专题07三角形的计算与证明-2023年中考数学大题高分秘籍

2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）专题07三角形的计算与证明【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率全等三角形的性质与判定全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的周长相等，面积相等；全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．全等三角形的判定定理：①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（3）判定两个三角形全等的思路（4）全等三角形中常见的辅助线：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．等腰三角形与等边三角形等腰三角形的性质：性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．等边三角形的性质①等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．②等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．（4）等边三角形的判定①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．②）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．4.直角三角形与勾股定理（1）定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．（2）性质：①直角三角形两锐角互余；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（3）判定：①两个内角互余的三角形是直角三角形；②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．5.相似三角形性质与判定（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．（2）性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．（3）判定：①有两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似；④两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．相似基本模型：【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质考向一、全等三角形的性质与判定1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．(1)求证AC∥DE(2)若BF=18，EC=6，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）利用SAS可证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB=∠DEF，便可证得（2）根据全等三角形的性质可知BC=EF，推出BE=CF，由此即可解决问题．【详解】（1）证明：在△ABC和△DEF中，AB=DF∠A=∠D∴△ABC∴∠ACB=∠DEF∴AC∥DE（2）解：∵△ABC≌∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，∴BE=CF，∵BF=18，EC=6，∴BE+CF=BF−EC=12，∴BE=CF=6，∴BC=BE+EC=6+6=12．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题．2．（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．(1)求证：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠D＝70°【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝12【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此题的关键．3．（2022·江苏南通·统考二模）在①DE＝BC，②∠C=∠E，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，AC平分∠BAE，D是AC上的一点，AB=AD．若______，求证：∠ADE=∠ABC．【答案】证明见解析【分析】选②，根据角平分线的性质可得∠EAD＝∠BAC．由三角形的内角和定理可得∠ADE=180°−(∠EAD＋∠E)，∠ABC=180°−(∠BAC＋【详解】若选②；证明：∵AC平分∠BAE，∴∠EAD＝∠BAC．∵∠E＝∠C，∴∠EAD＋∵∠ADE=180°−(∠EAD＋∠E)，∴∠ADE＝∠ABC．若选③，证明：∵AC平分∠BAE，∴∠EAD=∠BAC．在△ABC和△ADE中，{∴△ABC≌∴∠ADE=∠ABC．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形求得的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．4．（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF=CE．(1)说明：△ABE≌△CDF；(2)连接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠CBE=【分析】（1）根据平行线的性质，得∠A=∠DCF，再根据全等三角形的性质分析，即可完成证明；（2）根据（1）的结论，得∠AEB=∠CFD=100°；再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵AB∥CD，

∴∠A=∠DCF，∵AF=CE，AF=AE+EF，CE=CF+EF

∴AE=CF在△ABE和△CDF中，AB=CD∠A=∠DCF∴△ABE≌△CDF；（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB=∠CFD=100°∵∠BCE=30°

∴∠CBE=100°30°=70°．【点睛】本题考查了全等三角形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．5．（2019·江苏徐州·统考三模）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，【答案】(1)AB＝(2)AB＝【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD【详解】（1）解：AB＝理由为：在AB上截取AG＝AC，连接∵AD为∠BAC∴∠GAD在△ADG和△AG=∴△ADG∴DG＝CD，∵∠ACB∴∠AGD又∵∠AGD∴∠B∴BG＝则AB＝（2）解：AB＝理由为：在AF上截取AG＝AC，连接∵AD为∠FAC∴∠GAD在△ADG和△AG=∴△ADG∴CD＝GD，∴∠ACB∵∠ACB∴∠FGD又∵∠FGD∴∠B∴BG＝则AB＝【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．考向二、等腰三角形与等边三角形6．（2017·江苏苏州·统考中考模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点(1)求证：△BED是等腰三角形：(2)当∠BCD=°时，△BED是等边三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)150【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=12AC（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出12∠DEB=∠DAB，即可得出【详解】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC边的中点，∴BE=12AC∴BE=DE，∴△BED是等腰三角形；（2）∵AE=ED，∴∠DAE=∠EDA，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，∠EAB+∠EBA=∠BEC，∴∠DAB=1∵△BED是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠BAD=30°，∴∠BCD=360°−90°−90°−30°=150°．故答案为：150．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识点，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．7．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC,AC于F，M．(1)求证∠B=∠C；(2)若AB=5,AH=3,AE=2，求MF的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）证明直线AH是BC的垂直平分线即可．（2）先证明EF∥AH，再判定AE=AM，证明△CMF∽△CAH即可．【详解】（1）∵AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，∴

