数学同步优化训练：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.1。2两角和与差的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练,可用于课前）1.化简sincos-cossin的值是(）A。B。C。—sinD。sin解析：原式=-sincos+cossin=sin（—）=sin=.答案：B2.（高考北京卷，理5)对任意的锐角α、β,下列不等关系中正确的是()A.sin(α+β）＞sinα+sinβB.sin(α+β）＞cosα+cosβC.cos(α+β）＜sinα+sinβD.cos(α+β）＜cosα+cosβ解析：当α=β=30°时,可排除A、B选项,当α=β=15°时,代入C选项中,即0＜cos30°＜2sin15°，两边平方得＜4sin215°=4×≈0.268，矛盾。故选D.答案：D3。(高考陕西卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_________________.解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°—sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=.答案：4.计算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________________.解析：∵tan60°=tan（20°+40°）=，则tan20°+tan40°=（1—tan20°tan40°)=—tan20°tan40°,因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.答案：10分钟训练(强化类训练,可用于课中）1.要使得sinα—cosα=有意义，则m的取值范围是（）A.(—∞，］B。[1，+∞）C.[—1,］D.（-∞，-1］∪［,+∞）解析：由已知化简，得sinα-cosα=2(sinαcosα)=2sin(α-），∴2sin（α—）=，即sin（α—)=。∵-1≤sin（α—）≤1，∴-1≤≤1。解不等式，可得到—1≤m≤.答案：C2。若在△ABC中，2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是（）A。等腰直角三角形B。直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：在△ABC中，由内角和定理A+B+C=π，可以得到π-(A+B)=C.又由于2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sin[π—（A+B)］=sin(A+B）=sinAcosB+cosAsinB。整理可得到cosBsinA=cosAsinB,移项可得sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0.在△ABC中，∵—π＜A—B＜π，∴A—B=0，即得到A=B.因此三角形是等腰三角形。答案:C3。已知=，则的值等于()A.B。C。D.解析:在正切函数运算中，经常需要用到一个特殊的数字“1”，因为tan=1,运算中要能够把1与tan灵活代换。由==tan(-α），可知，tan（—α）=。而-α与+α互为余角，则有=tan(-α)=。答案:A4。在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于（）A。2B。—2C.4解析：由tanA、tanB是方程3x2+8x—1=0的两个根，根据韦达定理,有tanA+tanB=,tanA·tanB=.则tanC=tan［π—（A+B）］=-tan（A+B)==2.答案:A5。在△ABC中，若sinA=，cosB=-，则sinC=____________________。解析：由△ABC中，cosB=-，可知B为钝角,∴sinB=1-cos2B=.又由于sinA=，可知A为锐角，∴cosA=.∴sinC=sin［π-(A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB-cosAsinB=·（-)+·=。答案：6。求的值。解：把原式分子、分母同除以cos15°，有==tan（15°—45°)=tan(-30°)=-.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°）—cos（θ+15°)的值等于（）A。B.C。D.0解析：sin(θ+75°)+cos(θ+45°）—cos（θ+15°)=sin（θ+15°+60°）+cos(θ+15°+30°）-cos(θ+15°）=sin（θ+15°）cos60°+cos（θ+15°）sin60°+cos（θ+15°)cos30°-sin(θ+15°)sin30°—cos(θ+15°)=sin（θ+15°)+cos（θ+15°）+cos（θ+15°)-sin（θ+15°)-cos(θ+15°）=0。答案:D2.若cosα=a，sinβ=b，｜a｜≤1，|b｜≤1，且α∈(0，）,β∈(0，π)，则cos(α+β)的值的个数是（）A。1B.2C解析：由cosα=a，α∈（0，），得sinα=.sinβ=b，β∈（0，π），得cosβ=±=±.所以cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=±。答案：B3.3sinx—cosx=sin(x+φ），φ∈(-π,π),则φ的值是()A。—B.C.-D.解析：3sinx—cosx=(sinx·cosx）=sin（x-），所以φ=—.答案:A4。若sin(α+β)cosβ-cos（α+β）sinβ=0，则sin(α+2β）+sin(α-2β)等于（)A.1B.-1C解析：由sin(α+β)cosβ-cos(α+β）sinβ=0，可得sin［(α+β)—β]=sinα=0，而sin（α+2β)+sin（α—2β）=(sinαcos2β+cosαsin2β)+（sinαcos2β—cosαsin2β）=2sinαcos2β=0。答案：C5.△ABC中，cosA=，且cosB=，则cosC等于（)A.B。C.D。解析：由△ABC中,cosA=，可知A为锐角，∴sinA=1—cos2A=.由于cosB=，可知B也为锐角。∴sinB=.∴cosC=cos［π-（A+B）］=—cos(A+B)=sinAsinB—cosAcosB=··=。答案：B6。已知△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB,则此三角形外心位于它的(）A.内部B.外部C.一边上D。不同于以上结论解析：由△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB，所以cos（A+B）＞0，得到cosC＜0,因此C为钝角。在钝角三角形中，外心位于三角形外部.答案:B7.(2006高考重庆卷,理13)已知α、β∈（，π）,sin（α+β)=-,sin（β-）=，则cos(α+）=_________________________.解析：∵α、β∈（，π），＜α+β＜2π,∴cos(α+β）=。∵＜β—＜,∴cos（β—)=.∴cos(α+)=cos［(α+β）-(β—）］=cos(α+β）cos（β—）+sin(α+β)sin(β-)=×()+()×=。答案：8。函数y=2sin（-x）—cos（+x)(x∈R）的最小值是_________________.解析：y=2sincosx—2cossinx—coscosx+sinsinx=cosx-sinxcosx+sinx=cosxsinx=cos（x—），所以函数的最小值为-1.答案：-19。如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为，，，求证：α+β+γ=45°。证明：由tanα=，tanβ=，可知tan(α+β）=。由题意可知tanγ=，则tan(α+β+γ)=tan［(α+β）+γ]==1.根据α、β、γ都是锐角，且0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1,0＜tanγ=＜1，可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.得0＜α+β+γ＜135°。所以α+β+γ=45°.10.求证:tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°tan40°=1.证明：由tan60°=tan（20°+40°）=，可得tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°)。所以原式左边=tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°tan40°=（tan20°+tan40°)+tan2