第08讲有理数的乘方（3种题型）

第08讲有理数的乘方（3种题型）1.掌握有理数乘方的意义，正确判断幂的底数，掌握乘方运算的符号法则；2.理解科学记数法的表示，会正确算出科学记数法表示的数的结果；一．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．二．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．一．有理数的乘方（共11小题）1．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列各组数中，相等的是（）A．+32与+23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与（﹣3）2 D．|﹣3|3与（﹣3）3【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：∵32＝9，23＝8，故选项A不符合题意，∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，故选项B符合题意，∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意，∵|﹣3|3＝27，（﹣3）3＝﹣27，故选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题考查有理数的乘法，有理数的乘方，解题关键在于掌握运算法则．2．（2022秋•盐都区期中）计算：＝．【分析】根据有理数乘方法则进行计算便可．【解答】解：原式＝+，故答案为：．【点评】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数乘方法则是解题的关键．3．（2023•南京二模）与（﹣3）2的值相等的是（）A．﹣32 B．32 C．（﹣2）3 D．23【分析】将原式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：∵（﹣3）2＝9，A．﹣32＝﹣9；B.32＝9；C．（﹣2）3＝﹣8．D．23＝8．∴与（﹣3）2的值相等的是B．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．4．（2022秋•仪征市期末）若一个数的立方为﹣27，则这个数是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．﹣9【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴这个数是﹣3，故选：A．【点评】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型．5．（2023春•泰兴市校级月考）计算：（）3＝．【分析】求n个相同因数积的运算，叫做乘方，由此即可计算【解答】解：（）3＝××＝．故答案为：．【点评】本题考查有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方运算法则．6．（2022春•灌南县期中）已知83＝a9＝2b，试求ba的值．【分析】根据83＝（23）3＝29，即可确定a和b的值，进一步求解即可．【解答】解：∵83＝a9＝2b，又∵83＝（23）3＝29，∴a＝2，b＝9，∴ba＝92＝81．【点评】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方等，熟练掌握这些知识是解题的关键．7．（2023•海陵区一模）﹣32的值等于（）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣6【分析】利用有理数的乘方判断．【解答】解：﹣32＝﹣9，故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．8．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为9，E点表示的数为9100，AB＝BC＝CD＝DE，则数999所对应的点在线段AB上．【分析】先根据AB＝BC＝CD＝DE，计算出每一个线段的长度，再把AB的长度与999﹣9进行比较即可．【解答】解：∵A点表示数为9，E点表示的数为9100，∴AE＝9100﹣9，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴，∴B点表示的数为，∵＝，∴＞0，∴数999所对应的点在B点左侧，∴数999所对应的点在AB点之间，故答案为：AB．【点评】本题考查了数轴，掌握两点之间的距离是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．9．（2023春•宿豫区期中）已知310＝m5＝（）n，求m+n的值．【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂解决此题．【解答】解：∵310＝m5＝（）n，∴310＝95＝m5＝3﹣n．∴m＝9，n＝﹣10．∴m+n＝9+（﹣10）＝﹣1．【点评】本题主要考查幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键．10．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知|x|＝5，y2＝16，且x+y＞0，那么x﹣y＝1或9．【分析】利用绝对值的定义，乘方运算确定x、y的可能取值，再代入数据求x﹣y的值．【解答】解：∵|x|＝5，y2＝16，∴x＝±5，y＝±4，∵x+y＞0，∴x＝5，y＝±4，x﹣y＝5﹣4＝1，x﹣y＝5﹣（﹣4）＝9，∴x﹣y的值为1或9．故答案为：1或9．【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的加减，绝对值，解题的关键是掌握有理数的乘方运算，有理数的加减运算，绝对值的定义．11．（2023春•吴江区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝2，（4，16）＝2，（﹣2，﹣8）＝3；（2）有同学在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，∴（3n）x＝4n即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．①若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，请你尝试运用上述这种方法证明a+b＝c；②猜想[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝（（x﹣1），（y2﹣y﹣2））（结果化成最简形式）．【分析】（1）根据规定，利用乘方的运算解答即可；（2）①根据规定，利用同底数幂乘方的运算法则证明即可；②根据规定，利用同底数幂乘方的运算法则，以及多项式乘以多项式的运算法则解答即可．【解答】解：（1）∵32＝9，∴（3，9）＝2；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵（﹣2）3＝﹣8，∴（﹣2，﹣8）＝3．故答案为：2，4，3；（2）①∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，∴4a×4b＝5×6＝30＝4c，∴4a+b＝4c，即a+b＝c；②设[（x﹣1）n，（y+1）n]＝p，[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝q，由上述结论，知（x﹣1）p＝y+1，（x﹣1）q＝y﹣2，且[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝p+q，∵（x﹣1）p×（x﹣1）q＝（y+1）（y﹣2），即（x﹣1）p+q＝y2﹣y﹣2，∴[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]＝p+q，∴[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]．故答案为：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．【点评】本题以阅读理解形式考查乘方、同底数幂的乘法、整式的乘法等运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题的关键．二．非负数的性质：偶次方（共7小题）12．（2022秋•姑苏区校级期末）如果|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2022的值是1．【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a，b，代入求值即可．