AH是BC的垂直平分线．∴

AB=AC．∴∠B=∠C．（2）∵AH⊥BC，AB=AC=5，∴

∠BAH=∠CAH．∵

AH⊥BC，EF⊥BC，∴

EF∥AH．∴

∠BAH=∠E,∠CAH=∠AME．∴

∠E=∠AME．∴AE=AM=2．

∴CM=3．∵EF∥AH，∴△CMF∽△CAH．∴

MFAH∴

MF3∴

MF=9【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2020·江苏扬州·统考一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)特例启发，解答题目题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．【答案】(1)＝(2)＝，解答过程见解析(3)CD＝1或3【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线上时，由（2）求出CD＝3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝1．【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵点E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，AE＝BE，∵ED＝EC，∴∠BDE＝∠BCE＝30°，∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE，∴AE＝DB．故答案为：＝．（2）过E作EF∥BC交AC于F，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFC∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF＝AE，即AE＝DB，故答案为：＝．（3）解：CD＝1或3，理由是：分为两种情况：①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∵AM⊥BC，∴BM＝CM=12BC∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AB＝1，AE＝2，∴AB＝BE＝1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB＝∠ENB＝90°，在△ABM和△EBN中，∠ABM=∠EBN∠AMB=∠ENB∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN＝BM=1∴CN＝1+1∴CD＝2CN＝3；②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，∵AM⊥BC，∴BM＝CM=12BC=1∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AM∥EN，∴∠BEN＝∠BAM＝30°，∴BN＝12BE＝12（AB＋AE）＝∴MN＝BN－BM＝1，∴CN＝MN－CM＝1−1∴CD＝2CN＝1，即CD＝3或1．【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意不要漏解．9．（2022·江苏扬州·校联考三模）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°．(1)当n=60时，①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；(2)当n=90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC,AB=62【答案】(1)①BE＝AD；②BE＝AD；见解析(2)①BE=2AD【分析】（1）①根据题意当n=60时，根据线段间的等量关系即可求解．②利用SAS证明△ACD≅△BCE，由三角形全等的性质即可求解．（2）①根据已知，利用两边对应成比例且夹角相等证得△DCA∼△ECB，利用三角形相似的性质即可求解．②分两种情况讨论：当点D在△ABC的外部，根据题意，利用两角对应相等求证△EFB∼△CFA，再利用相似三角形的性质结合勾股定理即可求解；当当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H，根据题意得出DH和CH，在△CDH中，利用勾股定理即可求解．(1)解：①∵△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB=AC，DE=DC，∠BAC=∠EDC=n°，n=60，∴∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠DEC=60°，AB=AC=BC，DE=DC=EC，∴BE=BC−CE，AD=AC−DC=BC−CE，∴BE=AD，②BE=AD，理由如下，∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°，∠DCE=∠BCD+∠ECB=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≅△BCE(SAS)，∴BE=AD．(2)①BE=2当n=90时，∠BAC=∠EDC=90°，∵AB=AC,DE=DC,∴则△ABC和△DEC为等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=45°，∴sin45°=DCEC=∴∠DCA=∠ECB，在△ACD和△BCE中，DCEC∴△DCA∼△ECB，∴AD∴BE=2②当点D在△ABC的外部时，如图所示，∵AB=62∴AC=AB=62又∵BE∥∴∠EBF=∠CAF=90°，且∠EFB=∠CFA，∴△EFB∼△CFA，∴EF∴AF=3BF，而AB=BF+AF=62∴BF=1在Rt△EBF中，EF=B又∵CF=3EF=3×5∴EC=EF+CF=522在等腰三角形DEC中，DC=EC⋅cos当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H，如图所示，∵AC=32，AD=1，∠DAC=45°∴AH=DH=2CH=AC−AH=52∴CD=D综上所述，满足条件的CD的值为10或213【点睛】本题考查了等腰三角形基本性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形的相关判定及性质，巧妙运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．10．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA．(1)尺规作图：请在BC的延长线上找一点E，使得∠DAE=1(2)在（1）的条件下探索AC与CE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)CA=CE，理由见解析【分析】（1）先作△ABC的BC边上的高AG，再作∠GAD=∠CAE，从而有∠DAE=1（2）设∠GAD=α，∠BAG=β，运用已知条件推导出∠AEC=∠CAE，从而得出CA=CE．(1)解：作图如下，(2)解：设∠GAD=α，∠BAG=β，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=α+β，∵AB=AC，AG⊥BC，∴∠BAG=∠GAC=β，∵∠DAC=∠GAC−∠GAD=β−α，∠ADG=∠DAC+∠DCA，∴∠DCA=∠GDA−∠DAC=α+β−β−α∵∠DAE=1∠DAE=∠DAC+∠CAE=β，∠DAC=β−α，∴∠CAE=β−∠DAC=β−β−α∵∠DCA=∠AEC+∠CAE=2α，∴∠AEC=α，∴∠AEC=∠CAE，即CA=CE．【点睛】本题考查了用尺规作图的方法，作一个角等于已知角，以及运用等腰三角形性质，三角形外角的性质求证相关线段的数量关系，其中综合运用以上基础图形性质是解题的关键．考向三、直角三角形与勾股定理11．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，DE垂直平分BC交AB于D，交BC于E，连接CD，求CD的长．