专题1.5平面直角坐标系10大必考考点（知识梳理典例剖析变式训练）-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍

20222023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.5平面直角坐标系10大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练【目标导航】【知识梳理】1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。学@科网注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。3、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限4、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。7、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数8、点到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于9、点的平移点P(x,y)沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是（x±m,y）；点P(x,y)沿y轴向上（或向下）平移n个单位后对应点的坐标是（x,y±n）.【典例剖析】【考点1】物体位置的确定【例1】（（2021秋•龙岗区校级期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么小刚的位置可以表示成（）A．（5，4） B．（4，5） C．（3，4） D．（4，3）【分析】直接利用原点位置建立平面直角坐标系，进而得出点的坐标．【解答】解：如图所示：小刚的位置可以表示为（4，3）．故选：D．【变式1.1】（2022·江苏·八年级专题练习）某班级第3组第4排位置可以用数对3,4表示，则数对1,2表示的位置是（

）A．第2组第1排 B．第1组第1排 C．第1组第2排 D．第2组第2排【答案】C【分析】根据前一个数表示组，后一个数表示排进行判断即可【详解】∵第3组第4排位置为3,4，∴前一个数表示组，后一个数表示排，∴数对1,2表示第一组第二排，故选：C．【点睛】本题考查数对，理解数对的含义是解题的关键．【变式1.2】（2022·江苏·八年级专题练习）下列数据中不能确定物体位置的是（）A．电影票上的“5排8号”B．小明住在某小区3号楼7号C．南偏西37°D．东经130°，北纬54°的城市【答案】C【分析】根据以坐标确定位置需要两个数据对各选项进行判断即可．【详解】A．电影票上的“5排8号”，位置明确，故本选项不符合题意；B．小明住在某小区3号楼7号，位置明确，故本选项不符合题意；C．南偏西37°，位置不明确，故本选项符合题意；D．东经130°，北纬54°的城市，位置明确，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解答本题的关键．【变式1.3】（2022·江苏·八年级专题练习）贵阳电视塔位于贵阳市云岩区扶风路仙鹤山森林公园内，是贵阳市内海拔最高的标志性建筑物，能在360度旋转观光大厅里俯瞰贵阳全景．小高将位于扶风山麓的阳明祠的位置记为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则下列哪个坐标可以表示贵阳电视塔的位置（

）A．(3,-5) B．(-3,-5) C．(-3,5) D．(3,5)【答案】D【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的特点进行解答即可．【详解】解：贵阳电视塔在第一象限内，因此横、纵坐标都应该是正数，所以（3，5）可以表示贵阳电视塔的位置，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的特点，熟练掌握各象限内点的横、纵坐标的正负规律是解题的特点．【考点2】点的坐标【例2】（2020•海陵区一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）【分析】根据各象限内点的坐标特征，可得答案．【解析】由题意，得|y|＝2，|x|＝3．又∵在第二象限内有一点P，∴x＝﹣3，y＝2，∴点P的坐标为（﹣3，2），故选：A．【变式2.1】（2021·江苏·无锡市港下中学八年级阶段练习）若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是

（

）A．（－4，3） B．（4，－3） C．（－3，4） D．（3，－4）【答案】C【分析】根据直角坐标系内的坐标特点即可求解．【详解】∵点P到x轴的距离是4，∴纵坐标为±4，∵点P到y轴的距离是3，∴横坐标为±3，∵P是第二象限内的点∴P(-3,4)故选C．【点睛】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，解题的关键是熟知直角坐标系的点的坐标特点．【变式2.2】（2021·江苏·南通市启秀中学七年级阶段练习）一个点的横、纵坐标都是整数，并且他们的乘积为6，满足条件的点共有（

