专题13 等腰三角形中的分类讨论模型（解析版）

专题13等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）例1．（2023·辽宁盘锦·八年级校考月考）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（）A．26或28 B．26 C．28 D．【答案】A【分析】分8是底边和腰长两种情况讨论求解．【详解】解：若8是底边，则三角形的另两边分别为10、10，能组成三角形，周长，8是腰长，则三角形的另两边分别为8、10，能组成三角形，周长．综上所述，它的周长m的取值为26或28．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（

）A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．【详解】解：当cm为腰长时，则底边长为cm，∵，不符合题意；∴cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为：；故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．例3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】等腰三角形的的一个内角是，则可能是顶角，也可能是底角，分情况讨论即可．【详解】解：分如下两种情况讨论：当角是底角时，顶角度数为，当角是顶角时，顶角度数为．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，做题时要善于利用分类讨论思想，特别是等腰三角形在没有图的情况下．例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为．【答案】或【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即，此时，∴，若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，此时，综上，等腰三角形的顶角的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．例5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解题．【详解】解：如图：网格中满足条件的点C的个数为6个，故选：B．【点睛】本题考查网格作图—等腰三角形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．例6．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．【详解】解：如图：在中，，，，当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当与重合时，为等腰三角形；当与重合时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；综上，满足条件的点的位置有8个．故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定．例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．例8．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．【答案】【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标【详解】解：如图，当为直角顶点时，则,作轴，又,同理可得根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．例9．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．(1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．

【答案】(1)(2)或(3)或．【分析】（1）根据题意分情况讨论，列出代数式，即可求解；（2）根据题意，以及含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解；（3）依题意，得出为等腰三角形，分点从点运动到点以及从点返回，两种情况分析，即可求解．【详解】（1）解：∵，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．∴，当时，；当时，综上所述，（2）解：如图所示，当在线段上时，∵是等边三角形，∴，，当时，∴∴解得：

当在的延长线上时，∵，∴∴∴∴解得：（3）解：如图所示，当时，在上运动时，

∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形，∴，∵，．∴点在上运动的时间为：，在上运动的时间为，当点从点运动到点的过程中，，∴解得：；当，即点在的延长线上时，此时点从D运动回点C当点从点返回时，，；∴解得：；综上所述，当为等腰三角形时，或．【点睛】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．课后专项训练1．（2023春·四川成都·七年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】分是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、，因为,故不能组成三角形；②是底边长时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长，综上所述，这个等腰三角形的周长是．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．2.（2023·浙江·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分和三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：若为等腰三角形则有和三种情况，①当时，则有，故；②当时，则；③当时，则，综上可知：不可能为；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分为、，三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当时，符合条件的点有2个；当时，符合条件的点有1个；当，即当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有4个．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有(

)A．0个 B．2个 C．4个 D．8个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，∴满足条件的格点C有4个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键5．（2023·山东日照·八年级统考期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．6．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（

）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．8．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【答案】A【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．【详解】解：当时，，，当时，则，，三条线段，，不能构成三角形，当时，则，，三条线段，，不能构成三角形，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．9．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为．【答案】40°或100°【分析】由该等腰三角形的外角是140°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，40°即为所求；②当40°角为底角时，结合三角形内角和定理即可求出顶角大小．【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：，①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°；②当40°角为底角时，该等腰三角形顶角度数。故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解答本题的关键．10．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是．【答案】或【分析】根据题意分等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵，，∴，∴∴三角形的底角为；②当为钝角三角形时，如图2，∵，，∴，∵，∴∴∴三角形的顶角为，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为．【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时，作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°，∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB，在△OBA和△PCB中，∴OB=PC，OA=PB，由题意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此时，C点坐标为(4，6)；②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时，作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可证得△BOA≌△AQC，∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此时，C点坐标为(6，2)；③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时，作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°，同①理，可证得△BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM，则，即：，解得：，∴ON=2+1=3，∴此时，C点坐标为(3，3)；综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3)．【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键．12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个．【答案】8【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．13．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．【答案】或【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到.然后对中的边进行讨论，然后在中，利用三角形内角和定理即可求得的度数.【详解】∵是的中垂线,∴，∴，∵,∴，设,则，

①当时,则在中，根据三角形内角和定理可得：,解得:,则；②当时,,而,故此时不成立；③当时,在中，根据三角形内角和定理得到：，解得:，即的度数为或，故答案为或．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对的边进行讨论是解题的关键.14．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，度．

【答案】或或【分析】根据题意，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：如图，要使为等腰三角形需分三种情况讨论：

①当时，；②当时，；③当时，；综上，的度数是或或．故答案为：40或70或100．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，分类讨论是解题的关键．15．（2023·江西抚州·七年级校考开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角形的顶角是度．【答案】或【分析】本题应分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解．【详解】解：（1）当顶角较小时，顶角度数是：，（2）当顶角较大时，顶角度数为：，故答案为：或．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意：在没有说明谁大谁小的情况下应分为两种情况．16．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．

【答案】或或【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．【详解】解：由折叠的性质知，，当时，，

由三角形的外角性质得，即，此情况不存在；当时，

，，由三角形的外角性质得，解得；当时，，

∴，由三角形的外角性质得，解得；当时，，

∴，∴；综上，的度数为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．17．（2023春·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰为“倍角三角形”，则的顶角度数为．【答案】或【分析】分顶角度数是底角度数2倍和底角度数是顶角度数2倍两种情况讨论分别利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：当顶角度数是底角度数2倍，顶角：；当底角度数是顶角度数2倍，顶角：．故的顶角度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、新定义等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．18．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，已知在中，．过三角形顶点的一条直线将分割为两个等腰三角形．求的度数．

【答案】【分析】分三种情况：当时，当，时，当，时，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵，设，则，∵，即：，可得：，如图，当时，

此时，，∵，即：，解得：，即：；如图，当，时，此时，，∵，即：，解得：，即：（不符合题意，舍去）；

如图，当，时，

此时，，∵，即：，解得：，即：（不符合题意，舍去）；综上所述：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．19．（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在中，，，点为上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求的度数．

【答案】或【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再分两种情况进行讨论：①；②．【详解】解：在中，，，．分两种情况：①当时，；②当时，．综上所述，的度数为或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一．20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．【答案】(1)6(2)2(3)存在，此时M、N运动的时间为8秒(4)或或或9秒【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于，所以只要，就是等边三角形；（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在、、上运动的三种情况，再分别就是和，列方程求解可得．【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，则，解得：，即当点M、N运动6秒后，M、N两点重合；（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，如图1，，，，∵，当时，是等边三角形，∴，解得，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形；（3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设是等腰三角形，，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，在和中，∵，，，∴（AAS），∴，∴，解得，符合题意，所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以为底边的等腰三角形；（4）解：当点N在上运动时，如图3，，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得；如图4，若，，由得，解得；当点N在上运动时，点M也在上，此时A、M、N不能构成三角形；当点N在上运动时，如图5，，当点N位于中点处时，由是等边三角形知，即是直角三角形，则，解得；如图6，，当点M位于中点处时，由是等边直角三角形知，即是直角三角形，则；综上，当，，，9时，可得到直角三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清