【答案】13【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD=BD，求得∠DCB=∠B，根据等腰三角形的性质得到CD=AD，求得CD=AD=BD=12AB【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∵DE垂直平分BC交AB于D，交BC于E，∴CD=BD，∴∠DCB=∠B，∴∠A=∠ACD，∴CD=AD，∴CD=AD=BD=12AB∵AC=4，BC=6，∴AB=A∴CD=12AB=13【点睛】此题考查了勾股定理，关键是根据线段垂直平分线的性质定理，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边长的一半解答．12．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．(1)求证：AB(2)若BD＝2，则AC的长是______．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B=∠C=∠BAD=30°，可证△ABD∽△CBA，ABBC（2）由∠B=∠C=∠BAD=30°，得BD=AD=2，CD=2AD=4，由勾股定理可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B=∠C=∠BAD=30°，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC∴AB（2）解：由（1）知，∠B=∠C=∠BAD=30°，∴BD=AD=2，∴CD=2AD=4，∴AC=CD故答案为：23【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．13．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考二模）已知△ABC，∠B=60°，ABBC(1)如图1，若BC=23，求AC(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】(1)AC的长为21；(2)见解析【分析】（1）先求得AB=33，在Rt△BCG中，求得BG=3，CG=3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解；（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线相交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点D，则四边形ABCD即为所求作．【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB于点G，∵BC=23，AB∴AB=33，在Rt△BCG中，∠B=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=12BC=3，CG=BC2−BG2=3，在Rt△ACG中，AC=AG（2）解：如图，四边形ABCD即为所求作．证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，由作图知BC=AD，则BC⏜=AD⏜，CD∥分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，如图：∴CE=DF，四边形DCEF为矩形，∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF，∴AF=BE，∵∠B=60°，∴∠DAF=60°，∴BE=12BC，AF=12AD=12BC∵AB∴AF=BE=EF=CD=12BC∴AD=2CD，∴四边形ABCD符合题意．【点睛】本题考查了尺规作图－作三角形的外接圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．（2022·江苏苏州·统考一模）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．(1)若△ABC是有趣三角形，AB=3，BC=6，则AC=______；(2)已知等腰△ABC的周长为10，若△ABC是有趣三角形，求△ABC的腰长；(3)如图，在△ABC中，∠ACB=135°，点D，E在边AB上，且△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．【答案】(1)6(2)等腰三角形的腰长为4(3)由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形，证明见详解【分析】（1）根据有趣三角形的定义分类计算即可；（2）：设等腰三角形腰为a，底为b,，根据等腰△ABC的周长为10，得出2a+b=10，根据△ABC是有趣三角形，得出a=2b，组成2a+b=10a=2b（3）根据等腰直角三角形得出．∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，根据勾股定理得出DE2=2CD2=2CE2，然后证明△ADC∽△CDB，得出CE（1）解：△ABC是有趣三角形，AB=3，BC=6，分三种情况：当AC2=2AB·BC，∴AC=2AB·BC当AB2=2AC·BC，∴AC=A∵32当BC2=2AC·AB，∴AC=B∵6+3＞综合AC=6，故答案为6；（2）解：设等腰三角形腰为a，底为b，∵等腰△ABC的周长为10，∴2a+b=10，∵△ABC是有趣三角形，∴a2=2ab，∴a=2b，∴2a+b=10a=2b解得a=4b=2∴等腰三角形的腰长为4；（3）证明：∵△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．∴∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，DE2=2CD2=2CE2，∴∠ADC=180°∠CDE=135°，∠CEB=180°∠CED=135°，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=135°，∴∠A+∠B=45°，∠B+∠BCE=∠CED=45°，∴∠A=∠BCE，∴△ADC∽△CDB，∴ADCE即ADCE∴CE∴DE2=2CE2=2AD·BE，∴由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．【点睛】本题考查新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．15．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，(1)求证：∠CAD＝∠BCE；(2)当a＝43时，求BE(3)探究ADCE的值（用含a【答案】(1)证明见解析；(2)2；(3)a+44【分析】（1）设AD、CE交于点F，根据同角的余角相等即可证明；（2）过E作EH⊥BC于H，则△HEB是等腰直角三角形，设EH=x，则CH=4x，由△ECH∽△DAC根据对应边成比例列方程求解即可解答；（3）根据（2）的解答由△ECH∽△DAC对应边成比例，求得相似比即可解答；【详解】（1）解：如图，设AD、CE交于点F，∵△ACD是直角三角形，∴∠CAD+∠CDA=90°，∵CE⊥AD，∴Rt△CDF中，∠CDF+∠DCF=90°，∵∠CDF=∠CDA，∴∠CAD=∠BCE；（2）解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵EH⊥BC，∴△HEB是等腰直角三角形，∴EH=BH，设EH=x，则CH=4x，∵∠ECH=∠DAC，∠EHC=∠DCA=90°，∴△ECH∽△DAC，∴EHDC=CH解得：x=1，∴BE=EH2+H（3）解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，设EH=x，由（2）解答可得△ECH∽△DAC，CEADxa=4−x4，∴ADCE=CD【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．考向四、几何基本作图16．（2022·江苏无锡·校考二模）如图，∠ABD=∠CDB=90°，P为线段BD上的一点．

