第29章投影与视图01讲核心

本单元知识点的小总结、挖空、判断，必背知识20条等考点1投影1．投影的相关概念（1）投影一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影．（2）平行投影用平行光线形成的投影是平行投影；如太阳光下的影子；（3）中心投影由同一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影；如路灯下的影子；（4）正投影投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，正投影是一种特殊的平行投影投影．2．平行投影与中心投影的比较项目平行投影中心投影性质投影线互相平行；投影线交于一点；判断方法分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若直线平行，则为平行投影．分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若直线相交，则为中心投影，其交点为光源的位置．例子太阳光下的影子灯光下的影子考点2三视图1．视图的相关概念（1）视图从不同方向观察物体得到的平面图形，叫做这个物体的一个视图；（2）主视图正投影情况下，由前向后观察物体得到的视图，叫做主视图；（3）俯视图正投影情况下，由上向下观察物体得到的视图，叫做俯视图；（4）左视图正投影情况下，由左向右观察物体得到的视图，叫做左视图；2．三视图的特征名称特征正方体球体三棱柱圆柱圆锥主视图反映物体的长和高正方形圆矩形矩形三角形俯视图反映物体的长和宽正方形圆三角形圆带圆心的圆左视图反映物体的宽和高正方形圆矩形矩形三角形3．三视图的画法画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：（1）确定主视图的位置，画出主视图；（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；（2）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”．（4）几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线．4．由三视图还原几何体由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形．平行投影的性质1．等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长．2．等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体长；3．在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例．即：．利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等．注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长，单位也要一致．．4．物体与影子上的对应点的连线是平行的．【例题】1.如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（）A.5米 B.6米 C.7米 D.8米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，∵杆高与影长成正比例，∴CD：DE=1：0.5，∴DE=1米，∴AB：BE=1：0.5，∵BE=BD+DE=4，∴，∴AB=8米．故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．2.一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图所示是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么_____（填“甲”或“乙”）照片是参加400m比赛时照的．【答案】甲【解析】【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．【详解】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再由短变长；∵比赛是在下午进行，甲照片影子较长，乙照片影子较短，又因先进行的是200m比赛，过一段时间进行的是400m比赛∴则甲照片是参加400m的，乙照片是参加100m的．故答案为：甲．【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．解题的关键是掌握在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再由短变长，即上午影子是由长变短，下午影子是由短变长．3.如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图；（2）如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．【答案】（1）见解析（2）旗杆的影子落在墙上的长度为【解析】【分析】（1）连接，过点作的平行线即可；（2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．【小问1详解】解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子．【小问2详解】过作于，设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：，∴，又∵，，，∴，解得：，答：旗杆的影子落在墙上的长度为米．【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．【练经典】4.下列投影：①中午林荫道旁树的影子；②海滩上撑起的伞的影子；③跑道上同学们的影子；④晚上路灯下亮亮的手在墙上的投影．其中是平行投影的是_____（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】对于①②③，光源都是太阳光线，是平行投影；而④中的路灯是点光源，其光线不平行，是中心投影，由此可得出答案．【详解】根据平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．因为①②③中的光源都是太阳光，所以①②③都是平行投影；④中的路灯是点光源，不是平行投影，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是平行投影和中心投影，明确平行投影和中心投影的联系与区别是解本题的关键．5.阳光下，某学习小组测得0.8m高的竹竿在操场上的影长为0.6m，若同一时刻操场上旗杆的影长为9m，则旗杆的高度为____m．【答案】12【解析】【分析】利用平行投影中，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，故可求出旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为hm由题意可知：∴故答案为：12．【点睛】本题考查平行投影，关键是理解：同一时刻，两个物体的两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似性质即可求出h．6.