专题09类比归纳专题平行直角坐标系中图形面积的求法（重点突围）

专题09类比归纳专题：平行直角坐标系中图形面积的求法【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【考点一直接利用面积公式求图形的面积】 1【考点二利用补形法或分割法求图形的面积】 10【考点三与图形面积相关的点的存在性问题】 14【典型例题】【考点一直接利用面积公式求图形的面积】例题：（2022·北京大兴·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接AB交y轴于点C．(1)求三角形AOB的面积；(2)求点C的坐标．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、点B到OA的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据三角形面积和列等式，根据（1）中：△AOB的面积=6，即可得解．(1)解：过点B作BM垂直于x轴点M．∵，∴BM＝2．∵，∴OA＝2．∴．(2)过点B作BN垂直于y轴点N．，∴．∵点C在y轴的正半轴，∴点C的坐标是．【点睛】本题考查了三角形的面积和点的坐标，熟练掌握坐标和图形的性质是本题的关键．【变式训练】1．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）如图，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'．(1)画出△A'B'C并写出点A′的坐标；(2)点P在y轴上，且△BCP的面积是△ABC面积2倍，求点P的坐标．【答案】(1)画图见解析，A′（0，4）(2)（0，4）或（0，8）【分析】（1）将三个顶点分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（2）先求出△ABC的面积，再得到△BCP的面积，设点P（0，a），求出a值即可得到点P坐标．（1）解：如图，△A′B′C′即为所求，其中A′（0，4）；（2）由图可知：△ABC的面积为：=6，∵△BCP的面积是△ABC面积2倍，∴△BCP的面积为12，设点P（0，a），则=12，解得：a=6，∴点P的坐标为（0，4）或（0，8）．【点睛】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．(1)求三角形的面积；(2)若线段与轴交于点，在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】(1)36(2)或【分析】（1）先根据非负数的性质求出，的值，进而得出，两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）设，利用三角形和三角形的面积相等可得到关于的方程，再解方程求出即可得点坐标.【详解】（1），，，解得，，，，轴，，，，；（2）设，，，三角形和三角形的面积相等，，，，即，解得：或，或；【点睛】本题昰三角形综合题，考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式，理解坐标与长度的关系是解题的关键．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知，(1)求点C到x轴的距离；(2)求的面积；(3)点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)3(2)18(3)或【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P的坐标为，根据△ABP的面积为6，，整理得，所以或，即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，∴点C到x轴的距离为3；（2）解：∵，∴，点C到边的距离为：，∴的面积为：．（3）解：设点P的坐标为，∵的面积为6，，∴，∴，∴或，∴P点的坐标为或．【点睛】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是利用数形结合的思想．4．（2023·全国·七年级专题练习）已知：如图，的三个顶点位置分别是．(1)求的面积是多少？(2)若点的位置不变，当点P在y轴上时，且，求点P的坐标？(3)若点的位置不变，当点Q在x轴上时，且，求点Q的坐标？【答案】(1)6(2)(3)【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．【详解】（1）∵，∴，点B到的距离为3，∴的面积；（2）∵，∴以为底时，的高，∴点P在y轴正半轴时，；点P在y轴负半轴时，；（3）∵，∴以为底时，的高为3，底边，∴点Q在C的左边时，，即；点Q在C的右边时，，即．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积解决本题的关键在于要分情况讨论．5．（2022·湖北鄂州·七年级期中）已知在平面直角坐标系中有三点，，请回答如下问题：(1)在坐标系内描出点，，的位置；(2)求出以，，三点为顶点的三角形的面积；(3)在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)5(3)或【分析】（1）根据题意描出各点，即可求解；（2）根据三角形的面积公式计算，即可求解；（3）分两种情况讨论，即可求解．（1）解：如图所示（2）解：（3）解：设点P（0，m），则，∵点，，∴AB=5，∵以，，三点为顶点的三角形的面积为10，当点P在AB的上方时，，解得：m=5；当点P在AB的上方时，，解得：m=3；∴点P的坐标为或．【点睛】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解题的关键．6．（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(，0)，B(，0)，其中，满足，点M为第三象限内一点．(1)请直接写出A、B两点的坐标：A(，0)，B(，0)；(2)若M为(，)，请用含的式子表示ABM的面积；(3)若M(，)到坐标轴的距离相等，MNAB且NM=AB，求N点坐标．【答案】(1)﹣1，3(2)(3)N(6，2)或(2，2)【分析】（1）根据非负数的性质可求出答案；（2）根据三角形面积公式求出答案即可；（3）由题意可求出m＝4或8，求出M的坐标，则可得出答案．（1）∵（a+1）2＝0，∴0，（a+1）2＝0，∴b﹣3＝0，a+1＝0，∴b＝3，a＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），故答案为：﹣1，3；（2）如图，∵M为（﹣2，m），且M在第三象限内，∴m＜0，∴△ABM的面积2m；（3）∵M（2﹣m，2m﹣10）到坐标轴的距离相等，∴2﹣m＝2m﹣10或2﹣m＝﹣（2m﹣10），∴m＝4或8，∵M为第三象限内一点，∴M（﹣2，﹣2），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵MN∥AB，NM＝AB，∴N（﹣6，﹣2）或（2，﹣2）．【点睛】本题考查了二次根式的性质、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键．【考点二利用补形法或分割法求图形的面积】例题：（2022·河南三门峡·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求的面积．【答案】5【分析】根据割补法可进行求解三角形的面积．【详解】解：由题意画出如下草图：∵A(－1，3)，B(－2，0)，C(2，2)，∴D（2，0），E（－2，3），F（2，3），∴，∴==5．