(1)在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在AB、CD上分别作点E、F，使EF⊥PF，且EF=PF．无需写出作图步骤，但保留作图痕迹；(2)若∠BEP=30°，求BP:PD．（图②供问题（2）用）【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据要求写出步骤即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）解：①以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F；②以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作；（2）解：连接EF、FP、EF，作EG⊥CD于G，设BP=x，PD=y，∴FD=DB=x+y．∵∠EGF=∠EFP=∠D=90°，∴∠EFG+∠PFD=90°，∠PFD+∠DPF=90°，∴∠EFG=∠DPF，∵EF=FP，∴△EGF≌△FDP，∴GF=DP=y，∴EB=GD=x+2y，在Rt△EBP中，∴x:y=3:1，即【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，AC<BC．(1)试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分△ABC的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)；(2)在（1）的条件下，若AB=12，AC=2EC，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=6【分析】（1）延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点A′，作线段A′B的垂直平分线，交BC于点E，连接DE（2）连接AE，设EC=m，则AC=2m，根据相似三角形的判定得出△ACE∽△BCA，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：如图所示，延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点A′，作线段A′B的垂直平分线，交BC于点E，连接DE根据作图可知，AC=CA∴BE+BD=EA即直线ED平分△ABC的周长（2）如图，连接AE，∵AC=2EC，设EC=m，则AC=2m，由作图可知BE=AC+EC=3m，∴BC=4m，∴ECAC又∠C=∠C，∴△ACE∽△BCA，∴AEBA∵AB=12，∴AE=1【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．18．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为E．(2)在（1）作出的图形中，求DE的长．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)DE的长为24【分析】（1）①以C为圆心作弧与BC，AC相交，再分别以两个交点为圆心，相同半径作弧，将C与这两个弧的交点连线交斜边AB于点D；②以D为圆心作弧与BC相交得到两个交点，再分别以这两个交点为圆心，相同半径作弧，将D与这两个新作弧的交点相连，交BC于E点；（2）先利用DE//AC，CD平分∠ACB证明∠DCE=∠CDE，得到ED=EC．再通过△BED∽△BCA得到DEAC=BEBC，设ED=EC=x，则(1)解：①如图所示，CD是∠ACB的平分线，作图方法为：以C为圆心作弧与BC，AC相交，再分别以两个交点为圆心，相同半径作弧，将C与这两个弧的交点连线交斜边AB于点D；②DE是BC的垂线，作图方法为：以D为圆心作弧与BC相交得到两个交点，再分别以这两个交点为圆心，相同半径作弧，将D与这两个新作弧的交点相连，交BC于E点；(2)解：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，∴DE//AC，∴∠ACD=∠CDE．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDE，∴ED=EC．∵DE//AC，∴△BED∽△BCA，∴DEAC设ED=EC=x，则BE=8−x，∴x6解得x=247∴DE的长为247【点睛】本题考查尺规作图作角平分线和垂线，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等，解第一问的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤，解第二问的关键是证明ED=EC．19．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图，一张矩形纸片ABCD中，∠B=∠C=90°，AD>AB．将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．(1)请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接AN、CM，判断四边形ANCM的形状并说明理由；(3)若AB=4，BC=8，求折痕MN的长．【答案】(1)见解析(2)四边形ANCM是菱形，理由见解析(3)2【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线与AD交于M，与BC交于N即为所求；（2）由折叠的性质可知AN=CN，AM=CM，∠ANM=∠CNM，再证明∠AMN=∠ANM，得到（3）设AC与MN交于O，理由勾股定理求出AC，AN的长，然后利用菱形的性质求出OA的长，再利用勾股定理求出ON的长即可得到答案．（1）解：如图所示，MN即为所求；（2）解：四边形ANCM是菱形，理由如下：由折叠的性质可知AN=CN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠AMN=∠CNM，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，∴AM=AN=CM=CN，∴四边形ANCM是菱形；（3）解：设AN=CN=x，则BN=8x，设AC与MN交于O在Rt△ABN中，AN在Rt△ABC中，AC∴42解得：x=5，∵四边形ANCM是菱形，∴∠AON=90°，MN=2ON，OA=1∴ON=A∴MN=25【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质等等，熟知相关知识，正确画出图形是解题的关键．20．（2022·江苏南京·统考二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）用作一条线段等于已知线段的方法作AB=BM，AC=CM，则可知△ABC≌△MBC，则∠BMC=∠A，点M即为所求；（2）分别作BM，CM的垂直平分线，相交于点N，则点N为三角形BCM的外接圆的圆心，由圆周角定理可知点N即为所求．【详解】（1）如图：以点B为圆心，BA为半径画圆弧，再以C为圆心，AC为半径画圆弧，两弧交BC下方于点M，则M点即为所求，如图，点M即为所求；（2）如图所示，在（1）的图形基础上，分别以B、M为圆心，大于12BM长为半径分别作弧，交于E、F两点，连接EF，再分别以C、M为圆心，大于12CM长为半径分别作弧，交于G、H两点，连接GH，EF与GH交于点如图，点N即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，圆周角定理等知识，熟练掌握尺规作图和圆周角定理是解题的关键．考向五、相似三角形21．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．(1)求证：△ABC∽△ACD；(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)AC的长为6．【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长．【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=AB∴AC=6(负值已舍)．∴AC的长为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．22．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC，(1)求证：△APC∼△ACB﹔(2)若AP=2,PB=4，求AC．