专题3.4乘法公式（学生版）

专题3.4乘法公式1、学会利用平方差公式、完全平方公式进行运算；2、掌握完全平方公式在几何图形中的应用；3、掌握整式的混合运算；知识点01运用平方差公式进行运算【知识点】平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【典型例题】例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数”），在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为（

）A．614 B．624 C．634 D．642例2．（2023春·七年级课时练习）若，则m=______，n=______．例3．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．(1)【探究】①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________；②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；(2)【应用】请应用这个公式完成计算：．【即学即练】1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算的结果为（

）A． B． C． D．2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（

）．A．2018 B．2019 C．2020 D．20213．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算：___________．4．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）计算：______．5．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用式子表达）（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①②知识点02运用完全平方公式进行运算【知识点】完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.补充公式；；；.【典型例题】例1．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．例2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则__________．例3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）计算：．【即学即练】1．（重庆市綦江区20222023学年八年级上学期期末数学试题）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）若实数，满足，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知，，则_______．4．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是_____．5．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例：如图①可以得到．请解答下列问题：(1)写出图②中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值；(3)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，求的值．知识点03完全平方公式在几何图形中应用【典型例题】例1．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（

）A．（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（4）例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，则每个小长方形的宽为______，然后用四个小长方形拼成如图2所示的正方形，则图中阴影正方形的面积为______．例3．（2021春·四川成都·七年级校考期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．【即学即练】1．（2021春·浙江温州·七年级统考期中）如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（

）A． B．C． D．2．（2022秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（

）A． B． C． D．3．（2021春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图（1）是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，中间空余部分的面积是16，若a＝b，则原长方形的周长为_____．4．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考阶段练习）4张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（）的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．（1）若，，则__________．（2）若，求a与b满足关系：_________．5．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．(1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）；(2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________；(3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________；(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．知识点04整式的混合运算【知识点】整式的混合运算，也是遵循四则运算法则的，记得结果要化简；【典型例题】例1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．例2．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）若​，则​___________．例3．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）先化简，再求值：，其中，．【即学即练】1．（2022秋·河南信阳·七年级统考期中）小明化简的过程如下：解:…①…②…③…④在化简过程中，他是从第（

）步开始出错的？A．① B．② C．③ D．④2．（2022春·甘肃兰州·七年级统考期末）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·七年级单元测试）如图，两个正方形边长分别为、，且满足，，图中阴影部分的面积为______．4．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知，则代数式______．5．（2023秋·广东湛江·八年级校考期末）已知的展开式中不含x项，常数项是．(1)求m、n的值：(2)当m、n取第（1）小题的值时，先化简，再求值：．题组A基础过关练1．（2022秋·江西南昌·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知是完全平方式，则常数可以取（

）A．1 B．1 C． D．23．（2023秋·河北唐山·八年级校考期末）若，则（

）A． B．14 C．7 D．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（）A． B．C． D．5．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知多项式是完全平方式，则_________．6．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）若，，则＝_____．7．（2021秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积之间的关系，便可得到一个非常熟悉的公式，写出这个公式______．8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为_____________；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片___块．9．（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）用乘法公式简便计算：题组B能力提升练1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算的结果为（

）A． B．1 C．11 D．40272．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（

）A．5 B．25 C．37 D．63．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（

）A． B．C． D．4．（2023春·七年级课时练习）若，，在下列判断结果正确是（

）．A． B． C． D．无法判断5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则___________．6．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为____．7．（2023秋·四川内江·八年级统考期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若，则；正确的有______．8．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．根据上面的规律，请写出的第三项：___________．9．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）计算：(1)；(2)．10．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________(3)如果图中的满足.求：①的值②的值题组C培优拔尖练1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末），为实数，整式的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．A．和6 B．和5 C．和4 D．和33．（2023秋·福建三明·七年级统考期末）若，，，……，是2022个由1和组成的数，且满足，则的值为（

）A．2122 B．2422 C．3844 D．42444．（2022秋·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：，，．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知：，则__________．6．（2021秋·浙江·九年级自主招生）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为__________．7．（2022秋·天津滨海新·八年级校考期末）已知，则______．8．（2022春·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．9．（2