【点睛】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握利用割补法求解图形的面积是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·七年级专题练习）如图，已知点，求四边形的面积．【答案】【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算便可．【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，∵，∴，，，，，∴，，∴．【点睛】本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积计算，关键是把四边形的面积转化为三角形与梯形的面积进行计算．2．（2023春·全国·七年级专题练习）坐标平面内有个点为．(1)建立坐标系，描出这4个点；(2)顺次连接，组成四边形，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意，画出坐标系，然后描点即可求解；（2）用矩形围住四边形，用矩形的面积减去4个三角形的面积即可求解．【详解】（1）坐标系及4个点的位置，如图所示；（2）如图，用矩形围住四边形，则．【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．3．（2022秋·广西崇左·八年级统考期中）已知点、、、在同一坐标系中描出、、、各点，并求出四边形的面积．【答案】图见解析，【分析】设与相交于点E，根据已知可得，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】解：描点如图所示：设与相交于点E，∵点、、、，∴，，∵四边形的面积的面积的面积，∴四边形的面积，∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）.(1)求△ABC的面积；(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．【答案】(1)4(2)P（10，0），P（6，0）【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E，由根据三角形面积公式计算即可；（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|，根据三角形面积公式，列出关于x的方程，解出方程即可得出结果．【详解】（1）解：过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．＝3×42×41×22×3＝12﹣4﹣1﹣3＝4．（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．∵△ABP与△ABC的面积相等，∴1×|x﹣2|＝4．解得：x＝10或x＝﹣6．所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．【点睛】本题考查直角坐标系，三角形面积计算，方程思想，分类讨论思想，熟练运用三角形面积公式是解题的关键．【考点三与图形面积相关的点的存在性问题】例题：（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．(1)求此四边形的面积；(2)在x轴上，你能否找到一点P，使？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)44(2)（13，0）或（27，0）【分析】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．（1）解：如图，过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：S=S△AED+S梯形EFCDS△CFB=×AE×DE+×（CF+DE）×EF×FC×FB．=×2×7+×（7+5）×7×2×5=44．故四边形ABCD的面积为44．（2）当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；如图，S△PBC=|7x|×5=50，解得：x=13或27，点P坐标为（13，0），（27，0）．【点睛】此题考查了坐标与图形，四边形的面积，数形结合是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，同时将点、向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接，，．(1)求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形面积；(2)在x坐标轴上是否存在点P；连接、使？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C（0，2）、D（4，2）；见解析；8(2)存在，点P坐标为（7，0）或（－9，0）．【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据即可求解．(1)解：∵将点、向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D，∴C（0，2）、D（4，2）；如图，由平移的性质可知四边形是平行四边形，∴．(2)解：存在点P使．当点P在x轴上时，∵，∴，∵，∴，∵∴点P坐标为（7，0）或（－9，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平移的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，坐标与图形变化－平移等，熟记相关性质以及利用分类讨论思想是解题的关键．2．（2022·云南昭通·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，且a、b满足关系式：，．(1)求a、b的值；(2)求四边形AOBC的面积；(3)是否存在点P（m，－m），使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，点P的坐标为（18，6）或（18，6）【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a，b的值；（2）由点A、O、B、C的坐标可得四边形AOBC为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；（3）设存在点P（m，－m），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍，根据面积列出方程号，解方程即可．（1）解：∵，∴，；（2）由（1）可得：A（0，2），B（3，0），∴，，∴，∵C（3，c），∴，∴轴，∴；（3）存在，理由如下：∵，∴，∴，即或，∴点P的坐标为（18，6）或（18，6）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，梯形的面积，三角形的面积，难度适中，根据非负数的性质求出a，b的值是解题的关键．3．（2022·河南信阳·七年级期中）如图，，点B在x轴上，且．(1)求点B的坐标；(2)求的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以三点为项点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（2，0）或（﹣4，0）(2)6(3)存在，（0，）或（0，﹣）【分析】（1）根据，分点B在点A的右边与点B在点A的左边量种情况讨论即可求解；（