【答案】(1)见解析；(2)23【分析】（1）PC平分∠ACB，得∠ACP=∠BCPPB=PC得∠BCP=∠ABC，结合公共角证得相似；（2）由已知求出AB，根据相似得到ACAB=【详解】（1）证明：△ABC中，PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠BCP=∵PB=PC∴∠BCP=∠ABC∴∠ACP=∠ABC∵∠BAC=∠CAP∴△APC∼△ACB（2）∵AP=2,PB=4∴AB=AP+PB=4+2=6由（1）可知△APC∼△ACB∴即：AC∴A∴AC=2【点睛】本题考查了角平分线、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质；解题的关键证明三角形的相似、掌握相似的性质．23．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知：△ABC中，D为BC边上的一点(1)如图①，过点D作DE//AB交AC边于点E.若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；(保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF.若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD⋅AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与【答案】(1)DE=2(2)见解析(3)直线BC与以FD为半径作⊙F相切，见解析【分析】对于（1），先证明△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；对于（2），先作∠BDT=∠C，可知DT∥AC，再作∠ATD=∠TDF，交AC于点F，根据平行线的性质可知∠A+∠ATD=180°，∠AFD+∠TDF=180°，得∠A=∠AFD；对于（3），作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，可知四边形ABRF是等腰梯形，得AB=FR，BR∥FC，再根据三角形面积相等得CD⊥DF，即可得出答案．【详解】（1）如①图中，DE//AB∴△CDE∽△CBA，∴DEAB即DE∴DE=2；（2）如图②中，点F即为所求．（3）结论：直线BC与以FD为半径作⊙F相切．理由：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR．可知BR∥FA，∠A=∠AFR，∴四边形ABRF是等腰梯形，∴AB=FR，BR∥FC，∴S△CFB∴CD⊥DF，∴直线BC与以FD为半径作⊙F相切．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，尺规作一个角等于已知角，切线的判定等，构造辅助线是解题的关键．24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、(1)求证：△EBF∽△FCG；(2)若BE=3,BF=5,CF=1，求CG的长.【答案】(1)见详解(2)5【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=90°可证得△EBF∽△FCG；（2）由△EBF∽△FCG，可得CG=BF×CFBE，代入数据可得【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥FG于F，∴∠B=∠C=∠EFG=90°∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=90°，∴∠BEF=∠CFG，∴△BEF∽（2）解：∵△EBF∽△FCG，∴BECF∴CG=BF×CF【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，并利用相似进行线段长度的计算，熟知一线三等角模型证明两个三角形相似是解题的关键．25．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1，D、E为等边△ABC中BC边所在直线上两点，∠DAE=120°，求证：△ABD∽（2）△ADE中，∠DAE=120°，请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得△ABC为等边三角形；（3）在（1）的条件下，H为BC边上一点，过H作HF∥AD交AB延长线于点F，HG∥AE交AC延长线于点G，若AB=6，BD=a，∠HAE=60°，求【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）36【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABD=∠ACE=120°，再由∠DAE=120°，可得∠BAD+∠CAE=60°，从而得到∠D=∠CAE，即可；（2）作∠BAD=∠E,∠CAE=∠D，分别交DE于点B，C，即可；（3）根据等边三角形的性质以及∠HAE=60°，可得∠BAD=∠GAH,∠FAH=∠CAE，再由HF∥AD，可得∠F=∠BAD，再由△ABD∽△ECA，可得CE=36a，∠F=∠E，可证得△AFH∽△AEC，从而得到【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴∠D+∠BAD=60°，∵∠DAE=120°，∴∠BAD+∠CAE=∠DAE−∠BAC=60°，∴∠D=∠CAE，∴△ABD∽（2）解：如图，△ABC即为所求；理由：根据作图得：∠BAD=∠E,∠CAE=∠D，∴△ABD∽∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB，∵∠DAE=120°，∴∠D+∠E=∠D+∠BAD=60°，∠D+∠E=∠E+∠CAE=60°，∵∠ABC=∠D+∠BAD=60°，∠ACB=∠E+∠CAE=60°，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC=6，∵∠HAE=60°，∠DAE=120°，∴∠DAH=∠EAH=∠BAC=60°，∴∠BAD=∠GAH,∠FAH=∠CAE，∵HF∥∴∠F=∠BAD，由（1）得：△ABD∽∴ABCE=BD∴6CE=a∴∠F=∠E，∴△AFH∽∴FHCE同理△AGH∽∴GHBD∴GHBD∴HFHG【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．考向六、三角形综合问题26．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）（1）如图1，在△ABC中．点D，E，F分别在边BC,AB,AC上，∠B=∠FDE=∠C（2）如图2．在△ABC中．BA=BC,∠B=45°．点D，F分别是边BC、AB上的动点．且AF=2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF．使得①试猜想线段DC,BD,BF之间的数量关系，并说明理由．②如图3．已知AC=3，点G是AC的中点，连接EA,EG．请直接写出∠ECD的度数和EA＋EG【答案】（1）见解析；（2）①BD+BF=DC；理由见解析；②∠ECD=22.5°，EA+EG的最小值为【分析】（1）证明△EBD≌△DCF，即可证明结论；（2）①根据BA=BC，得到：AF+BF=BD+CD，再根据AF=2BD，即可得解；②在CD上截取DM=BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，证明△BDF≌△MED，利用对应边相等，和线段的转化，得到：EM=CM，进而得到∠ECM=∠MEC=22.5°，根据对称得到：EA+EG=EA+EN≥AN，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，利用勾股定理求出AN即可得解．【详解】（1）证明：∵∠EDF+∴∠FDC=在△EBD和△DCF中，∠B=∠C,∴△EBD≌△DCF(ASA∴DE=DF．（2）①BD+BF=DC．理由如下：∵AB=BC，∴AF+BF=BD+DC．∵AF=2BD，∴2BD+BF=BD+DC．∴BD+BF=DC．②在CD上截取DM=BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，∵∠B=45°，∠EDF=45°，同（1）可得：∠BFD=∠EDM，∵DF=DE，∴△BDF≌△MEDSAS∴BD=EM，MD=BF，∠B=∠DME=45°，∵CD=BD+BF=DM+CM，∴CM=BD，∴EM=CM，∴∠MCE=∠MEC，∵∠EMD=45°，∴∠ECD=∠MEC=22.5°，∴E点在射线CE上运动，∵G点与N的关于CE对称，∴EG=EN，∴EA+EG=EA+EN≥AN，∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，∵∠B=45°，AB=BC，∴∠ACB=67.5°，∴∠ACE=45°，由对称性可知，∠ACE=∠ECN，∴∠ACN=90°，∵点G是AC的中点，AC=3，