）A．2个 B．4个 C．8个 D．10个【答案】C【分析】设这个点的坐标为（a，b），则ab=6，然后根据a、b都是整数进行求解即可．【详解】解：设这个点的坐标为（a，b），由题意得ab=6，∴a=∵a、b都是整数，∴当b=6时，a=1，当b=3时，a=2，当b=2时，a=3，当b=1时，a=6，当b=－6时，a=－1，当b=－3时，a=－2，当b=－2时，a=－3，当b=－1时，a=－6，∴一共有8个点满足题意，故选C．【点睛】本题主要考查了坐标系中各象限内点的坐标符号，正确理解题意是解题的关键．【变式2.3】（2019·江苏·南京师大苏州实验学校八年级期中）已知点A的坐标为(a+1,3-aA．若点A在y轴上，则aB．若点A在一三象限角平分线上，则aC．若点A到x轴的距离是3，则aD．若点A在第四象限，则a的值可以为-【答案】B【分析】根据各象限及坐标轴上的点的坐标特征列出关于a的方程或不等式，求解即可．【详解】解：A、若点A在y轴上，则a+1=0，解得a故此选项错误，不符合题意；B、若点A在一三象限角平分线上，则a+1=3-a，解得故此选项正确，符合题意；C、若点A到x轴的距离是3，则3-a=3或3-a=-3，解得故此选项错误，不符合题意；D、若点A在第四象限，则a+1>03-a故此选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，平面直角坐标系中各象限及坐标轴上的点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上的点的坐标特征是解本题的关键．【考点3】坐标与图形性质【例3】（2021春•南充期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣3，2），AB∥x轴，且AB＝5，则点B的坐标为（）A．（﹣8，2） B．（﹣8，2）或（2，2） C．（﹣3，7） D．（﹣3，7）或（﹣3，﹣3）【变式3.1】（2020·江苏苏州·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4，3)，AB∥y轴，AB=5A．(1,3) B．(-4,8)C．(1,3)或(-9,3) D．(-4,8)或(-4,-2)【答案】D【分析】线段AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB=5，B点在A【详解】解：∵AB∥y轴，∴A、B又AB=5∴B点纵坐标为：3+5=8或3-5=-2∴B点的坐标为：(-4,-2)或(-4,8)故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．【变式3.2】（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a与bA．6a﹣2b＝1 B．6a+2b＝1 C．6a﹣b＝1 D．6a+b＝1【答案】B【分析】由作图可知，OP平分∠MON，推出点P的横坐标与纵坐标互为相反数，列出方程即可解决问题．【详解】解：连接OP．由作图可知，OP平分∠MON，根据角平分线的性质定理可知：可知点P到OM（x轴）、ON（y轴）的距离相等，又∵点P在第二象限，∴点P的横坐标与纵坐标互为相反数，∴6a+2b1＝0，∴6a+2b＝1，故选：B．【点睛】本题考查基本作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3.3】（2020·江苏苏州·八年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），若y轴上存在点P，使△OAP为等腰三角形（其中O为坐标原点），则符合条件的点P有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】由A（3，3），分别从OA＝AP，OA＝OP，OP＝AP去分析，即可得到P点的坐标，继而可得点P的个数．【详解】解：∵A（3，3），∴OA＝32，①如图：若OA＝AP，则P1（0，6），②如图：若OA＝OP，则P2（0，32），P4（0，﹣32）；③如图：若OP＝AP，则P3（0，3）．综上可得：符合条件的点P有四个．故选C．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定．此题属于开放题，解题的关键是注意分类讨论思想，注意分别从OA＝AP，OA＝OP，OP＝AP去分析，注意不要漏解．【考点4】点的变化规律【例4】（2020春•崇川区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣26，50） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（25，50）【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．【解析】经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：C．【变式4.1】（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(﹣1，1)，B(﹣1，﹣2)，C(3，﹣2)，D(3，1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→A．(3，1) B．(1，1) C．(1，﹣2) D．