七年级数学上册有理数-绝对值(含解析)

七年级数学上册有理数——绝对值考试要求：内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题重难点：绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.求字母的绝对值：①②③利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（2）若，则或；（3）；；（4）；的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．例题精讲：【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A、±2B、2C、-2D、4【难度】1星【解析】此题要全面考虑，原点两侧各有一个点到原点的距离为2，即表示2和-2的点．【答案】根据题意，知到数轴原点的距离是2的点表示的数，即绝对值是2的数，应是±2．

故选A．点评：利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题，体现了数形结合的数学思想．【例2】下列说法正确的有（）

①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A、②④⑤⑥B、③⑤C、③④⑤D、③⑤⑥【难度】2星【解析】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断．【答案】①0是有理数，|0|=0，故本小题错误；

②互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题错误；

③互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题正确；

④有绝对值最小的有理数，故本小题错误；

⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的，所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，故本小题正确；

⑥只有符号不同的两个数互为相反数，故本小题错误．

所以③⑤正确．

故选B．点评：本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点，熟知以上知识是解答此题的关键．【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（）A、2B、-2C、±2D、【难度】1星【解析】根据题意可知：绝对值等于2的数应该是±2．【答案】2的绝对值是2，-2的绝对值也是2，所以a的值应该是±2．

故选C．点评：本题考查了绝对值的概念，学生要熟练掌握．【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（）A、11aB、-11aC、-3aD、3a【难度】2星【解析】：本题考查有理数的绝对值问题，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零【答案】：解：∵a＜0，

∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a．

选C．【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A、1，0B、正数C、非正数D、非负数【难度】1星【解析】：根据绝对值的性质进行解答即可．【答案】解：因为一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，

所以一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是非负数．

故选D．【例6】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（）A、7或-7B、7或3C、3或-3D、-7或-3【难度】2星【解析】先根据绝对值的定义求出x、y的值，再由xy＞0可知x、y同号，根据此条件求出x、y的对应值即可．【答案】解：∵|x|=5，|y|=2，

∴x=±5，y=±2，

∵xy＞0，

∴当x=5时，y=2，此时x-y=5-2=3；

当x=-5时，y=-2，此时x-y=-5+2=-3．

故选C．点评：本题考查的是绝对值的性质及有理数的加减法，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．【例7】若，则x是（）A、正数B、负数C、非负数D、非正数【难度】2星【解析】本题作为选择题可用排除法进行解答，由于是分式，所以x≠0，故可排除C、D；再根据x的取值范围进行讨论即可．【答案】：解：∵是分式，

∴x≠0，

∴可排除C、D，

∵当x＞0时，原式可化为=1，故A选项错误．

故选B．点评：本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【例8】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（）A、1-b＞-b＞1+a＞aD、1-b＞1+a＞-b＞aC、1+a＞1-b＞a＞-bB、1+a＞a＞1-b＞-b【难度】3星【解析】根据绝对值的定义，可知a＞0，b＜0时，|a|=a，|b|=-b，代入|a|＜|b|＜1，得a＜-b＜1，由不等式的性质得-b＞a，则1-b＞1+a，又1+a＞1，1＞-b＞a，进而得出结果．【答案】∵a＞0，∴|a|=a；

∵b＜0，∴|b|=-b；

又∵|a|＜|b|＜1，∴a＜-b＜1；

∴1-b＞1+a；

而1+a＞1，

∴1-b＞1+a＞-b＞a．

故选D．点评：本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．【例9】已知a、b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）A、2B、2或3C、4D、2或4【难度】2星【解析】根据互为相反数的两数和为0，又因为|a-b|=6，可求得b的值，代入即可求得结果判定正确选项．【答案】∵a、b互为相反数，

∴a+b=0，

∵|a-b|=6，

∴b=±3，

∴|b-1|=2或4．

故选D．点评：此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值，再确定绝对值符号中代数式的正负，去绝对值符号．【例10】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A、6B、-4C、-2a+2b+6D、2a-2b-6【难度】2星【解析】：根据已知条件先去掉绝对值即可求解．【答案】解：∵a＜0，ab＜0，