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB＝6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝3m．（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长．【答案】（1）见解析（2）12m【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；（2）通过证明从而求出DE的长度即可．【小问1详解】解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图；【小问2详解】∵，∴．∵，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．相似三角形对应角相等，对应边成比例．【易错练】易错点：混淆平行投影在地面和墙上而致错7.为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米．（1）该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）（2）求这棵树的高度．【答案】（1）平行（2）5.25米【解析】【分析】（1）太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影；（2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．【小问1详解】太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影；【小问2详解】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则解得：x=3.75．∴树高是3.75+1.5=5.25（米），答：树高为5.25米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．中心投影的性质1．等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．2．等长的物体平行于地面放置时，如图2所示．一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．3．点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置．【例题】8.如图，小红晚上在一条笔直的小路上由处径直走到处，小路的正中间有一盏路灯，那么小红在灯光照射下的影长l与她行走的路程之间的变化关系用图象刻画出来大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中应长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．【详解】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系，应为当小红走到灯下以前为：l随s的增大而减小，当小红走到灯下以后再往前走时，l随s的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．故选：C．【点睛】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键．9.小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是______．【答案】【解析】【分析】根据相似三角形的相似比等于对应高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．【详解】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF=0.75，BC=1，∵BCDE，∴△ABC∽△ADE，∴=，即：，解得：DE=1.6，∴OE=2+1.6=3.6，∴E（3.6，0），故答案为：（3.6，0）．【点睛】考查中心投影的意义，将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是常用的方法．10.小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且．（1）求：两个路灯之间的距离；（2）小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．【答案】（1）两路灯之间的距离为米（2）两影长之和为定值，定值为米【解析】【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解；（2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值．【小问1详解】解：由题意得，∵，∴∽，则解得：，，故两路灯之间的距离为米；【小问2详解】解：两影长之和为定值，定值为米．理由：如图，设米．∵，∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ，∴，，则，，∵∴，，解得，两影长之和定值，定值为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形．【练经典】11.小卓家餐桌正上方有一盏灯，晚饭时妈妈打开此灯，在此情境下，下列关于灯泡安装的高度与餐桌在地面上的影子的说法正确的是（）A.餐桌在地面上不会形成影子 B.当灯泡安装在屋顶时，影子最大C.当灯泡安装在屋顶时，影子最小 D.影子的大小与灯泡安装的高度无关【答案】C【解析】【分析】根据投影可进行排除选项．【详解】解：A、餐桌在地面上会形成影子，故说法错误；B、当灯泡安装在屋顶时，影子最小，故说法错误；C、当灯泡安装在屋顶时，影子最小，故说法正确；D、影子的大小与灯泡安装的高度是有关的，故说法错误；故选C．【点睛】本题主要考查投影，熟练掌握投影的性质是解题的关键．12.如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高，身高的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，（1）画出红英MN在地面的影子NF；（2）若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．【答案】（1）见解析（2）9米【解析】【分析】（1）根据相似即可画出影子NF；（2）如图，设AB=xm，CB=ym．构建方程组解决问题即可．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：设，∵，，∴∴解得，经检验是分式方程的解，∴，答：灯AB的高度为米．【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．【易错练】易错点：混淆平行投影与中心投影的概念而致错13.如图是两根木杆及其影子的图形．（1）这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答：．（2）请你在图中画出表示小树影长的线段AB．【答案】（1）中心投影（2）图见详解【解析】【分析】（1）根据木杆和影子画出投影线，根据投影线是否平行即可判断是中心投影还是平行投影；（2）根据路灯的位置，与小树顶端连线即可得到小树的影长AB．