(3，﹣2)【答案】B【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）∴AB=1--2=1+2=3∴AB+∴瓢虫爬一圈，需要的时间是142=∵2022=288×7+6∴按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2022秒相当于从A点出发爬了6秒，路程是：6×2=12个单位，∴瓢虫此时在AD上，距离D为2个单位长度∴瓢虫在（1，1）处．故答案为：B．【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022秒瓢虫爬完了多少个整圈，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．【变式4.2】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴方向连续翻转若干次，点P依次落在点P1，P2，A．2016 B．2017 C．2018 D．2020【答案】D【分析】根据△AOP是边长为1的正三角形，可得点P的横坐标为﹣12观察图形的变化发现：P1的横坐标为1，P2的横坐标为1，P3的横坐标为52【详解】解：∵△AOP是边长为1的正三角形，∴点P的横坐标为﹣12观察图形的变化发现：P1的横坐标为1，P2横坐标为1，P3P4的横坐标为4，P5的横坐标为4，P6P7的横坐标为7…发现规律：∴P3n+1的横坐标为3n+1，P3n+2的横坐标为3n+1，P3n∵2021＝673×3+2，∴点P2021的横坐标为2020故选：D．【点睛】此题考查直角坐标系，点坐标的变化规律探究，等边三角形的性质，正确掌握直角坐标系中点的坐标的表示方法，根据点的变化找到坐标的变化规律是解题的关键.【变式4.3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△APIB是等腰直角三角形且∠P1=90°，把△APIB绕点B顺时针旋转180°，得到△BPA．（4043，－1） B．（4043，1） C．（2022，－1） D．（2022，1）【答案】A【分析】过点P1作P1M⊥x轴于M，先分别求出点P1、P2、P3、P4的坐标并找出横纵坐标的变化规律，然后归纳出点Pn的坐标，即可求出结论．【详解】解：过点P1作P1M⊥x轴于M，∵A0,0,B2,0，△AP1B是等腰直角三角形且∠AP1∴AM=BM=12∴AM为AB的中点，在Rt△AP1B中，∠AP∴P1M=12AB∴点P1的坐标为（1,1）其中横坐标为：2×1－1,纵坐标为：-1同理可得点P2的坐标为（3,1）其中横坐标为：纵坐标为：-1点P3的坐标为（5,1）其中横坐标为：2×3－1,纵坐标为：-13+1点P4的坐标为（7,1）其中横坐标为：2×4－1,纵坐标为：-1∴点Pn的坐标为2n∴点P2022的坐标为2×2022-1,即P20224043,-1故选：A．【点睛】此题考查的是探索坐标规律题，掌握等腰直角三角形的性质、找出横纵坐标的变化规律并归纳公式是解决此题的关键．【考点5】关于坐标轴对称的点的坐标【例5】（2020秋•天宁区校级期中）点A（6，﹣8）在第象限，点A到x轴的距离为，点A关于x轴的对称点为，点A到原点的距离为．【分析】依据平面直角坐标系的概念以及坐标的概念，即可得到结论．【解析】点A（6，﹣8）在第四象限，点A到x轴的距离为8，点A关于x轴的对称点为（6，8），点A到原点的距离为62+故答案为：四，8，（6，8），10．【变式5.1】（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）已知点P1（a，3）和P2（2，b）关于x轴对称，则A．0 B．﹣1 C．1 D．5【答案】B【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而结合有理数的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：∵点P1（a，3）和P2（2，b）关于∴a＝2，b＝﹣3，∴a+故选：B．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．【变式5.2】（2020·江苏苏州·八年级阶段练习）已知点P（x，y）在第四象限，且x2=4，|y|=3，则点P关于y轴对称的点P1A．（2，3） B．（2，3） C．（2，3） D．（2，3）【答案】C【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质求出x、y的值，再根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数求出点P的坐标，然后根据关于“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【详解】解：∵x2=4，|y∴x=±2，y=±3，∵点P（x，y）在第四象限，∴x=2，y=3，∴点P（2，3），∵点P关于y轴对称的点是P1∴P1（2，3故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【变式5.3】（2022·江苏·八年级课时练习）已知有序数对a,b及常数k，我们称有序数对ka+b,a-b为有序数对a,b的“k阶结伴数对”．如3,2的“1阶结伴数”对为1×3+2,3-2即5,1．若有序数对a,bA．－2 B．-32 C．