【解答】解：因为|a+3|+（b﹣2）2＝0，所以a+3＝0，b﹣2＝0，所以a＝﹣3，b＝2，所以（a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查非负数的性质，涉及到有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性．13．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知|ab﹣2|+（b+1）2＝0，则（a﹣b）2023＝﹣1．【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a，b，代入求值即可．【解答】解：因为|ab﹣2|+（b+1）2＝0，所以ab﹣2＝0，b+1＝0，所以ab＝2，b＝﹣1，解得a＝﹣2，b＝﹣1，所以（a﹣b）2023＝（﹣2+1）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查代数式求值、有理数的乘方，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性．14．（2022秋•射阳县月考）已知（x﹣3）2+|2x﹣3y+6|＝0，求x﹣y的值．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：∵（x﹣3）2+|2x﹣3y+6|＝0，（x﹣3）2≥0，|2x﹣3y+6|≥0，∴x﹣3＝0，2x﹣3y+6＝0，解得x＝3，y＝4，∴x﹣y＝3﹣4＝﹣1．【点评】本题考查了绝对值和偶次方的非负性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．15．（2023春•东台市期中）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，∴x﹣1＝0，2y+1＝0，解得：x＝1，y＝﹣，则x+y的值为：1﹣＝．故选：D．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．16．（2022秋•仪征市期末）若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba＝9．【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出a、b的值即可得到答案．【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，|a﹣2|≥0，（b+3）2≥0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∴ba＝（﹣3）2＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，熟知非负数的性质是解题的关键．17．（2023春•东台市期中）已知|x+2y+3|与（2x+y）2的值互为相反数，则x﹣y＝3．【分析】根据非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，即可列出关于x和y的方程，求得x和y的值，进而求得代数式的值．【解答】解：根据题意得：，解得．则原式＝1+2＝3．故答案是3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，理解性质是关键．18．（2022秋•江阴市期中）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1；所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．三．科学记数法—表示较大的数（共4小题）19．（2023•苏州）在比例尺为1：8000000的地图上，量得A，B两地在地图上的距离为3.5厘米，即实际距离为28000000厘米．数据28000000用科学记数法可表示为2.8×107．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解答】解：28000000＝2.8×107，故答案为：2.8×107．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．20．（2023•镇江一模）2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约15.95亿人次，比去年同期增长50.5%，其中，数据15.95亿用科学记数法可表示为1.595×109．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：15.95亿＝15.95×108＝1.595×109．故答案为：1.595×109．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．21．（2023春•吴江区校级期中）光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年．（1）1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算）（2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？（3）如果一架飞机的飞行速度为1000km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（1m/s＝3.6km/h）【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可；（2）根据题意列出算式，求出即可；（3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可．【解答】解：（1）3×108×3×107＝9×1015（米），9×1015米＝9×1012千米．答：1光年约是9×1012千米；（2）10万＝100000，100000×9×1012＝9×1017（千米），．答：银河系的直径达10万光年，约是9×1017千米；（3）3×108m/s＝1.08×109km/h，1.08×109÷1000＝1.08×106，答：光的速度是这架飞机速度的1.08×106倍．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．解此题的关键是能根据题意列出算式．22．（2022春•仪征市校级月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示）（1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高？（2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可；（2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算．【解答】解：（1）10亿＝1000000000＝109，∴10亿元的总张数为109÷100＝107张，107÷100×0.9＝9×104（厘米）；（2）107÷（5×8×104），＝（1÷40）×（107÷104），＝0.025×103＝25＝2.5×10（天）．【点评】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数．一、单选题1．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）某省计划建成亩高标准农田，其中用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【详解】解：用科学记数法表示为；故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．2．（2023秋·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）在，1.2，，0，，中，负数的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据小于0的数是负数，对各选项计算后再计算负数的个数．【详解】因为，，所以负数有，，共计2个故选A【点睛】本题考查负数的概念，解题关键是利用了小于0的数是负数的概念．3．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期中）已知x，y满足，则的值是（

