2025版高考数学一轮复习练案39第六章不等式第三讲简单的线性规划含解析新人教版

第三讲简洁的线性规划A组基础巩固一、单选题1．下列各点中，与点(1，2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是(C)A．(0，0) B．(－1，1)C．(－1，3) D．(2，－3)[解析]点(1，2)使x＋y－1>0，点(－1，3)使x＋y－1>0，所以此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．故选C.2．要使得满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x,y≥x－4,x＋y≥2))的变量x，y表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为(C)A．x＋y≤4 B．x＋y≥4C．x＋y≤6 D．x＋y≥6[解析]依据正方形的性质可设新增加的约束条件为x＋y≤c，两组对边的距离相等，故d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)＝eq\f(|c－2|,\r(2))，所以c＝6或c＝－2(舍去)．如图所示，故选C.3．关于x，y的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,x＋y－4≤0))表示的平面区域的面积为(C)A．3 B．eq\f(5,2)C．2 D．eq\f(3,2)[解析]平面区域为一个直角三角形ABC，其中A(3，1)，B(2，0)，C(1，3)，所以面积为eq\f(1,2)|AB|·|AC|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(8)＝2，故选C.[方法总结]求平面区域的面积的方法平面区域的面积问题主要包括两类题型：(1)求已知约束不等式(组)表示的平面区域的面积；(2)依据平面区域面积的大小及关系求未知参数，求解时需抓住两点：(1)正确推断平面区域的形态，假如形态不是常见的规则平面图形，则要进行分割；(2)求参数问题一般涉及一条动直线，因此确定其位置显得更为关键，有时还要对动直线的位置进行分类探讨．4．(2024·黑龙江省大庆市模拟)设x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－y＋1≥0,x≤3))，则z＝2x－3y的最小值是(B)A．－7 B．－6C．－5 D．－3[解析]作出可行域：并作出直线l0：2x－3y＝0，平移l0到经过点E(3，4)时，目标函数z＝2x－3y，取得最小值为：zmin＝2×3－3×4＝－6.故选B.5．(2024·河北省唐山市模拟)若x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－3≤0,x＋y－1≥0,x－y＋1≥0))，则z＝2x＋y的最大值为(C)A．1 B．2C．7 D．8[解析]作出线性约束条件的可行域，如图所示：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0,x－y＋1＝0))，解得A(2，3)，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，明显直线过A(2，3)时，z最大，最大值是7，故选C.6．(2024·河北省张家口市、沧州市联考)若x，y变量满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2≥0,x－y＋2≥0,y＋1≥0))，则使z＝x＋2y取得最小值的最优解为(C)A．(－3，－1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,7)，\f(8,7)))C．(2，－1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,7)，\f(6,7)))[解析]绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0,y＋1＝0))，可得点的坐标为B(2，－1)．故选C.7．(2024·浙江湖州、衢州、丽水三地市期中)已知实数x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0,x＋y－2≥0，,y≥0))则x2＋y2的最小值是(B)A．eq\r(2) B．2C．4 D．8[解析]画出可行域如右图所示，x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线x＋y－2＝0的距离eq\f(|0＋0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，其平方为2.故x2＋y2的最小值为2.故选B.8．(2024·安徽黄山模拟)已知实数x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥0,2x－y－2≥0,x＋y－2≤0))，则eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围是(A)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(5,7))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,7))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))[解析]画出x，y满意的可行域，如下图：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,y＝0))，解得B(2，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0,x＋y－2＝0))，解得，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2,3)))，eq\f(y＋1,x＋1)可看作定点A(－1，－1)与动点P(x，y)连线的斜率，当动点P在B时，eq\f(y＋1,x＋1)取最小值为eq\f(1,3)，当动点P在C时，eq\f(y＋1,x＋1)取最大值为eq\f(\f(2,3)＋1,\f(4,3)＋1)＝eq\f(5,7)，故eq\f(1,3)≤eq\f(y＋1,x＋1)≤eq\f(5,7)，故答案为A.