0 D【答案】B【分析】根据“k阶结伴数对”的定义求出有序数对a,bb≠0的“k阶结伴数对”为ka+b,a-b，再利用【详解】解：由题意可知：有序数对a,bb≠0的“k阶结伴数对∵a,b和ka+∴b=解得：k=-故选：B【点睛】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，解题的关键是理解新定义，求出有序数对a,bb≠0的“k阶结伴数对”为【考点6】坐标与平移【例6】（2021春•城阳区期中）如图，A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，2），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1，B1两点的坐标分别为（b，2），（2，a），则a+b的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，线段AB，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A1B1，求出a，b的值，可得结论．【解答】解：由题意，线段AB，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A1B1，∴a＝4，b＝6，∴a+b＝10，故选：D．【变式6.1】（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(-4,-1)，B(1,1)，将线段AB平移后得到线段A'B'，如点AA．(4,3) B．(3,4) C．(-1,-2) D．(-2,-1)【答案】B【分析】各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3，那么让点B的横坐标加2，纵坐标加3即为点B'【详解】解：由A(-4,-1)的对应点A'的坐标为得坐标的变化规律为：各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3，所以点B'的横坐标为1+2=3，纵坐标为1+3=4即所求点B'的坐标为(3,4)故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化平移，解题的关键是能根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．【变式6.2】（2022·江苏南通·七年级期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A(﹣1，m+2)的对应点为A(2，m﹣3)，若此三角形内任意一点P(a，b)经过此次平移后对应点P1(c，d)．则a+b﹣c﹣d的值为（

）A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2【答案】C【分析】由A（1，m+2）在经过此次平移后对应点A1（2，m3），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．【详解】解：∵A（1，m+2）在经过此次平移后对应点A1（2，m3），∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），∴a+3=c，b5=d，∴ac=3，bd=5，∴a+bcd=3+5=2，故选：C．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．【变式6.3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，面积为3的等腰△ABC，AB=AC，点B、点C在x轴上，且B1,0、C3,0，规定把△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，A．-2,-2018 B．2,-2018 C．2,-2019 D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的面积和B(1，0)、C(3，0)；可得A(2，3)，然后先求出前几次变换A的坐标，进而可以发现第2021次变换后的三角形在x轴下方，且在第三象限，即可解决问题．【详解】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，∴A(2，3)，∴第1次变换A的坐标为(2，2)；第2次变换A的坐标为(2，1)；第3次变换A的坐标为(2，0)；第4次变换A的坐标为(2，1)；第5次变换A的坐标为(2，2)；∴第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限，∴点A的纵坐标为2021+3=2018，横坐标为2，所以，连续经过2021次变换后，△ABC顶点A的坐标为(2，2018)．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，及点的坐标变化规律，等腰三角形的性质，坐标与图形对称、平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．【考点7】坐标的性质综合问题【例7】（2020春•广丰区校级期末）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（3）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；（4）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案．