情。（二）新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师生活动：学生思考，独立完成，教师板演。针对求得的结果，教师需提示学生：用方程解决实际问题时，要考虑所求得结果在实际问题是否有意义。【设计意图】利用现实生活中实例，让学生通过观察思考，感受列方程并求解的过程，体会生活中处处有数学，引起学生的探究欲望和学习兴趣，从而引出本节课所学内容。（三）新知讲解一般地，对于方程x2＝p①，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________；2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程①_______实数根。答案：1）不相等、x1＝-p,x2＝p；2）相等、x1＝x2＝0；3）≥、无师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善，最后给出具体答案。【设计意图】让学生经历观察、发现、归纳等过程，结合平方根的意义，理解如何通过直接开平方法解一元二次方程，培养学生通过观察，归纳总结的能力。（四）典例分析例1方程9x2=16的解是（）A．43 B．34 C．±4答案：C师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。【针对训练】1．方程axA．a≠0 B．ac≠OC．ac≥O D．

c2．方程x2﹣4＝0的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x＝43．方程3x2+9=0的根为（）A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根答案：1.∵ax2=c，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0，∴ca2.C3.原方程可化为：x2=−3，∵负数没有平方根，∴原方程无实数根.师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。【设计意图】通过练习使学生掌握利用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)方程的方法。（五）探究新知【问题】尝试解(x＋3)2＝5师：我们刚才尝试求解形如x2=p（p≥0）的式子，如何求解形如(x＋a)2＝p（p≥0）的式子。师生活动：让学生积极回答问题，课堂上允许学生有不同的见解，调动学生学习数学的兴趣。由教师给出数学转化思想的内容：转化思想内容：针对未知的、陌生的、复杂的问题，通过已知的、熟悉的知识将它转化为简单的问题，并尝试解决它。转化的目的：不断发现问题，分析问题和最终解决问题。学会数学转化，有利于实现学习迁移，从而可以较快地提高学习质量和提升学习数学能力。师：要想解决问题，可以先将形如(x＋a)2＝p（p≥0）的式子转化为形如x2=p（p≥0）的式子。师生活动：先让学生以小组为单位积极讨论，再由学生代表给出答案，教师借助多媒体展示具体求解过程。求解过程：令x+3=a，则原式变形为：a2=5，整理，得a=±即x1=5-3，x2=【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质是什么？师生活动：让学生积极回答问题，课堂上允许学生有不同的见解，教师引导与纠正，最后得到答案：将一个一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。【设计意图】通过将解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程转化为解形如x2＝p(p≥0)的方程，提高学生转化的能力，从而完成新知识的学习。（六）新知讲解一般地，对于方程(mx＋n)2＝p②，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根______________________；2)当p＝0时方程②有两个_______的实数根_______________；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2____0，所以方程②_______实数根。答案：1）不相等、x1＝p−n

m,x2＝−p−n

m；2）相等、x1＝x2师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善，最后给出具体答案。【设计意图】让学生经历观察、发现、归纳等过程，结合平方根的意义，理解如何通过直接开平方法解一元二次方程，培养学生通过观察，归纳总结的能力。（七）典例分析例2一元二次方程(x-1)2=9的解为（）A．4B．-2C．4或-2D．3或-3答案：C例3若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（）A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或5答案：B师生活动：先由学生回答，最后给出具体答案。【针对训练】1.一元二次方程(x+6)2A．x−6=−4B．x

-6=4C．x

答案：D师生活动：先由学生回答，最后给出具体答案。【当堂巩固】用直接开平方法解下列方程：1）2x2-50=02）4x2+12x+9=1答案：1）x1=5，x2=-52）x1=-1，x2=-2师生活动：学生进行交流讨论，尝试解决，请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一步的计算依据。（八）能力提升1．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①13x2=1；②（x﹣2）2=5；③14（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x⑥y2﹣2y﹣3=0A．1 B．2 C．3 D．42．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为(

)A．x=±12 B．x＝±1 C．±223.若(a+b﹣1)(a+b+1)﹣4＝0，则a+b的值为()A．2 B．±2 C．5 D．±5答案：1.D；2.C；3.D【设计意图】通过练习，加深学生理解通过直接开平方解一元二次方程的方法，使学生牢固的掌握本节课所学内容，为后续学习通过其它方法解一元二次方程打基础。（九）直击中考1．（2019·湖南怀化·统考中考真题）一元二次方程x2A．x1=1,x2C．x1=x2=−1答案：∵x2+2x+1=0，∴x+12=0，则x+1=0，解得2．（2020·江苏扬州·中考真题）方程x+12=9的根是答案：由原方程得x+1=±3．解得x13．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2答案：将x=0代入方程，得：a2−1=0，解得：又∵(a−1)x∴a−1≠0，a≠1，∴a=−1；故答案为：-1．4．（2022·黑龙江