）A．5 B． C．4 D．1【答案】D【分析】根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出x、y的值，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故选：D．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和为0，则其中的每一项都为0．4．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）下列计算结果相等为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可．【详解】解：A．∵，，且，选项A不符合题意；B．∵，，且，选项B不符合题意；C．∵，，且，选项C不符合题意；D．∵，，且，选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义，准确进行计算．5．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）的结果为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数的乘方与除法运算法则计算即可得到答案．【详解】解：原式．故选：D．【点睛】此题考查的是有理数的乘方与除法，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；的任何正整数次幂都是．6．（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（

）A．45369 B．45371 C．45465 D．46489【答案】A【分析】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答．【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数，∴y=x+1，∵x2＝44944=2122，∴x=212，∴y=213，∴y2=2132=45369，故选：A．【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键．二、填空题7．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）倒数等于本身的数是______，相反数等于本身的数是______，平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______．【答案】01和0和0【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、平方、立方的意义，即可得到答案．【详解】解：倒数等于它本身的数是，相反数等于它本身的数是0，平方等于它本身的数是1和0，立方等于它本身的数是和0，故答案为：；0；1和0；和0．【点睛】本题考查了倒数、相反数、平方、立方，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．8．（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）数字用科学记数法表示为____________．【答案】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．9．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝_______．【答案】3【分析】根据规定可得3n＝5，9n＝m，从而得到m＝25，然后设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，再由33＝27，即可求解．【详解】解：∵[3，5]＝n，[9，m]＝n，∴3n＝5，9n＝m，∴9n＝（3n）2＝52＝25，∴m＝25，即m+2=27，设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，∴33＝27，∴[3，m+2]＝3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用，理解新规定是解题的关键．10．（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）下列情景描述的结果与相符的是________（填写所有正确选项的序号）①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．【答案】②③/③②【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数，拉扣的次数和面条的根数，分裂的次数和细胞个数的规律，判断是否符合规律即可．【详解】①把一张报纸沿同一方向对折，对折一次有1条折痕，对折两次是3条折痕，以此类推，对折5次后有条折痕，不符合题意．②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，拉扣一次时有两根面条，两次有4根面条，以此类推，拉扣5次有根面条，符合题意．③由题意可得，一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为个，符合题意．故答案为②③．【点睛】本题主要考查幂的应用，清楚理解幂的含义是解决本题的关键．11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）根据全国第七次人口普查数据显示，截至2020年11月1日零时，泗阳总人口约1063000人，数据1063000用科学记数法表示____．【答案】【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．【详解】∵，故答案为：．【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．12．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）已知，则___________．【答案】【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，再相减即可求出答案．【详解】根据题意得，，，解得，，，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，有限个非负数的和为零，那么每一个加数必为零，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．13．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）若，则的值为___________．【答案】【分析】利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案．【详解】解：，，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．14．（2021秋·江苏无锡·七年级无锡市东林中学校考期中）若与互为相反数，则___________．【答案】3【分析】由题意得知：|a2|+（b+1）2=0，根据非负数的性质得出a、b的值，代入计算即可．【详解】解：根据题意得：|a2|+（b+1）2=0，∵|a2|≥0，（b+1）2≥0，∴a2=0，b+1=0，∴a=2，b=1，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了非负数的性质．解题的关键是掌握相反数定义，利用只有符号不同的两个数互为相反数得出a、b的值是解题的关键．三、解答题15．（2023春·江苏泰州·七年级姜堰区实验初中校考阶段练习）记，，，……，（其中为正整数）(1)计算：；(2)求的值；(3)说明与互为相反数．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）根据已知条件及乘方的运算即可得到正确结果；（2）根据已知条件及乘方的运算，再利用同底数幂的乘法法则即可得到正确结果；（3）根据已知条件及乘方的运算，再利用同底数幂的乘法法则即可得到结论．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：∵，∴，∴与互为相反数．【点睛】本题考查了乘方的意义及同底数幂的乘法法则，理解乘方的意义是解题的关键．16．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）将，，0，，各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”号连接起来．【答案】数轴表示见解析，【分析】先把各数化简，然后再数轴上表示出来，即可求解．【详解】解：，，，各数在数轴上表示出来，如下：按从小到大的顺序用“<”号连接起来为．【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、有理数的大小比较．能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．17．（2022秋·江苏·七年级期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a©，读作“a的圈c次方”．（1）【初步探究】直接写出计算结果：3③＝，（）⑤＝；（2）关于除方，下列说法错误的是；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C.3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；⑩＝；Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；Ⅲ．算一算：④⑤⑥＝．【答案】（1），﹣27；（2）C；（3）Ⅰ．；（）4；28；Ⅱ．aⓝ＝（）n﹣2；Ⅲ．．【分析】（1）根据新定义运算的法则进行运算即可；（2）根据新定义运算对每个选项逐一分析判断，即可得到答案；（3）Ⅰ．根据新定义的运算法则进行计算即可；Ⅱ．结合前面的具体计算进行归纳总结可得答案；Ⅲ.根据新定义运算，逐一先计算除方，再转化为有理数的乘除乘方运算，再计算即可.【详解】解：概念学习：（1）由新定义运算可得：3③＝3÷3÷3＝，（）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣27．故答案为：，﹣27；（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确；C、3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则