【解析】（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8＝0，解得：a＝﹣4，故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2＝0，解得：a＝2，故2a+8＝2×2+8＝12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2＝1，解得：a＝3，故2a+8＝14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2，故当a＝﹣10则：a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a＝﹣2则：a﹣2＝﹣4，2a+8＝4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【变式7.1】（2022·江苏·八年级单元测试）已知点P2(1)点P在y轴上，求出点P的坐标；(2)点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2022【答案】(1)（0，6）(2)2023【分析】（1）根据y轴上点的特点进行解答即可；（2）根据第二象限内点的特点及到两坐标轴的距离相等，进行解答即可．（1）解：∵P2a-∴2a-2∴P点的坐标为（0，6）．（2）解：根据题意可得：2-2a解得a=-1把a=-1代入a2022+2022，得a【点睛】本题主要考查了坐标系内点的特点，熟练掌握象限内点的特点和坐标轴上点的特点，是解题的关键．【变式7.2】（2022·江苏·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知点M（m＋1，2m5）．(1)若点M在第四象限内，求m的取值范围；(2)若点M在过点A（2，4）且与x轴平行的直线上，求此时点M的坐标．【答案】(1)-(2)3【分析】（1）点M在第四象限内，所以横坐标为正，纵坐标为负，得到关于m的不等式组，求解即可．（2）因为点M在过点A（2，4）且与x轴平行的直线上，所以M点纵坐标为4，进而可以求解．（1）解：∵若点M在第四象限内，∴解不等式①得：m解不等式②得：m∴不等式组的解集为：-（2）∵点M在过点A（2，4）且与x轴平行的直线上，∴M点纵坐标为4，即2m5=4，解得m=1∴m+1=∴M点坐标为3【点睛】本题考查解一元一次不等式组以及点的坐标特征，解题关键是根据题意列出不等式组并准确求解．【变式7.3】（2022·江苏·苏州中学八年级期中）已知点A-3，(1)若点A在第二、四象限角平分线上，求点A关于y轴的对称点A'(2)若线段AB∥x轴，求线段(3)若点B到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点B的坐标．【答案】(1)3(2)5(3)B-1【分析】（1）先根据第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数求出A点的坐标，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可；（2）根据平行于x轴的直线上的点纵坐标都相同求出点A和点B的坐标即可得到答案；（3）根据到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值得到2|-a【详解】（1）解：∵点A-∴-3+2∴a=2∴A-∴点A关于y轴的对称点A'的坐标为3（2）解：∵线段AB∥∴2a∴a=-2∴A-3，∴AB=2-（3）解：∵点B到x轴的距离是到y轴距离的2倍，∴2|-a∴-2a=∴a=1或a∴B-1，【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，点到坐标轴的距离等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【考点8】平面直角坐标系【例8】（2021秋•姑苏区期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答下列问题：（1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O；（2）若体育馆位置坐标为C（1，3），请在坐标系中标出体育馆的位置C；（3）点C绕原点顺时针旋转90°得到点D，直接写出点D的坐标；（4）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．【分析】（1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系即可．（2）根据点C的坐标，作出图形即可；（3）利用旋转变换的性质作出点C的对应点D即可；（4）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示；（2）如图，点C即为所求；（3）如图，点D即为所求，D（3，﹣1）；（4）S△ABC＝3×5﹣×2×5﹣×3×3﹣×1×2＝4.5．