二、多选题9．若原点O和点P(1，1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值可以是(BC)A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]由题意得(－a)·(1＋1－a)<0，解得0<a<2，故选B、C.10．(2024·广东调研改编)若x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x－2≤0，,x＋y－2≥0，))且z＝ax＋y的最大值为2a＋6，则a的取值可以是(ACD)A．1 B．－2C．－1 D．0[解析]作出约束条件表示的可行域，如图所示．因为z＝ax＋y的最大值为2a＋6，所以z＝ax＋y在点A(2，6)处取得最大值，则－a≤1，即a≥－1.故选A、C、D三、填空题11．(2024·课标Ⅲ，13)若x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,2x－y≥0，,x≤1，))则z＝3x＋2y的最大值为7．[解析]如图所示，x，y满意的可行域为△AOB及其内部．由目标函数z＝3x＋2y得y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2).当直线y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)过点A(1，2)时，z取最大值，最大值为7.12．(2024·北京，13)若x，y满意x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是3．[解析]由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分．设z＝2y－x，则y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＝x＋1，))得A(1，2)．由图可知，当直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z过A(1，2)时，z取得最小值，zmin＝3.13．(2024·北京朝阳区一模改编)已知实数x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－y－1≤0，,y≤1，))则不等式组表示的平面区域面积为1；若x＝mx＋y(m>0)取得最小值的最优解有多数多个，则实数m的值为1．[解析]本题考查线性规划的应用．作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x－y－1＝0))得A(2，1)，则不等式组表示的平面区域面积为eq\f(1,2)×1×2＝1.由z＝mx＋y(m>0)得y＝－mx＋z，∵m>0，∴直线y＝－mx＋z的斜率k＝－m<0.平移直线y＝－mx，由图形可知当直线y＝－mx＋z和直线x＋y－1＝0平行时，目标函数取得最小值的最优解有多数多个，∴m＝1.14．(2024·四川资阳二诊)某企业在“精准扶贫”行动中，确定帮助一贫困山区将水果运出销售，现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用是320元，乙型车每天费用是504元．若须要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运输这批水果的费用最少为2_560元．[解析]本题考查线性规划的实际应用．设支配甲型车x辆，乙型车y辆，由题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4×6x＋3×10y≥180，,0≤x≤8，,0≤y≤4，,x，y∈N，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥30，,0≤x≤8，,0≤y≤4，,x，y∈N，))运输这批水果的费用z＝320x＋504y，作出不等式组所表示的平面区域如图所示，是由四点(2.5，4)，(8，4)，(8，0)，(7.5，0)围成的梯形及其内部的整点，包含的整点有(8，0)，(7，1)，(8，1)，(5，2)，(6，2)，(7，2)，(8，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(7，3)，(8，3)，(3，4)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(7，4)，(8，4)．作出直线320x＋504y＝0并平移，当直线过点(8，0)时，在y轴上的截距最小，此时z最小，即zmin＝8×320＝2560(元)．B组实力提升1．若直线y＝ax＋2a与不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0,x≤3,x＋y－3≥0))表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5))) B．[0，9]C．[0，＋∞) D．(－∞，9][解析]作出满意已知约束条件的可行域，将目标函数y＝ax＋2a转化为a＝eq\f(y,x＋2)＝eq\f(y－0,x－（－2）)其等价于可行域中随意一点与A(－2，0)的直线的斜率，则kAC≤a≤kAB，明显kAC＝0，kAB＝eq\f(4.5－0,－1.5－（－2）)＝9，所以0≤a≤9，故选B.2．(2024·吉林延吉期中)若变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))则z＝4x·2y的最大值为(D)A．eq\f(1,8) B．3C．4 D．8[解析]本题考查简洁的线性规划．由题知z＝4x·2y＝22x＋y，由变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))得如图所示的三角形区域．设m＝2x＋y，则y＝－2x＋m，平移直线y＝－2x，由图形可知当经过点C时，直线y＝－2x＋m在y轴上的截距最大，此时m最大．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝－1，))得C(2，－1)，则m＝2×2－1＝3，z取得最大值8.故选D.3．(2024·广东省中山市第一中学模拟)已知实数x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,4x＋3y≤12，))则eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，11)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，11))C．[3，11] D．[1，11][解析]eq\f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋2×eq\f(y＋1,x＋1)，表示动点P(x，y)，与定点M(－1，－1)，连线斜率k的两倍加1，由图可知，当点P在A(0，4)点处时，k最大，最大值为11；当点P在B(3，0)点处时，k最小，最小值为eq\f(3,2)；从而eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，11)).4．(2024·广东江门市模拟)在直角坐标系xOy中，记eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,x－2y>0,x－y≤1))，表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一