2025届高三数学一轮总复习 第九章 第六讲 离散型随机变量及其分布列配套课件

第六讲离散型随机变量及其分布列2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2.离散型随机变量的分布列及性质称为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(1)一般地，若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表X01P1－pp3.离散型随机变量的分布列(1)两点分布列这样的分布列叫做两点分布列或0－1分布列.如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率.

(2)超几何分布列

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品如果随机变量X的分布列具有上述的形式，则称随机变量X服从超几何分布.【名师点睛】利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.X01P9a2－a3－8a

考点一离散型随机变量分布列的性质1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为则常数a的值为()答案：A2.(2023年汉中市期末)随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，4，5，且P(ξ＝k)＝ak，k＝1，2，3，4，5，则a的值为()A.

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1B. 15C.30D.15

解析：∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，4，5，且P(ξ＝k)＝ak，(k＝1，2，3，4，5)，由离散型随机变量分布列的性答案：BX01234P0.20.10.10.3m3.设离散型随机变量X的分布列为(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；(3)求随机变量ξ＝X2的分布列.X012342X＋113579Y13579P0.20.10.10.30.3解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为从而Y＝2X＋1的分布列为X01234|X－1|10123(2)列表为∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.η0123P0.10.30.30.3X01234X2014916ξ014916P0.20.10.10.30.3故η＝|X－1|的分布列为(3)列表为从而ξ＝X2

的分布列为【题后反思】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.考点二求离散型随机变量的分布列

[例1]某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元.若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元.

(1)若该商场某周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；周需求量n1819202122频数12331(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调器周需求量n(单位：台，n∈N)，整理得下表.

以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场某周初购进20台空调器，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列.

解：(1)当n≥20且n∈N时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000， 当n≤19且n∈N时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2000，X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400，所以当周的利润X的所有可能取值分别为8800，9400，10000，10200，10400，

易知P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1.所以X的分布列为【题后反思】离散型随机变量分布列的求解步骤【变式训练】

一个盒子里装有7张卡片，其中红色卡片有4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片有3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率； (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.解：(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，所以随机变量X的分布列如下.考点三超几何分布

[例2]端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；(3)求至少有一个豆沙粽的概率；(4)设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列.综上可知，X的分布列为(3)由题意知，至少有一个豆沙粽的概率(4)由题意知Y的所有可能值为1，2，3，且