∴CG=1.5，∴CN=1.5，在Rt△ANC中，AN=∴AE+EG的最小值为32∴∠ECD=22.5°，EA+EG的最小值为3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造三角形全等，以及利用轴对称解决线段和最小问题．27．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC的角平分线BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所对的边记为a、c．(1)当c=2时，求a的值；(2)求△ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；(3)求证：a，c之和等于a，c之积．【答案】(1)a=2(2)34c+(3)见解析．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线定理得到DE=DF，解直角三角形得到BE=BF=12，DE=DF=32，过点A作（2）分为两种情形：情形1：过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD延长线于点G；情形2：过点C作CH⊥AB于点H交AB的延长线于点H，再由三角形的面积公式计算即可；（3）由（2）的结论即可求得结果．【详解】（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=1过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∴DE=DF，∵BD=1，∴BE=BF=12，过点A作AG⊥BC于点G，∵∴AG=3∵S∴a=2（2）情形1：如图，过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD延长线于点G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBG=1∵在Rt△ABF中，∠ABF=60°，在Rt△CBG中，∠CBG=60°，CG=3∴S△ABC情形2：如图，过点C作CH⊥AB于点H交AB的延长线于点H，则∠CBH=60°，在Rt△BCH中，sin∴CH=BC·sin∴S（3）证明：由(2)可得S△ABC即34则a+c=ac．【点睛】此题主要考查学生对解直角三角形的理解及运用，掌握三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理以及三角形面积的解答方法是解决此题的关键．28．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=8，求四边形ABCD的面积；(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M，N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．【答案】(1)32(2)15000−5000【分析】（1）根据∠ABC=∠ADC=90°可得∠BAD+∠BCD=180°，即可得到点A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，易得△ADE≌△CDF，即可得到答案；（2）过A作AD⊥OB，AE⊥OC，根据角平分线定理及三角函数即可得到AD=AE=AOsin60°，在OC上取一点F使EF=DM，即可得到【详解】（1）解：过D作DE⊥AB，DF⊥BC，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，∵AD=CD，∴∠ABD=∠CBD=45°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=BDsin在△ADE与△CDF中，AD=FD∴△ADE≌△CDF(HL∴AE=CF，∴AB+BC=BE+BF，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，∴四边形BCDE是正方形，∴AB+BC=BE+BF=ED+FD=82∴四边形ABCD的面积为：S=1（2）解：过A作AD⊥OB，AE⊥OC，∵OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，AD⊥OB，AE⊥OC，∴AD=AE=AOsin在OC上取一点F使EF=DM，在ΔADM与ΔAD=AE∴△ADM≌△AEF(SAS∴∠MAD=∠FAE，∵∠OAD=∠OAE=30°，∴∠MAD+∠NAE=30°，∴∠DAN=30°，∴OM+ON=2OD+DM+EN=2OD+FN，∴当FN最小时，OM+ON最小，此时OM+ON=100+2003∴最小面积为：S=1【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．29．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE．使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；(2)延长EC交AB的延长线于点F，若∠F=45°，①利用（1）中的结论求出∠DCE的度数；②当△ABD是等腰三角形时，直接写出∠ADB的度数；(3)当D在线段BC上时，若线段BC=3，△ABC面积为3，则四边形ADCE周长的最小值是．【答案】(1)△ABD≌△ACE，证明见解析(2)①∠DCE=30°；②当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°(3)7【分析】（1）由∠DAE=∠BAC，可得∠EAC=∠DAB，即可证明△ABD≌△ACE；（2）①设∠DCE=x°=∠BCF，可得∠ABD=∠F+∠BCF=(x+45)°，即得∠ACB=∠ABD=(x+45)°，∠ACE=∠ABD=(x+45)°，根据∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，有(x+45)°+(x+45)°+x°=180°，故∠DCE=30°；②∠ABD=∠F+∠BCF=45°+30°=75°，分两种情况：当AD=BD时，∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=30°，当AB=BD时，∠ADB=∠BAD=(180°−∠ABD)÷2=52.5°；（3）可证△ABD≌△ACE，得BD=CE，即得CD+CE=CD+BD=BC=3，知四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，而AD=AE，可得当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，根据BC=3，△ABC面积为3，得AD=2，从而可知四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE=7．