∴b-a+1＞0，a-b-5＜0，

∴|b-a+1|-|a-b-5|

=b-a+1+a-b-5

=-4．

故选A．【例11】若|x+y|=y-x，则有（）A、y＞0，x＜0B、y＜0，x＞0C、y＜0，x＜0D、x=0，y≥0或y=0，x≤0【难度】4星【解析】根据绝对值的定义，当x+y≥0时，|x+y|=x+y，当x+y≤0时，|x+y|=-x-y．从中得出正确答案．：【答案】解：∵|x+y|=y-x，

又当x+y≥0时，|x+y|=x+y，可得x=0，y≥0或者y=0，x≤0

又当x+y≤0时，|x+y|=-x-y，可得y=0，x≤0或x=0，y≥0

∴x=0，y≥0或y=0，x≤0

选D．点评：此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出x，y的值是解答此题的关键．【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A、是正数B、是负数C、是零D、不能确定符号【难度】4星【解析】：先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小，再画出数轴确定出各点在数轴上的位置，根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值，使原式得到化简．【答案】：解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：

所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0

【例11】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；

（3）若|m|＞m，则m＜0；

（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（）A、（1）（2）（3）B、（1）（2）（4）C、（1）（3）（4）D、（2）（3）（4）【难度】3星【解析】：分别根据绝对值的性质、相反数的定义进行解答．【答案】解：（1）正确，符合绝对值的性质；

（2）正确，符合绝对值的性质；

（3）正确，符合绝对值的性质；

（4）错误，例如a=-5，b=2时，不成立．

故选A．（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数，叫互为相反数；

（2）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例12】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________【难度】3星【解析】：根据图示，可知有理数a，b，c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞-1，然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值．【答案】：解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞-1，

∴|c-b|-|b-a|-|a-c|

=-c+b-b+a-a+c

=0

故答案是0．点评：本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较．【例13】若x＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|=________【难度】3星【解析】根据已知x＜-2，则可知1+x＜0，x+2＜0；再根据绝对值的定义|1-|1+x||逐步去掉绝对值可转化为-2-x

根据已知|a|=-a与绝对值的定义，那么a≤0，则|a-1|-|a-2|可去掉绝对值后【答案】∵x＜-2，∴1+x＜0，x+2＜0，

则|1-|1+x||=|1-[-（1+x）]|=|2+x|=-2-x；∵|a|=-a，

∴a≤0，

∴a-1＜0，a-2＜0，，

则|a-1|-|a-2|=1-a-（2-a），

=1-a-2+a，

=-1．

故答案为：-2-x，-1．点评：此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出1+x＜0、x+2＜0、a≤0

进而得出a-1＜0、a-2＜0，这些是解答此题的关键【例14】，分别求的值【难度】3星【解析】根据平方和绝对值的非负性解决。【答案】可得；所以【例15】的最小值是_______【难度】4星【解析】根据绝对值的定义，对本题需去括号，那么牵涉到x的取值，因而分①当x＜-1；②当-1≤x≤5；③当x＞5这三种情况讨论该式的最小值．【答案】①当x＜-1，|x+1|+|x-5|+4=-（x+1）+5-x+4=8-2x＞10，

②当-1≤x≤5，|x+1|+|x-5|+4=x+1+5-x+4=10，

③当x＞5，|x+1|+|x-5|+4=x+1+x-5+4=2x＞10；

所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10．

故答案为：10．点评：本题主要考查了绝对值的定义．如何去掉绝对值是解决本题的关键，因而采用了对x的取值讨论，去掉绝对值，进而确定式子的最小值．【例16】计算=【难度】4星【解析】根据绝对值的定义，去掉绝对值符合，化简求值．【答案】==

=

=

故答案为点评：解决本题的关键是去掉绝对值符号后，部分数值恰好是互为相反数，其和等于0．【例17】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________【难度】4星【解析】根据绝对值的性质进行化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【答案】∵|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，

∴a≤0，b≤0，c≥0，

∴a+b≤0，c-b≥0，a-c≤0，

∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b．

故答案为b．点评：此题考查了绝对值的性质，同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．【例18】已知：abc≠0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有____种不同可能．

当a、b、c都是正数时，M=______；当a、b、c中有一个负数时，则M=________；当a、b、c中有2个负数时，则M=________；

当a、b、c都是负数时，M=__________．【难度】4星【解析】：根据abc≠0，可以知道，a、b、c一定不可能是0，可以分三个中都是正数，只有一个负数，有2个负数，3个都是负数，4种情况进行讨论即可．【答案】当a、b、c中都是正数时，M=1+1+1=3；