3④≠4③；所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选C；深入思考：（3）Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝；5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝（）4；同理得：（）⑩＝28；故答案为：；（）4；28；Ⅱ：由新定义运算及（1）（2）归纳总结可得：aⓝ＝；故答案为：aⓝ＝Ⅲ．④⑤⑥＝故答案为：【点睛】本题考查的是新定义运算，有理数的除法运算，有理数的乘方运算，理解新定义运算的运算法则，并利用新定义进行计算是解题的关键.18．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）我们把数轴上两点之间的距离用表示这两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a、b满足，将数轴沿点C折叠，点A和点B重合．(1)，，；(2)点P是数轴上之间的一个动点（不包括），点P表示数x．现将数轴沿点P折叠，数轴上与点A重合的点记为D．①若点P在之间，则，（用含x的代数式表示）；②随着点P的运动，都发生变化，问和是否存在一定的倍数关系？试写出说明过程．【答案】(1)(2)①；②，理由见解析【分析】（1）根据非负数的性质求出的值，再根据数轴沿点C折叠，点A和点B重合即点C为的中点进行求解即可；（2）①根据数轴上两点距离公式即可求出，再求出点D表示的数即可求出；②分别表示出和即可得到结论．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∵数轴沿点C折叠，点A和点B重合，∴点C为的中点，∴，故答案为：；（2）解：①由题意得，∵将数轴沿点P折叠，数轴上与点A重合的点记为D，∴点是的中点，∴点D表示的数为，∴，故答案为：；②，理由如下：同①得，，∴；【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上两点中点公式，非负数的性质，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．19．（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞．(1)在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞继续分裂．现从1个绿藻细胞开始培养，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，求k的值．(2)已知210＝1024，请判断（1）问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉，并说明理由．【答案】(1)18；(2)足够，理由见解析【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成个绿藻细胞，故k之值为18；（2）根据每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞，60亿介于与之间，可得制作10克的绿藻粉需要600亿个绿藻细胞，且600亿，又，即得个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉．【详解】（1）解∶15天小时小时，∴，根据题意得，，∴；（2）解：（1）问中的个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉．理由如下∶∵每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞，∴制作10克的绿藻粉需要亿个绿藻细胞，∵600亿，而，∵600亿，∴个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉．【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出k的值．一．选择题1．下列各组数中，相等的是（）A．（﹣3）2与﹣32 B．|﹣3|2与﹣32 C．（﹣3）3与﹣33 D．|﹣3|3与﹣33【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；B、|﹣3|2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；C、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，故本选项正确；D、|﹣3|3＝27，﹣33＝﹣27，27≠﹣27，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘方，要注意（﹣3）2与﹣32的区别．2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”A．0.1692×1012 B．1.692×1011 C．1.692×1012 D．16.92×1010【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】×1011．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知（[x（x+k）]＝9x2+mx，则m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不确定【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【解答】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），∴n﹣2＝9，m＝，∴n＝11，m＝54．故选：C．【点评】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．二．填空题4．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：55000000＝5.5×107．故答案为：5.5×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．计算：﹣（﹣）3＝．【分析】根据有理数的乘方解决此题．【解答】解：﹣（﹣）3＝．故答案为：．【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．6．计算：（﹣5）2＝．【分析】根据幂的意义求解即可．【解答】解：（﹣5）2＝（﹣5）×（﹣5）＝25，故答案为：25．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是知道（﹣5）2表示2个（﹣5）相乘．7．若有理数x，y满足x2＝64，|y|＝10，且|x﹣y|＝x﹣y，则x+y的值为．【分析】根据绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则解决本题．【解答】解：∵x2＝64，|y|＝10，∴x＝±8，y＝±10．又∵|x﹣y|＝x﹣y，∴x﹣y≥0．∴x≥y．∴当x＝8时，y＝﹣10，此时x+y＝8+（﹣10）＝﹣2；当x＝﹣8时，y＝﹣10，此时x+y＝﹣8+（﹣10）＝﹣18．综上：x+y＝﹣2或﹣18．故答案为：﹣2或﹣18．【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘方、有理数的加法，熟练掌握绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则是解决本题的关键．8．1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如