【详解】（1）解：△ABD≌△ACE，证明如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠DAB=∠EAC∴△ABD≌△ACE(SAS（2）①如图：设∠DCE=x°=∠BCF，∵∠F=45°，∴∠ABD=∠F+∠BCF=(x+45)°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABD=(x+45)°，由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABD=(x+45)°，∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，∴(x+45)°+(x+45)°+x°=180°，解得x=30，∴∠DCE=30°；②由①知，∠ABD=∠F+∠BCF=45°+30°=75°，当AD=BD时，如图：∴∠BAD=∠ABD=75°，∴∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=30°，当AB=BD时，如图：∴∠ADB=∠BAD=(180°−∠ABD)÷2=52.5°，∴当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°；（3）如图：同（1）可证△ABD≌△ACE(SAS∴BD=CE，∴CD+CE=CD+BD=BC=3，∴四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，∵AD=AE，∴当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，∵BC=3，△ABC面积为3，∴AD=2，∴四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE=2+2+3=7，故答案为：7．【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判断与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△ABD≌△ACE．30．（2022春·江苏·九年级专题练习）(1)如图1，点P在线段AB上，点C、D在线段AB上方，连接PD、PC、AD、BC、CD，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，AD⋅BCAP⋅BP（填“=”或“≠”)；(2)如图2，点P在线段AB上，点C、D在线段AB上方，连接PD、PC、AD、BC、CD，当锐角∠DPC=∠A=∠B时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；(3)如图3，在△ABD中，AB=8cm，AD=BD=5cm，点E为AB边中点．点P是边AB上一个动点，由点A出发，以每秒1cm的速度，沿边AB向点B运动，点C在边BD上，且∠DPC=∠A．点P的运动时间为t（秒），当△DCE【答案】(1)=；(2)成立，满足AD⋅BC=AP⋅BP，理由见解析；(3)t的值为4+6或4−6或4+14【分析】（1）证明△ADP∽△BPC，利用相似比即可得到答案；（2）证明△ADP∽△BPC，利用相似比即可得到答案；（3）连接DE、CE，根据勾股定理可得DE=3，又因为AP=t，则BP=8−t，分三种情况讨论：①当CD=DE=3时，利用△ADP∽BPC，得到ADBP=APBC，即可求出t的值；②当CD=CE时，利用直角三角形斜边中点等于斜边一半，得到CD=CB=52，再利用相似比即可求出t的值；③当ED=EC=3时，作EF⊥BD于点F，根据等腰三角形性质，得到DF=12CD【详解】（1）解：如图1中，∵∠A=∠B=∠DPC=90°，∴∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴AD∴AD⋅BC=AP⋅BP，故答案为：=；（2）解：成立，满足AD⋅BC=AP⋅BP，理由：∵∠A=∠B=∠DPC，∴∠APD+∠BPC=180°−∠DPC，∠APD+∠ADP=180°−∠A，∴∠ADP=∠BPC，∵∠A=∠B，∴△ADP∽△BPC，∴ADBP∴AD⋅BC=AP⋅BP．（3）解：如图3，连接DE、CE，∵AD=BD=5，AB=8，AE=BE=1∴DE⊥AB，∴DE=A∵AP=t，∴BP=AB−AP=8−t，①当CD=DE=3时，∴BC=BD−CD=5−3=2，由（1）（2）可知△ADP∽BPC，∴ADBP∴58−t整理得：t2∴t1=4+经检验：t=4±6②当CD=CE时，∵直角三角形斜边中点等于斜边一半，∴D为BD中点，∴CD=CB=5同法可得58−t整理得：t2解得，t1=4+14经检验，t=4±14③当ED=EC=3时，作EF⊥BD于点F，∴DF=1∵cos∴DF=D∴CD=18∴BC=7同法可得，58−t解得，t1=1，经检验，t=1或7是分式方程的解，∴当△DCE是等腰三角形时，t的值为4+6或4−6或4+14【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数，解分式方程等知识，运用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【真题再现】直面中考真题，实战培优提升一、解答题1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．【答案】见解析【分析】根据SAS证明△ABC≌【详解】证明：∵AD=CF，∴AD+CD=CF+CD，∴AC=DF，∵在△ABC和△DEF中AB=DE∠A=∠EDF∴△ABC≌∴∠B=∠E．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0<n≤360)到OA′，那么点A′(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A′(2)在（1）的条件下，已知点B的位置用3,74°表示，连接A′A、A′【答案】(1)(3,37°)(2)见解析【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．【详解】（1）解：由题意，得A′(a,n°)，∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)；（2）证明：如图，∵A′3,37°，∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA=OB=3，∴∠A′OB=∠AOB∠AOA′=74°37°=37°，∵OA′=OA′，∴△AOA′≌△BOA′（SAS），∴A′A=A′B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2021·江苏无锡·统考中考真题）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC=∠OCB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）根据AAS，即可证明△ABO≌△DCO；（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）在△ABO与△DCO中，∵AB=DC∠ABO=∠DCO∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）∵△ABO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键．4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【分析】（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．【详解】证明：（1）在△BEF和△CDA中，BE=CD∠B=∠1∴△BEF≌△CDA（SAS），∴∠D＝∠2；（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°，∵EF∥AC，∴∠2＝∠BAC＝78°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键5．