当a、b、c中有一个负数时，不妨设a是负数，则M=-1+1+1=1；

当a、b、c中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则M=-1-1+1=-1；

当a、b、c都是负数时，M=-1-1-1=-3；

故M有4种不同结果．课堂检测：1.若a的绝对值是，则a的值是（）A、2B、-2C、D、【难度】1星【解析】：根据绝对值的意义可知：表示数a的点与原点的距离为，这样的点有两个，分别在原点的左右两侧．求出即可．【答案】解：∵|a|=，∴a=．

故选D．点评：此题注意考查绝对值的意义，应多让学生借助数轴，直观的观察、总结、归纳结论．2.若|x|=-x，则x一定是（）A、负数B、负数或零C、零D、正数【难度】1星【解析】：根据绝对值的性质进行解答即可．【答案】：解：A、错误，例如x=0时不成立；

B、正确，符合绝对值的性质；

C、错误，x＜0时原式仍成立；

D、错误，例如|5|≠-5．

故选B．点评：本题考查的是绝对的性质，根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键．2.如果|x-1|=1-x，那么（）A、x＜1B、x＞1C、x≤1D、x≥1【难度】1星【解析】：根据|x-1|=1-x可确定x-1的符号，再根据不等式的性质解答即可．【答案】：解：∵|x-1|=1-x，

∴x-1≤0，

∴x≤1．

故选C．点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

在确定x与1的大小关系时要利用不等式的相关性质．3.若|a-3|=2，则a+3的值为（）A、5B、8C、5或1D、8或4【难度】2星【解析】：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出a的值，再把a的值代入a+3进行计算即可．【答案】：解：当a-3≥0，即a≥3时，原不等式可化为a-3=2，a=5，故a+3=5+3=8；

当a-3＜0，即a＜3时，原不等式可化为-a+3=2，a=1，故a+3=1+3=4．

故a+3=8或4．

故选D．点评：本题考查的是绝对值的性质，解答此题题目是要注意分类讨论，不要漏解．4.若x＜2，则|x-2|+|2+x|=________________【难度】2星【解析】：已知x＜2，可得x-2＜0，先分类讨论，然后根据绝对值的性质进行求解．【答案】：解：∵x＜2，

∴x-2＜0，

①若-2≤x＜2，

∴|x-2|+|2+x|=-（x-2）+2+x=4；

②x＜-2，

∴x+2＜0，

∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x．

故答案为：4或-2x．点评：此题主要考查绝对值的性质，当x＞0时，|x|=x；当x≤0时，|x|=-x，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，是一道好题．5.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【难度】2星【解析】根据绝对值的概念，即数轴上表示数的点到原点的距离叫这个数的绝对值，结合数轴，知绝对值小于6的所有整数分别是±1，±2，±3，±4，±5，0，进一步求得其和与积．【答案】绝对值小于6的所有整数分别是±1，±2，±3，±4，±5，0．

则它们的和是0，积是0．

故答案为0，0．点评：此题考查了绝对值的意义以及有理数的加法和乘法运算．互为相反数的两个数的和是0；几个数相乘，若其中一个因数为0，则积为0．6.如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________【难度】3星【解析】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再根据绝对值的性质进行解答即可．【答案】∵由数轴上a、b两点的位置可知，-1＜a＜0，b＞1，

∴a+b＞0，b-a＞0，

∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a．

故答案为：3b-a．点评：本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点，能根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．7.已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为_________ 【难度】3星【解析】若|x|=2，|y|=3，则x=±2，y=±3；又有xy＜0，则xy异号；故x+y=±1．【答案】∵|x|=2，|y|=3，

∴x=±2，y=±3，

∵xy＜0，

∴xy符号相反，

①x=2，y=-3时，x+y=-1；

②x=-3，y=3时，x+y=1．

故答案为：±1．点评：本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．课后作业：1.-19的绝对值是________【难度】1星【解析】直接根据绝对值的性质进行解答即可．【答案】：解：∵-19＜0，

∴|-19|=19．

故答案为：19．点评：本题考查的是绝对值的性质，用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（A、a＞OB、a≥OC、a≤OD、a＜O【难度】1星【解析】：根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．若|-a|=-a，则可求得a的取值范围．注意0的相反数是0．【答案】：解：因为一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0或相反数，所以如果|a|=-a，那么a的取值范围是a≤0．

故选C．点评：此题考查的知识点是绝对值，关键明确绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它