【小问1详解】解：如图，分别过两根木杆的顶端与各自影子的顶端画两条直线，相交于点O，∴这个图形反映的是中心投影；【小问2详解】解：如图，连接点O与小树的顶端，与水平线相交于点B，小树底端为A，线段AB即小树影长．【点睛】本题考查了平行投影和中心投影，根据投影线之间的关系判断出是哪一种投影是解题的关键．三视图的关系及应用1．位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图（1）所示；2．大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则．如图(2)所示．3．虚实关系看得见部分轮廓线通常画成实线，被遮挡而看不见的部分的轮廓线通常画成虚线；4．还原关系主俯定长，俯左定宽，主左定高；5．组合体的三视图（1）将组合体分解成若干个基本形体，明确每个物体的三视图；（2）确定它们的组合方式,以及相邻接表面间的相互位置，转化为视图中的组合方式；6．正方体堆砌体的三视图（1）行堆压行成左视，列堆压列成主视，上堆压平成俯视．（2）由三视图确定小正方体的个数，遵循“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”．【例题】14.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，故选C．【点睛】本题考查三视图．15.一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，搭成这个几何体用到的小正方体的个数最多是（）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【答案】C【解析】【分析】根据从上面看确定位置，从正面看确定个数，进行计算即可．【详解】解：由题意得：如图此时，小正方体的个数最多：；故选C．【点睛】本题考查根据三视图确定小正方体的个数．熟练掌握俯视图确定位置，主视图确定个数是解题的关键．16.如图是由9个相同的小立方体组成的一个几何体．画出从正面看、左面看、上面看的形状图；【答案】详见解析【解析】【分析】根据主视图、左视图与俯视图的定义及基本作法作图即可．【详解】解：根据题意画出的主视图、左视图、俯视图如下：【点睛】题目主要考查立方体的三视图的作法，熟练掌握三视图的作图方法是解题关键．【练经典】17.2022年北京冬奥会的成功举办，标志着北京成为世界上第一个双奥之城．有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从正面看到的形状是主视图，即可得答案．【详解】解：冰壶如图放置时，从正面看到的图形与A选项相符合．故选：A．【点睛】本题主要考查了三视图的知识，理解三视图的定义是解题关键．18.该图形从哪个方向看是轴对称图形（）A.从正面看 B.从上面看 C.从左面看 D.都不是【答案】D【解析】【分析】分别画出从正面看，从左面看，从上面看的图形，再结合轴对称图形的定义进行求解即可．【详解】解：如图所示三视图，由三视图可知，三个方向看该图形都不是轴对称图形，故选D【点睛】本题主要考查了三视图和轴对称图形的定义，正确画出三视图是解得关键．19.由几个相同小正方体搭成几何体从正面和左面看到的形状图如图所示，则搭成该几何体所需要小正方体的最少个数是（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】仔细观察该几何体的主视图和左视图，发挥空间想象能力，便可得出几何体的形状．【详解】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有三个小正方体，上面最少要有一个小正方体，故该几何体最少有4个小正方体组成．故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的前面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．20.如图，是由8个大小相同的小立方块搭成的几何体．（1）分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图；（涂成阴影）（2）如果保持从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块．【答案】（1）见详解（2）4【解析】【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出该组合体的三视图即可；（2）在俯视图的相应位置上添加小立方块，使左视图不变即可确定答案．【小问1详解】解：如下图所示，【小问2详解】在俯视图上标注原来相应位置摆放的小正方块的个数，保持从左面和上面看到的形状图不变，可添加的小正方块的数量和位置如下图：所以最多可以添加4个小立方块．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了简单组合体的三会试图，熟练掌握三视图的定义和特征是解题关键．【易错练】易错点：颠倒了视图的观察方向导致的错误21.如图，该几何体由6个大小相同的小立方体搭成，此几何体的俯视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从上面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．【综合实践小练】22.下列的四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项A中的图形符合题意；故选：A．【点睛】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提．23.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（）A.A⇒B⇒C⇒D B.D⇒B⇒C⇒A C.C⇒D⇒A⇒B D.A⇒C⇒B⇒D【答案】C【解析】【分析】根据平行投影的特点和规律可知，C、D是上午，A、B是下午，再据影子的长度即可解答.【详解】根据平行投影的特点和规律可得，C、D是上午，A、B是下午，再对比影子的长度可知先后为CDAB.【点睛】本题主要考查平行投影的特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键.24.小丽和同学们去碧沙岗公园游玩，走到为纪念北伐军阵亡将士所建立的纪念碑前时，同学们肃然起敬．读完冯玉祥将军亲笔所书《阵亡烈士纪念碑碑文》后，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”同学们通过调查，把“如何测量纪念碑的高度”作为一项课题活动，制订了测量方案，并进行了实地测量．课题测量纪念碑的高度测量工具测角仪，皮尺等测量方案如图，纪念碑的最高点D到地面的高度为DN，在测点A、B用仪器测得点A、B处的仰角分别为、，说明：点A、B、C、D、M、N均在同一竖直平面内，点A、B、C在同一条直线上．测量数据AM＝1.20m，AB＝12.82m，，参考数据，，，（1）请你根据表中信息帮助同学们求出纪念碑的高度．（结果精确到0.1米）（2）在制定方案时，有同学曾提出方案“利用物体在阳光下的影子测量纪念碑的高度”，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】（1）（2）答案不唯一，如没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等【解析】【分析】（1）由锐角的正切值等于锐角的对边比邻边，首先表示出tan∠DAC=，再用一次正切，求出x的值，即