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC．DC=EC，AE与BD交于点F．（1）求证：AE=BD；（2）求∠AFD的度数．【答案】（1）见解析（2）90°【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解；（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到∠AFD的度数．【详解】（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD又AC=BC．DC=EC∴△ACE≌△BCD∴AE=BD（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B设AE与BC交于O点,∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°∴∠BFO=∠ACO=90°故∠AFD=180°∠BFO=90°．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．6．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据矩形的性质可得AD//BC,则∠FEC=∠AFE,因为折叠，∠FEC=∠AEF，即可得证；（2）设FD=x用含x的代数式表示AF，由折叠，AG=DC，再用勾股定理求解即可【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC∴∠FEC=∠AFE因为折叠，则∠FEC=∠AEF∴∠AEF=∠AFE∴ΔAEF是等腰三角形（2）∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=8,CD=AB=4,∠D=90°设FD=x，则AF=AD−x=8−x因为折叠，则FG=x，AG=CD=4,∠G=∠D=90°在Rt△AGF中F即x解得：x=3∴FD=3【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．7．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠B=60∘，AB=2，BC=3，则四边形ABCD的面积为【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作CD⊥AD，即可找出点D；（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．【详解】（1）解：如图，∴点D为所求点．（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，∵∠B=60°，∠AEB=90°，∴∠BAE=90°−60°=30°，∵AB=2，∴BE=12AB=1∴AE=A∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，四边形ABCD是梯形，∴∠D=∠ECD=90°，∴四边形AECD是矩形，∴CE=AD=2，∴四边形ABCD的面积为12故答案为：53【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠CAB=25°【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，从而可得结论；（2）先证明∠DAF=∠ECF=40°，再求解∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°，结合对折的性质可得答案．【详解】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°．在△DAF和△ECF中，∠DFA=∠EFC，∠D=∠E，∴△DAF≌△ECF．（2）解：∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF=∠ECF=40°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°．∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°，∵∠FAC=∠CAB，∴∠CAB=25°．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键．9．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A①用直尺和圆规在图中作出△A②连接A′D，则直线A′【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行【分析】（1）根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEF；（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA为半径画画弧，两个弧交于A′，连接A′B，A②过点A′作A′M⊥l，过点D作DN⊥l，则A′M∥DN，且A′M=DN【详解】（1）证明：∵BF=CE，∴BC=EF，∵AB//∴∠ABC=∠DEF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF；（2）①如图所示，△A②A′D∥∵△ABC≌△DEF，△A′BC与△ABC∴△A过点A′作A′M⊥l，过点D作DN⊥l，则A′M∥DN，且A′∴四边形A′MND∴A′D∥故答案是：平行．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．10．（2021·江苏泰州·统考中考真题）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证：直线l1垂直平分AC；（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）利用平行线等分线段定理证明直线l1平分AC；利用直角三角形的判定证明直线l1垂直AC；（2）以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．【详解】（1）解：如图①，连接OC，∵OB=OA，l1∥l2，∴直线l1平分AC，由作图可知：OB=OA=OC，∴∠ACB=90°，∴l2垂直AC，∵l1∥l2，∴l1垂直AC，即直线l1垂直平分AC．（2）如图②，以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，与考查了尺规作图．11．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F．（1）求证△AOB≌△DOC；（2）若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF=【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：（1）∵OA=OD,∠ABO=∠DCO，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOCAAS（2）∵△AOB≌△DOCAAS，