【变式8.1】（2022·江苏·景山中学八年级期中）已知：A1,0(1)在坐标系中描出各点（小正方形网格的长度为单位1），画出△ABC(2)若△A1B1C1与(3)点Q是x轴上的一动点，直接写出QB+QC的最小值【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据坐标在坐标系中描出点的坐标即可求解；（2）根据轴对称的性质画出△A（3）作点B关于x轴的对称点B20,-4,连接B2C，交x轴于点【详解】（1）解：如图所示，△ABC（2）如图所示，△A（3）作点B关于x轴的对称点B20,-4,连接B2C，交∵QB+则B2C∵C4,2，B∴B2∴QB+QC的最小值为故答案为：213【点睛】本题考查了在坐标系中描点，画轴对称图形，轴对称求线段和最短问题，勾股定理求两点距离，掌握轴对称的性质是解题的关键．【变式8.2】（2022·广西·南宁市第四十七中学八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A0，a-2，Bb，0，Cb-6，-b，且a，(1)求C点的坐标；(2)求证：AB=(3)如图2，点E在线段AB上，作EG⊥y轴于G点，交AC于F点，若EG=【答案】(1)C点的坐标为2(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据平方的非负性，得出a和b的值，再根据题中点C的坐标，计算即可得出答案；（2）根据（1），得出A0，6，B8，0，C2，-8，进而得出AP=BQ，PB=CQ，作AP∥x轴，CQ∥x轴，过点（3）作AT⊥AB交x轴于点T，连接ED，根据角之间的数量关系，得出∠ATO=∠GAE，再根据垂线的定义，得出∠AOT=∠AGE=90°，再根据AAS，得出△ATO≌△EAG，再根据全等三角形的性质，得出AT=AE，OT=AG，再根据（2）中的图形，继续推导出∠BAC=45°，再根据角之间的数量关系，得出【详解】（1）解：∵a-又∵a-b≥0∴a-b=0解得：a=8，b∴b-6=2，∴C点的坐标为2，（2）证明：如图，由（1）可得：A0，6，B作AP∥x轴，CQ∥x轴，过点B作y轴的平行线交AP、CQ于∴∠P又∵A0，6，B∴AP=BQ，∴△APB∴AB=（3）证明：如图，作AT⊥AB交x轴于点T，连接∵AT⊥AB，AO⊥∴∠ATO=∠GAE又∵EG=∴△ATO∴AT=AE，又∵由（2）中的图形和结论，得出AB=BC，∠ABP=∠BCQ，再根据∠∴∠BAC∴∠TAD∵AD=∴△TAD∴TD=ED，∵EG⊥∴EG∥∴∠EFD∴∠EFD∴EF=∴EF=∴EF=【点睛】本题考查了非负性、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等角对等边，解本题的关键在正确作出辅助线．【变式8.3】（2022·福建省厦门第六中学八年级期中）如图，平面直角坐标系中有点A-1,0和y轴上一动点(1)当a=2时，以AB为其中一边作等腰直角△ABC，请画出图形，并直接写出(2)动点B在运动的过程中，若2<a<4，以AB为斜边，在第二象限作等腰直角△ABC，设点C的坐标为x,y，试写出x【答案】(1)图见解析，点C(-2,3)，C1(2,1)，C2(1,-1)，(2)y=-x【分析】（1）分别以AB为直角边和斜边作图即可，写出坐标即可；（2）过点C作CD⊥x轴与点D，BE⊥DE交DC延长线于点E，证明△ACD≌△【详解】（1）解：如图，△ABC则点C(-2,3)，C1(2,1)，C2(1,-1)，C（2）如图，过点C作CD⊥x轴与点D，BE⊥DE交∵∠B∴∠ACD∵∠ADC=∠CEB∴△ACD∴EB=∵点C的坐标为x,∴EB=-即y=-由（1）得，当a=2时，点C的坐标为C若a=4，则AB∵AC2+∴AC=∴AD设CD=m即解得：m=52∴此时点C的坐标为(-5∴x的取值范围为-5【点睛】本题考查了坐标与图形，直角等腰三角形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【考点9】有关坐标新定义问题【例9】（2020春•海安市期中）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，n+2（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点A（a，﹣4）是“爱心点”，请求出a的值；（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组x+y=3p+qx-y=【分析】（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组m-1=an+22=-4（3）解方程组用q和p表示x和y，代入2m＝8+n，得到关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，求出p，q的值．【解析】（1）∵m-∴m=6∵2×6＝8+4，∴点A是爱心点；∵m-∴m=5∵2×5≠8+14，∴点B不是爱心点；（2）∵m-∴n＝﹣10，又∵2m＝8+n，∴2m＝8+（﹣10），解得m＝﹣1，∴﹣1﹣1＝a，即a＝﹣2；（3）解方程组得x=又∵点B是“爱心点”满足：m-∵2m＝8+n，∴23整理得：23∵p，q是有理数，p＝0，﹣6q＝4，∴p=0【变式9.1】（2022·北京市西城外国语学校八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2例如：点P(2,1)的[x轴，y轴](1)点Q(-3,-2)的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为(2)已知A(t,1)，B(t-3,1)①当t=-1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A的坐标为②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t【答案】(1)3,2(2)①3,-1；②-0.5<t【分析】（1）点Q先关于x轴对称的点坐标为-3,2，再关于y轴对称的点坐标为3,2，故可得点的伴随图形点Q（2）①t=-1时，A点坐标为-1,1，直线m为x=1，此时点A先关于x轴对称的点坐标为-1,-1，再关于m轴对称的点坐标为3,-1，进而得到点的伴随图形点A'坐标；②由题意知直线m为直线y=x，A、B、C三点的[x轴，m]的伴随图形点坐标依次表示为：-1,t，-【详解】（1）解：由题意知-3,-2沿x轴翻折得点坐标为--3,2沿y轴翻折得点坐标为故答案为：3,2．（2）①解:t=-1，A点坐标为-1,1，直线m为-1,1沿x轴翻折得点坐标为-1,-1沿直线x=1翻折得点坐标为-故答案为：3,-1；②解：∵直线m经过原点∴直线为y∴A、B、C的伴随图形点坐标先沿x轴翻折，点坐标依次为t,-1，t-3,-1然后沿直线y=x翻折，点坐标依次表示为：-1,t由题意可知：t<0.5或解得：-0.5<t<0.5【点睛】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来．【变式9.2】（2022·江苏·如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称△ABC的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A-2,1，点-5,4，因为AC=(1)点A的坐标是0,1，在点D-1,2,E3,-2,F(2)点A的坐标是-3,1，点A的等距点B①若点A的等距面积为2，求此时点B的坐标；②若点B的坐标是-4.5,-0.5，求此时点A③若点A的等距面积不小于98，直接写出m【答案】(1)D,(2)①B-1,-1或B-5,-1.②点A的等距面积为98【分析】（1）DF∥y轴交直线y=1轴于C，AC=CD=1，即D是点A的等距点，同理AK=EK=3，E是点（2）①由点A的等距面积为2，再建立方程求解即可；②根据题意得AC⊥BC,AC=BC=1.5，可得等距三角形的面积；③由点A【详解】（1）解：如图，DF∥y轴交直线y=1轴于C，过E作x轴的平行线，交y∵点A的坐标是0,1，点D∴AK=∴点A的等距点是D,故答案为：D，E．（2）①根据新定义画图如下：由点A-3,1的等距面积为∴12AC·∴AC=∴B-1,-1或②根据新定义画图如下：∵B-4.5,-0.5，∴C-∴点A的等距面积为12③根据新定义画图如下：由点A的坐标是-3,1，点A的等距点Bm,n在第三象限，点A的等距面积等于98∴结合图形可得点A的等距面积不小于于98时，mm<-4.5【点睛】本题主要考查了新定义等距点与等距面积、等腰直角三角形、坐标与图形的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握新定义等距点与等距面积是解题的关键．【变式9.3】（2022·北京·八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（-2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（(1)点（3，4）的一次反射点为，二次反射点为；(2)当点A在第三象限时，点M（-4，1），N（3，-1），Q（-1，-5）中可以是点A的二次反射点的是(3)若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1O(4)若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1【答案】(1)（-3，4），（4，-(2)M（-4，1(3)20°或70°(4)点A在x轴上或直线y=【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解；（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断A2的位置即可（3）判断出射线OA1与（4）利用图像法，点A在x轴上或直线y=【详解】（1）点（3，4）的一次反射点为（-3，4），二次反射点为（4，-故答案为：（-3，4），（4，-（2）∵点A在第三象限时，∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，∴点M（-4，1），N（3，-1），Q（-1，-5）中可以是点A的二次反射点的是M（故答案为：（-4，1（3）如图1中，∵∠A∴OA1与x轴的夹角为20°或70根据对称性可知，OA与x轴所夹锐角的度数为20°或70°；（4）如图2中，观察图象可知，当点A在x轴上时，△A如图3中，观察图象可知，当点A在直线y=x上时，综上所述，点A在x轴上或直线y=【点睛】本题考查坐标与图形变化——对称，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是理解一次反射点、二次反射点的定义，学会利用图像法解决问题．【考点10】两点间的距离公式【例10】（2021秋•泰宁县期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴，距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（3，5），B（﹣2，﹣